廣東省深圳市20xx年高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)文試題(20xx深圳一模)-資料下載頁
2025-07-23 13:10本頁面
【正文】 力．19．（本題滿分14分）設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，且是和的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．解：（1）由已知，得………………………………………3分解得．設(shè)數(shù)列的公比為，則，∴．由，可知，∴，解得．由題意，得． …………………………………………………5分∴．故數(shù)列的通項(xiàng)為． …………………………………………………7分(2)∵， …………11分∴ .……………………………………………14分【說明】考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其性質(zhì)，考查了數(shù)列求和的“裂項(xiàng)相消法”；考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和思維能力．20．（本題滿分14分）已知橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且點(diǎn)在該橢圓上．（1）求橢圓的方程； B（第20題圖）（2）如圖，橢圓的長(zhǎng)軸為，設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，點(diǎn)滿足，直線與過點(diǎn)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)，．求證：為銳角．20．解：（1）設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得 , 又，∴. …………………………………………2分∵橢圓C經(jīng)過，代入橢圓方程有 ，解得. …………………………………………5分∴，故橢圓C的方程為 . …………………………………………6分（2）設(shè)， …………………………………………7分∵，∵，∴，∴直線的方程為． …………………………………………9分令，得．∵，∴．∴，．∴∵，∴∴ …………………………………………12分∵，∴．又、不在同一條直線，∴為銳角. …………………………………………………14分【說明】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力．21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當(dāng)，時(shí)，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)；（3）若存在，使得，試求的取值范圍．解：（1） …………………………1分由于，故當(dāng)時(shí)，所以，…………2分故函數(shù)在上單調(diào)遞增 . …………………………………………3分（2），， ……………………………………4分當(dāng)時(shí)，，故是上的增函數(shù)；同理，是上的減函數(shù). …………………………………5分，當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件；，當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件.綜上所述 或. ………………………………………7分（3）， 因?yàn)榇嬖?，使得，所以?dāng)時(shí)， …………………………8分，①當(dāng)時(shí)，由，可知，∴；②當(dāng)時(shí)，由，可知 ，∴；③當(dāng)時(shí)，.∴在上遞減，在上遞增，…………………………………11分 ∴當(dāng)時(shí)，而，設(shè)，因?yàn)椋ó?dāng)時(shí)取等號(hào)），∴在上單調(diào)遞增，而，∴當(dāng)時(shí)， ∴當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，即，設(shè)，則.∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∴.即的取值范圍是……………………………………14分【說明】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí),通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問題,考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，同時(shí)也考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚
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