20xxgct線(xiàn)性代數(shù)部分-資料下載頁(yè)
2025-07-24 05:32本頁(yè)面
【正文】 (b) 僅有零解 r ( )An?? . 【 證 明 】 。方 程 組 (b) 有 非 零 解 就 是 有 解 且 不 唯 一r ( ) .An??( 由 定 理 4) 方 程 組 (b) 有 非 零 解r ( ) r ( )A A?對(duì) 于 齊 次 線(xiàn) 性 方 程 組【 證 明 】1【 推 論 】 當(dāng) mn ? 時(shí) , 齊次線(xiàn)性方程組 (b) 有非零解 . , , r ( ) .m n A m n??因 為 當(dāng) 時(shí) ?【 證 明 】2【 推 論 】 當(dāng) mn ? 時(shí) , 齊次線(xiàn)性方程組 (b) 有非零解 | | 0 .A?? , , r ( ) | | 0 .m n A n A? ? ? ?因 為 當(dāng) 時(shí)由上面齊次線(xiàn)性方程組 有非零解的一般判別定理 , 我們可以得到兩個(gè)特殊結(jié)論 : 注 : 在第二章中 , 我們用克萊默法則證明過(guò)此結(jié)論 . 1【 定 義 】 若齊次線(xiàn)性方程組 0AX ? 有非零解 , 則滿(mǎn)足下列條件的一組解向量1 , sXX稱(chēng)為此方程組的一個(gè) 基礎(chǔ)解系 : (1) 1 , sXX線(xiàn)性無(wú)關(guān) 。 (2) 方程組的任何一個(gè)解向量都是1 , sXX的線(xiàn)性組合 . 4 . 1 0【 命 題 】 若 n 元齊次線(xiàn)性方程組 0AX ? 有非零解 , 則此方程組必有一個(gè)基礎(chǔ)解系 , 且含有 r ( )nA ? 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量 . 4 . 3【 定 理 】 設(shè) n 元線(xiàn)性方程組 A X b? 有無(wú)窮多組解 , 即有 r ( ) r ( )A A r n? ? ?. 若0X 是 A X b? 的一個(gè)解向量 , 1,nrXX?是 0AX ? 的基礎(chǔ)解系 , 則 0 1 1 n r n rX X c X c X??? ? ? ? 是 A X b? 的通解 . 1【 定 義 】 設(shè) []i j n nAa ??為 n 階方陣 : (1 ) 若非零向量 nx ? 和數(shù)0 ??滿(mǎn)足 0A x x? ?, 則稱(chēng)0?為矩陣 A 的 ( 一個(gè) ) 特征值 , 同時(shí)稱(chēng)這個(gè)非零向量 x 為 A的對(duì)應(yīng)特征值0?的 特征向量 . (2 ) 未定元 ? 的多項(xiàng)式 1 1 1 2 12 1 2 2 212||nnn n nna a aa a aEAa a a? ? ?? ? ???? ? ????? 稱(chēng)為矩陣 A 的 特征多項(xiàng)式 . 51【 命 題 . 】0? 是方陣 A 的特征值 0? ? 是方陣 A 的特征多項(xiàng)式|| EA ?? 的根 , 即行列式 0| | 0EA ??? . 求方陣 A 的特征值和特征向量的步驟 : (1) 先解出方程 | | 0EA ??? 的一切不同的根 , (2) 對(duì)每個(gè)特征值 i? , 則 1 1 1( , , 0 )k k kl x l x l l?? 不 全 為為對(duì)應(yīng)特征值 i? 的一切特征 向 量的通式 . 即 A 的一切不同的特征值 1 , m?? 。 求齊次線(xiàn)性方程組 ( ) 0i E A x??? 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 : 1 , kxx , 5 . 2【 命 題 】 對(duì)于 n 階方陣 [] i j n nAa ?? , 我們有以下兩個(gè)結(jié)論 : (1) 111| | ( ) ( 1 ) | |n n nnnaaEA A????? ? ? ? ? ? ? ?? 。 (2) 若1| | ( ) ( )nEA ? ? ? ?? ? ? ??, 則 1 11 1, | |n nn naa A? ? ? ?? ? ? ? ? ?. 5 . 3【 命 題 】 若 ? 是可逆陣 A 的特征值 , 則 : (1) 0? ? 。 (2) 1? ? 是 1A ? 的特征值 . 5 . 4【 命 題 】 若 1 , m?? 是 A 的不同的特征值 , 又 1 , mpp 為分別對(duì)應(yīng)它們的特征向量 , 則向量組 1 , mpp 線(xiàn)性無(wú)關(guān) . 7. 設(shè) ? 是方陣 A 的特征值 , 求證 ? 的多項(xiàng)式 20 1 2mma a a a? ? ?? ? ? ? 為矩陣 A 的多項(xiàng)式矩陣 20 1 2mma E a A a A a A? ? ? ? 的特征值 . 1【 定 義 】 設(shè) ,AB 為兩個(gè)同階方陣 . 若存在一個(gè)可逆矩陣 P 使 1P A P B? ?, 則稱(chēng) AB 與 相似 , 記為 AB 。 由 A 產(chǎn)生 1P A P? 的運(yùn)算也稱(chēng)對(duì)A 進(jìn)行 相似變換 . 1. 兩個(gè)方陣的相似 56【 命 題 . 】 相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式 , 從而有相同 的特征值 , 即矩陣在相似變換之下特征多項(xiàng)式不變 . 2【 定 義 】 若方陣 A 相似于一個(gè)對(duì)角陣 , 則稱(chēng) A 可對(duì)角化 . 51【 定 理 . 】 n 階方陣 A 可對(duì)角化 A? 有 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 . 【 推 論 】 若 n 階方陣 A 有 n 個(gè)不同的特征值 , 則 A 可對(duì)角化 . 52【 定 理 . 】 設(shè) 1 , m?? 為 n 階方陣 A 的所有不同的特征值 , 且特征多項(xiàng)式 1212| | ( ) ( ) ( )mk k kmEA ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??, 則 A 可對(duì)角化 ? r ( ) ( 1 , 2, , )iin E A k i m?? ? ? ?, 即每個(gè)方程組 ( ) 0i E A x? ??的基礎(chǔ)解系中恰有ik個(gè)解向量 .
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