平面圖的概念與性質(zhì)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系張欣-資料下載頁(yè)
2025-07-19 00:10本頁(yè)面
【正文】 條件是 G是平面圖的必要條件 ,不是充分條件。 例 1 求證： K3,3是非可平面圖。 證明：注意到， K3,3是二分圖，不存在奇圈，所以，每個(gè)面的次數(shù)至少是 4,即 l=4 所以， 而 m=9，這樣有： 所以，由推論 2， K3,3是非平面圖。 4( 2 ) ( 6 2 ) 822l nl ? ? ? ??( 2)2lmnl???推論 3 設(shè) G是具有 n個(gè)點(diǎn) m條邊 ф 個(gè)面的簡(jiǎn)單平面圖，則： 36mn?? 證明：情形 1， G連通。 因?yàn)?G是簡(jiǎn)單圖，所以每個(gè)面的次數(shù)至少為 3，即 l=3。于是，由推論 2得： 情形 2，若 G不連通。設(shè) G1,G2,…,G k是連通分支。 36mn?? 一方面 ,由推論 1： 1n m k?? ? ? ? 另一方面，由次數(shù)公式得： 23m? ? 所以得： 3 3 ( 1 ) 3 6m n k n? ? ? ? ? 例 2 證明： K5是非可平面圖。 證明 ： K5是簡(jiǎn)單圖， m=10, n=5。 3n6=9。 得， ， 所以 K5是非可平面圖。 36mn?? 推論 5 設(shè) G是具有 n個(gè)點(diǎn) m條邊的簡(jiǎn)單平面圖，則： 5? ? 證明：若不然，設(shè) 6? ? 則 ()6 ( ) 2 3 6v V Gn d v m m n?? ? ? ? ?? 這與 G是簡(jiǎn)單平面圖矛盾。 注： 該結(jié)論是證明“ 5色定理”的出發(fā)點(diǎn)。
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