第一篇數(shù)理邏輯-資料下載頁(yè)
2025-07-20 14:16本頁(yè)面
【正文】 聯(lián)結(jié)詞的擴(kuò)充與歸約 ◆ 定義 稱(chēng) n元聯(lián)結(jié)詞 h是用 m 個(gè)聯(lián)結(jié)詞 g1, g2,… , gm 可表示 的，如果 h(p1, p2,. . ., pn ) ┝┥ A 而 A中所含聯(lián)結(jié)詞僅取自 g1, g2,. . ., gm。 第一章 命題演算及其形式系統(tǒng) 范式 △ 聯(lián)結(jié)詞的擴(kuò)充與歸約 ◆ 定義 當(dāng)聯(lián)結(jié)詞組 g1, g2,. . ., gm可表示所有 一元、二元聯(lián)結(jié)詞時(shí)，稱(chēng)其為 完備聯(lián)結(jié) 詞組 （ plete group of connectives）。 第一章 命題演算及其形式系統(tǒng) * 命題演算形式系統(tǒng) 證明、演繹和推理 ◆ 定義 公式序列 A1, A2, … , Am稱(chēng)為 Am的一個(gè) 證明 （ proof）， 如果 Ai(1 ≤ i ≤ m) 或者是公理，或者由 Aj1 … , Ajk (j1,… ,jk?i)用推理規(guī)則推得。當(dāng)這樣的證明存在時(shí)， 稱(chēng) Am為系統(tǒng)的 定理 （ theorems）， 記為 ├*Am, ( ?為所討論的系統(tǒng)名 ),或簡(jiǎn)記為 ├Am 。 第一章 命題演算及其形式系統(tǒng) * 命題演算形式系統(tǒng) 證明、演繹和推理 ◆ 定義 設(shè) ?為一公式集合。公式序列 A1,A2,… ,Am稱(chēng)為 Am的 以 ?為前提的 演繹 （ diduction），如果 Ai(1≤i≤m) 或者是 ? 中公式，或者是公理，或者由 Aj1… ,Ajk(j1,… ,jk?i)用推理規(guī)則導(dǎo)出。當(dāng)有這樣的 演繹時(shí)， Am稱(chēng)為 ? 的 演繹結(jié)果 ，記為 ?├*Am, ( ?為所討論的系統(tǒng)名 )，或簡(jiǎn)記為 ?├Am。 稱(chēng) ? 和 ? 的成員為 Am的 前提 (hypothesis)。 第一章 命題演算及其形式系統(tǒng) * 命題演算形式系統(tǒng) △ 命題演算形式系統(tǒng) PC ◆ 定理 （ 合理性 ， sondness） 若公式 A是系統(tǒng) PC的定理，則 A為永真式。 若 A是公式集 ? 的演繹結(jié)果，那么 A是 ?的邏輯結(jié)果。即 若 ├PC A，則 ┝ A .若 ?├PC A，則 ?┝ A . ◆ 定理 PC是一致的，即沒(méi)有公式 A使得 ├PC A與 ├PC┐A同時(shí)成立。 第一章 命題演算及其形式系統(tǒng) * 命題演算形式系統(tǒng) △ 命題演算形式系統(tǒng) PC ◆ 定理 （ 完備性 ， pleteness） 若公式 A永真，則 A必為 PC的定理；若公式 A是公式集 ? 的邏輯結(jié)果，那么 A必為 ? 的演繹結(jié)果。即若 ┝ A，那么 ├PC A . 若 ?┝ A，那么 ?├PC A . 第一章 命題演算及其形式系統(tǒng) * 命題演算形式系統(tǒng) △ 命題演算形式系統(tǒng) PC ◆ 定理 （ 演繹定理 ） 對(duì)任意公式集 ? 和公式 A， B， ?├A→ B當(dāng)且僅當(dāng) ? ??A?├ B（當(dāng) ? = ?時(shí)， ├A→ B當(dāng)且僅當(dāng) ?A?├ B，或 A├ B） 第一章 命題演算及其形式系統(tǒng) * 命題演算形式系統(tǒng) △ 命題演算形式系統(tǒng) PC ◆ 定理 （ 歸謬定理 ） 對(duì)任何公式集 ? 和公式 A， B ,若 ? ??┐A?├ ┐B， ? ??┐A?├ B，那么 ?├A 。 ◆ 定理 （ 窮舉定理 ） 對(duì)任何公式集，公式 A， B，若 ??{┐A}├ B， ??{A}├ B，則 ?├ B。 第一章 命題演算及其形式系統(tǒng) * 命題演算形式系統(tǒng) 自然推理系統(tǒng) ND ◆ 定理 如果公式 A是 PC的定理，那么 A也必定是ND的定理。 即 ├PC A蘊(yùn)涵 ├ND A。
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