【正文】 公因式時，要對數(shù)字系數(shù)和字母分別 考慮： ①對 于數(shù)字系數(shù)如果是整數(shù)系數(shù)，取各項系數(shù)的 最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；②對于字母，需考慮兩 條：一條是取各項相同的字母；另一條是各相同字母的 指數(shù)取其次數(shù)最低的 . (2)乘法分配律是提公因式法的依據(jù)，提公因式法實質(zhì) 上是分配律的“逆用”，即 (3)提公因式法分解因式的一般步驟是：第一步找出公 因式；第二步提公因式并確定另一個因式 .提公因式 時可用原多項式除的公因式，所得的商即為提公因式 后剩下的另一個因式 .也可以用公因式分別去除原多 項式的每一項，求得剩下的另一個因式 .例如：因式 分解 8a 3b 212ab 2c，提公因式 4ab 2時，用 4ab 2分 別去除原多項式的每一項，得 (8a 3b 2247。 4ab 2 12ab3c247。 4ab 2)=2a 23bc,即 8a 3b 212ab3c=4ab2(2a2 3bc). 【 例 2】 運用提取公因式法分解因式 . (1)12a 2b 3+6a 2b 218a 3b 2。 (2)27m 2n+9mn 218mn。 (3)5a 2(xy)+10a(yx)。 (4)x(xy) 2y(yx) 2。 (5)18(ab) 312b(ba) 2. 解析： (1)系數(shù) 12， 6， 18的最大公約數(shù)為 a,b的最低次冪為 a2b2，公因式為+6a2b2 18a3b2=6a2b2(2b+13a). 注意括號內(nèi)第二項應為 1. (2)當?shù)谝豁椣禂?shù)為負時，應提出負號，括號內(nèi)各項都變號， 公因式為 9mn. 27m2n+9mn218mn =9mn(3mn+2) . (3)∵ yx=(xy), ∴ 公因式為 5a(xy). 5a2(xy)+10a(yx) =5a(xy)(a2). (4)x(xy) 2y(yx)2 =x(xy)2y(xy) 2 =(xy)2(xy) =(xy)3 (5)18(ab)312b(ba)2 =18(ab) 312b(ab)2 =6(ab)2(3a3b2b) =6(ab)2(3a5b) 3. 把下列各式分解因式 . (1)ab+a+b+1。 (2)4m 3+16m226m。 (3)m(a3)+2(3a)。 (4)6a(ba)22(ab)3. 原式=a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1) 原式 =2m(2m28m+13) 原式 =m(a3)2(a3) =(a3)(m2) 原式 =6a(ab)22(ab)3 =2(ab)2［ 3a(ab)］ =2(ab)2(2a+b) 隨堂檢測 ，是分解因式的為（ ） A． a（ x+y） =ax+ay B．（ m+1）（ m﹣ 1） ﹣ （ 1﹣ m） =m（ m﹣ 1） C． x2﹣ 16+3x=（ x+4）（ x﹣ 4） +3x D． 10x2﹣ 5x=5x（ 2x﹣ 1） a2﹣ 4a分解因式，結果正確的是（ ） A． a（ a﹣ 4） B．（ a+2）（ a﹣ 2） C． a（ a+2）（ a﹣ 2） D．（ a﹣ 2 ） 2﹣ 4 3.（ 2022惠安縣一模）分解因式： x2+4x= ． ﹣ 12ab3c﹣ 8a3b中應提取的公因式是 ． D A x（ x+4） 4ab ： （ 1） x（ x﹣ y） ﹣ y（ y﹣ x）； （ 2） a2x2y﹣ axy2． 原式 =x（ x﹣ y） +y（ x﹣ y） =（ x+y）（ x﹣ y） 原式 =axy（ ax﹣ y） 公式法（一） 課前預習 ： 852﹣ 152=（ ） A． 70 B． 700 C． 4900 D． 7000 ，能運用公式法因式分解的是（ ） A． x2﹣ xy B． x2+xy C． x2+y2 D． x2﹣ y2 ： x2﹣ 4= ． x2﹣ 9=（ x﹣ 3）（ x+a），則 a= ． D D （ x+2）（ x﹣ 2） 3 課堂精講 知識點 .利用平方差公式分解因式 a 2b 2=(a+b)(ab)，即兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù) 的和與這兩個數(shù)的差的積 . (1)把乘法公式中的平方差公式 (a+b)(ab)=a 2b 2逆用， 即為因式分解的平方差公式 . (2)公式中所說的“兩個數(shù)”是 a,b，而不是 a 2,b 2，其 中 a,b可以是單項式，也可以是多項式 . (3)平方差公式的特點：①左邊是二項式，兩項都能寫 成平方的形式，且符號相反；②右邊是兩個數(shù)的和與這 兩個數(shù)的差的積，凡是符合平方差公式特點的二項式， 都可以運用平方差公式分解因式，如 x 2y 2,a 21,4x 2 9,(b+c) 2 4(ab) 2 等 . 