第3章3柯西公式-資料下載頁
2025-07-23 09:31本頁面
【正文】 dzC? ? ()fz 成立 證明 ()fz在 D內(nèi) 解析 , ()fz? 在 D內(nèi)也 解析 , 0z(2) 若 0z 在 C的內(nèi)部 , 所以根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定理 因為 根據(jù)柯西積分公式 0z z?()f z? dzC? 2 i??0()fz?0() zzzf ??2 i??20()z z?()f z dzC?2 i??0()fz?0() z zzf ??2 i??故等式成立 但不在 C上 的任何一點(diǎn) 18 1 []2 i?例 10 設(shè)曲線 C1和 C2為兩條 互不 包含 , 也 不 相交的正向 簡單閉曲線 , C1 C2 證明 : 0z z?2z dz1C?2z?0z z?sinz dz2C??????20z0sinz0z 在 C1內(nèi) 0z 在 C2內(nèi) 證 : 0z 在 C1內(nèi) , 0z2z根據(jù)柯西積分公式 0z z?2z dz1C?12 i? 20z?z此時 0z z?sinz0z z?sinz dz2C?0?因此若 0z 在 C1內(nèi) , 則結(jié)論正確 在 C2的內(nèi)部 解析 在 C1的內(nèi)部 解析 0zz?19 1 []2 i?例 10續(xù) 設(shè)曲線 C1和 C2為兩條 互不 包含 , 也 不 相交的正向 簡單閉曲線 , C1 C2 證明 : 0z z?2z dz1C? 0z z?sinz dz2C??????20z0sinz0z 在 C1內(nèi) 0z 在 C2內(nèi) 證 : 0z 在 C2內(nèi) , 0zz0z z?2z0z z?2zdz1C?0?sin z?sinz根據(jù)柯西積分公式 0z z?sinz dz2C?12 i? 0sin z?因此若 0z 在 C2內(nèi) , 則結(jié)論正確 在 C1的內(nèi)部 解析 在 C2的內(nèi)部 解析 0zz?20 如果 ()fz在 單 連通域 D內(nèi) 解析 , 則 ()fz沿 D內(nèi)任何 的積分為 零 ()fz 0?復(fù)習(xí) (1)柯西積分定理 如果 ()fz在 單 連通域 D內(nèi) 解析 , 則函數(shù) (2)原函數(shù)存在定理 0zz??()fz dz()F z 在 D內(nèi) 而且 ()F z? ()fz?(3) Morera定理 設(shè)函數(shù) ()fz在 單 連通域 D內(nèi) 且 ()fz的積分為 零 則 ()fz 在 D內(nèi) 解析 證明 0 ,z z D? 則 0zz??()fz dz()F z 是終點(diǎn) z的單值函數(shù) , ()F z 在 D內(nèi)處處 解析 , 而且 ()F z? ()fz?根據(jù) 故 ()fz 在 D內(nèi) 解析 一條封閉曲線 C 解析 解析 函數(shù) 一定是 的導(dǎo)數(shù) 解析 函數(shù) 解析 函數(shù) 一定是 的導(dǎo)數(shù) 解析 函數(shù) 連續(xù) , 沿 D內(nèi)任何 一條封閉曲線 C dzC?
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