廣東省深圳市20xx年高三第一次調(diào)研考試數(shù)學文試題(20xx深圳一模)-資料下載頁
2025-07-23 13:10本頁面
【正文】 力．19．（本題滿分14分）設是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和．已知，且是和的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：．解：（1）由已知，得………………………………………3分解得．設數(shù)列的公比為，則，∴．由，可知，∴，解得．由題意，得． …………………………………………………5分∴．故數(shù)列的通項為． …………………………………………………7分(2)∵， …………11分∴ .……………………………………………14分【說明】考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其性質(zhì)，考查了數(shù)列求和的“裂項相消法”；考查了學生的運算能力和思維能力．20．（本題滿分14分）已知橢圓的中心為原點，焦點在軸上，離心率為，且點在該橢圓上．（1）求橢圓的方程； B（第20題圖）（2）如圖，橢圓的長軸為，設是橢圓上異于、的任意一點，軸，為垂足，點滿足，直線與過點且垂直于軸的直線交于點，．求證：為銳角．20．解：（1）設橢圓C的方程為，由題意可得 , 又，∴. …………………………………………2分∵橢圓C經(jīng)過，代入橢圓方程有 ，解得. …………………………………………5分∴，故橢圓C的方程為 . …………………………………………6分（2）設， …………………………………………7分∵，∵，∴，∴直線的方程為． …………………………………………9分令，得．∵，∴．∴，．∴∵，∴∴ …………………………………………12分∵，∴．又、不在同一條直線，∴為銳角. …………………………………………………14分【說明】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、向量等基礎知識，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力．21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當，時，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點；（3）若存在，使得，試求的取值范圍．解：（1） …………………………1分由于，故當時，所以，…………2分故函數(shù)在上單調(diào)遞增 . …………………………………………3分（2），， ……………………………………4分當時，，故是上的增函數(shù)；同理，是上的減函數(shù). …………………………………5分，當，故當時，函數(shù)的零點在內(nèi)，滿足條件；，當，故當時，函數(shù)的零點在內(nèi)，滿足條件.綜上所述 或. ………………………………………7分（3）， 因為存在，使得，所以當時， …………………………8分，①當時，由，可知，∴；②當時，由，可知 ，∴；③當時，.∴在上遞減，在上遞增，…………………………………11分 ∴當時，而，設，因為（當時取等號），∴在上單調(diào)遞增，而，∴當時， ∴當時，∴，∴，∴，即，設，則.∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∴.即的取值范圍是……………………………………14分【說明】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式證明等知識,通過運用導數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題,考查考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力，同時也考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚
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