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2025-07-23 12:32本頁面
【正文】 是 X 的一個既開又閉的子集, 試證: x, y ∈ E 或者 x, y E. X, Y 是拓?fù)淇臻g, f : X → Y 連續(xù),f(X) ? Z ? Y , 試證:f? : X → Z x → f(x)也連續(xù).注記. 本題在書上第 140 頁證明定理 . R 的兩個子空間X = {0, 1, 2, 3, } , Y = {0, 1, 1 /2, 1/ 3, }及 f : X → Y 定義為f(0) = 0, f(n) = 1/n(n = 1, 2, 3, ).試證:1 . X 是離散空間。2 . X 是局部連通空間。3 . f 是連續(xù)的一一映射。4 . Y 不是局部連通空間.本題說明局部連通性不是在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì).5.(書 Page 147 第 5 題). 設(shè) X 是拓?fù)淇臻g, 若? x ∈ X, ? U ∈ Ux, ? 道路連通V ∈ Ux, . x ∈ V ? U,則稱 X 是一局部道路連通空間. 再設(shè) Y ? X, 若 Y 在相對拓?fù)湎率蔷植康缆愤B通的, 則稱 Y 是 X 的局部道路連通子集.1 . 局部道路連通空間是局部連通空間.2 . 局部道路連通性是在開的連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì).3 . 局部道路連通性是有限可積性質(zhì).4 . 設(shè) O 是局部道路連通空間 X 的開集, 則O 是X 的連通子集 ? O 是X 的道路連通子集.第5 章 有關(guān)可數(shù)性的公理 (X, ρ) 是度量空間, D 是 X 的一個可數(shù)稠密子集, 則 {B(d, r)。 d ∈ D,0 r ∈ Q} 是 X的一個可數(shù)基. ( ) X 是 Lindel246。ff 空間, Y 是 X 的閉子空間, 則 Y 也是 Lindel246。ff 的. ( ) X 是拓?fù)淇臻g, A 是 X 不可數(shù)的Lindel246。ff 子空間, 則 A ∩ d(A) ≠?. ( )1 . Rn 的子空間 _____________是A2 空間.2 . A2 空間_____________ 是 A1 空間.3 . A2 空間________________ 是可分的.4 . 可分的度量空間__________ 是 A2 空間.5 . A2 空間的子空間____________ 可分6 . 可分度量空間的子空間____________ 可分.(以上選填: 一定, 未必) X 是拓?fù)淇臻g, D ? X, 若 D? = X, 則稱 D 是 X 的______________ 子集。 若 D 是可數(shù)集, 則稱 X 是__________________ 的.8. 在實(shí)數(shù)空間 R 中, Q 的閉包是__________ .9.. 設(shè) (X, T ) 是拓?fù)淇臻g, ∞ X, 令X? = X ∪ {∞} , T ? = {A ∪ {∞}。 A ∈ T } ∪ {?} .則在 X? 中, {∞}? = ______________. A 是一集族, B 是一集. 若 ∪A∈A A ? B,則稱 A 是 B 的一個_________ 。 當(dāng) A 是可數(shù)族時, 稱 A 是 B 的_______________ 。 當(dāng) A 是有限族時, 稱 A 是 B 的__________ 。 若? A1 ? A , . ∪A∈A1 A ? B, 則稱 A1 是 A的____________ .在拓?fù)淇臻g X 中, 若 A 是 X 的子集族,B ? X, 則稱 A 是 B 的__________ . X 是拓?fù)淇臻g, 它的每個開覆蓋都有一個_______ , 則稱 X 為 Lindel246。ff 空間. 空間________ 是 Lindel246。ff 的。Lindel246。ff 空間______________ 是 A2 的, 但Lindel246。ff 的度量空間_____________ 是 A2 的.(選填: 一定, 未必) X 是 A1 空間, 給定 x ∈ X 及 x 處的一個可數(shù)鄰域基 .1) . 試構(gòu)造出 x 處的一個遞減可數(shù)鄰域基.2 ). 任取, 試證: .14 . 試給出度量空間 (X, d) 在 x ∈ X 處的一個可數(shù)鄰域基.15 . 試給出 R 的一個可數(shù)基.
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