第六章二次型-資料下載頁
2025-07-20 21:26本頁面
【正文】 個數(shù)中正數(shù)的個數(shù)與則及使及有兩個實(shí)的可逆變換為它的秩設(shè)有實(shí)二次型rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf???????????????????????例 二、實(shí)二次型的規(guī)范形 由 P125定理 2知，任意實(shí)二次型都可以化為標(biāo)準(zhǔn)型。 設(shè)實(shí)二次型 f 經(jīng)過適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型： 2 2 2 21 1 1 1p p p p r rf d y d y d y d y??? ? ? ? ? ?其中 di0(i=1,2,…, r), r是 f 的秩 . 11111111rrrrrrnnyzdyzdyzdyz?????????????? ???????再對標(biāo)準(zhǔn)形作一次 如下線性變換： 標(biāo)準(zhǔn)形就化為： 2 2 2 211 p p rf z z z z?? ? ? ? ? ?稱這一簡單形式為 實(shí)二次型的 規(guī)范形 定理 4 定理 5 任何實(shí)二次型 f 總可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)木€性變換 化為規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的 . 任何實(shí)對稱矩陣必合同于形如 的對角矩陣 . 0pqEE?????????222 164),( zyxzyxf ???正定二次型 222121 3),( xxxxf ???負(fù)定二次型 ,)( Axxxf T?設(shè)有實(shí)二次型例如 三、正 (負(fù) )定二次型的概念 定義 4 ? ? ,0,0 ??? xfx 都有若,0)(,0 ??? xfx 都有若。, 是正定的并稱對稱矩陣為正定二次型則稱 Af., 是負(fù)定的并稱對稱矩陣為負(fù)定二次型則稱 Af2321321 ),( xxxxxxf ??不定二次型 四、正 (負(fù) )定二次型的判別 . : 6 個系數(shù)全為正，即 f 的正慣 它的標(biāo)準(zhǔn)形的 件是 為正定的充分必要條 實(shí)二次型 定理 n Ax x f T ? 性指數(shù)為 n. 推論 1,2 實(shí)對稱矩陣 A為正定矩陣的充分必要條件 是： A合同于 E，即存在可逆矩陣 P，使得 A＝ PTP . 定理 7 n元實(shí)二次型 f ＝ xTAx 正定的充要條件是 A 的特征值全部都大于零 . 定義 5 順序主子式 ,011 ?a ,022211211 ?aaaa,?。01111?nnnnaaaa????定理 8 n元實(shí)二次型 f ＝ xTAx 為 正定的 即實(shí)對稱矩陣 A為正定矩陣的 充分必要條件 是： A的各階主子式均為正，即 設(shè) A=(aij)為 n階方陣，一次取 A的前 k行與前 k列所 構(gòu)成的子式 稱為 A的順序主子式 . 1 1 11 kk k k a a a a? ? ? ? 正定矩陣的性質(zhì) 。,A, .1 1T定矩陣均為正則為正定實(shí)對稱陣設(shè) ?? AAA., .2 矩陣也是正定則階正定矩陣均為若 BAnBA ?P131 例 1 學(xué)習(xí)輔導(dǎo) P245 因 AT=A,BT=B，所以 (A+B)T=AT+BT=A+B 即 A,B也是實(shí)對稱矩陣 . 又，對任意非零列向量 x有 xTAx0， xTBx0 證： 于是 : xT(A+B)x= xTAx+ xTBx0 即 xT (A+B) x是正定二次型，故 A+B 是正定矩陣 . 定理 9 對于 n元實(shí)二次型 f ＝ xTAx，下列各命題 相互等價： (1) f 是負(fù)定二次型； (2) f 的負(fù)慣性指數(shù)為 n； (3) A的特征值全為負(fù)； (4) A ∽ － E； (5) A 的奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，偶數(shù)階 順序主子式為正 . 負(fù)定二次型的判定 . 例 7 判別二次型 ? ? 323121232221321 48455, xxxxxxxxxxxxf ??????是否正定 . 解 ? ?的矩陣為321 , xxxf,524212425??????????????它的各階主子式 ,05? ,011225 ?? ,01524212425??????故上述二次型是正定的 . 例 8 判別二次型 ? ? 31232221321 4542, xxxxxxxxf ????是否正定 . 解 二次型的矩陣為 ,502040202?????????????A用 特征值判別法 . 0?? EA ?令 .6,4,1 321 ???? ???故此二次型為正定二次型 . 即知 是正定矩陣， A定理 7 例 9 判別二次型 xzxyzyxf 44465 222 ??????的正定性 . 解 的矩陣為f,0511 ???a ,026622522211211 ?????aaaa,080 ???A,402062225??????????????A根據(jù)定理 9知， f 為負(fù)定的 . 2. 正定二次型 （ 正定矩陣 ） 的判別方法 ： (1) 定義法 ； (2) 主子式判別法 ； (3) 特征值判別法 . 1. 正定二次型的概念，正定二次型與正定 矩陣的區(qū)別與聯(lián)系． 3. 根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到 負(fù)定二次型 （ 負(fù)定矩陣 ）相應(yīng)的判別方法 . 五、小結(jié) (4) 標(biāo)準(zhǔn)形判別法 . — 定理 9 — 定理 8 — 定理 7 — 定理 6 返回
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