【 例 】 把下列各式分解因式 . 課堂精講 (1)25m2n2。 (2)(xy)21。 (3)16x25x3y2。 (4)x416. 原式 =(5m+n)(5mn) 原式 =(xy+1)(xy1) 原式 =x(4+5xy)(45xy) 原式 =(x2+4)(x+2)(x2) 隨堂檢測 x2﹣ 16分解因式正確的是（ ） A．（ x﹣ 4） 2 B．（ x﹣ 4）（ x+4） C．（ x+8）（ x﹣ 8） D．（ x﹣ 4） 2+8x （ ） A． a2+（ ﹣ b） 2 B． 5m2﹣ 20mn C． ﹣ x2﹣ y2 D． ﹣ x2+9 a+b=2022， a﹣ b=1，則 a2﹣ b2= ． ： 20222﹣ 20222= ． ﹣ 9= ． B D 2022 4027 （ 2x﹣ 3）（ 2x+3） 公式法（二） 課前預習 a4﹣ 2a2+1的結果是（ ） A．（ a2+1） 2 B．（ a2﹣ 1） 2 C． a2（ a2﹣ 2） D．（ a+1） 2（ a﹣ 1） 2 a=9時，代數(shù)式 a2+2a+1的值為 ． + x+ 是完全平方式 . 4.（ 2022龍巖）因式分解： x2﹣ 4x+4= ． D 100 1（ x﹣ 2） 2 課堂精講 知識點 .用完全平方公式分解因式 （ 1）把整式乘法的完全平方公式 (a177。 b)2 =a2177。 2ab+b2 反過來，就得到 即兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的 2 倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方． 我們把 a2 +2ab+b2和 a2 2ab+b2這樣的式子叫做完全 平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的 多項式因式分解， 公式中的 a， b可以是單項式，也可以是多項式 . （ 2）完全平方公式的特點 等號左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數(shù)（或 兩個式子）的平方，且這兩項的符號相同，中間一項 是這兩個數(shù)（或兩個式子）的積的 2倍，符號正負均 可． 等號右邊是這兩個數(shù)（或兩個式子）的和（或者差） 的平方，當中間的乘積項與首末兩項符號相同時，是 和的平方；當中間的乘積項與首末兩項的符號相反時， 是差的平方． 歸納： 如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得 到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多 項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法． 【 例 】 分解因式：（ 1） ﹣ x2+4xy﹣ 4y2 （ 2）（ x﹣ 1）（ x﹣ 3） +1． 解析： （ 1）先添加帶符號的括號，再利用完全平方 公式分解因式即可．（ 2）首先利用多項式乘法計算出 （ x﹣ 1）（ x﹣ 3） =x2﹣ 4x+3，再加上 1后變形成 x2﹣ 4x+4，然后再利用完全平方公式進行分解即可． （ 1）解： ﹣ x2+4xy﹣ 4y2， =﹣ （ x2﹣ 4xy+4y2）， =﹣ （ x﹣ 2y） 2． （ 2）解：原式 =x2﹣ 4x+3+1， =x2﹣ 4x+4， =（ x﹣ 2） 2． 課堂精講 1. 把下列各式分解因式 . (1)y24x(yx)。 (2)(a2+b2)24a2b2. 原式 =(y2x)2 原式 =(a+b)2(ab)2 隨堂檢測 ，滿足完全平方公式進行因式分解的是（ ） A． 2x2+4x+1 B． 4x2﹣ 12xy+9y2 C． 2x2+4xy+y2 D． x2﹣ y2+2xy x2﹣ 4x+4分解因式，下列結果中正確的是（ ） A．（ x+2）（ x﹣ 2） B．（ x+2） 2 C．（ x﹣ 4） 2 D．（ x﹣ 2） 2 a=2b﹣ 2，則 a2﹣ 4ab+4b2的值是 ． x2﹣ 6x+c可以分解為（ x﹣ 3） 2，那么 c的值是 ． 4x2﹣ 4x+1= ． B D 4 9 （ 2x﹣ 1） 2