16731newton-cotes求積公式-資料下載頁(yè)
2025-07-17 19:20本頁(yè)面
【正文】 ? ? ? ? ? ? .,0,0)( 20 baxba xx ?????????由分部積分得 第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 由于 ,故 對(duì) 是連續(xù)的 .由于積分中值定理得 ? ?baxf c ,)( 4? ],[39。 210 xf xxx? ?bax ,?由此即得 (). 由 ()可見 ,梯形公式的代數(shù)精度為 ()表明 ,Simpson公式 的代數(shù)精度是 ,我們有下述論斷 . 第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 定理 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí) ,n階 NewtonCotes公式 ()至少有n+1次 代數(shù)精度 . 證 我們只要驗(yàn)證當(dāng) n為偶數(shù)時(shí) ,NewtonCotes對(duì) 的 余項(xiàng)為零 .此時(shí) ,由于 我們有 ? ? x nxf 1??,)!1()()1( ??? nxf n這里 ,x=a+ t=u+n/2,進(jìn)一步有 顯然 ,被積函數(shù) 是個(gè)奇函數(shù) ,因此 ?????????2/2/0)()2/(nnjnjjujnu第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 下面我們討論 NewtonCotes公式的計(jì)算穩(wěn)定性問題 在 NewtonCotes公式中 ,取 f(x)=1,此時(shí) 并且有 一般地 ,假定初始數(shù)據(jù) 有舍入誤差 ,設(shè) 反映在計(jì)算中有 )(xkf .,1,0),(*)( nkxff kkx ???? ? ? ?.*0)(0)( xcxcknknknk knk ff ?? ?? ?,0][ ?fR n10???nknkc() 若記 ,則有 |)(*)(|m a x0 kknk xfxf ?? ???() 當(dāng) 時(shí)，由（ ）和（ ）知計(jì)算是穩(wěn)定的。 ),1,0(0)( nkc nk ???由表 31知，當(dāng) ， Cotes 系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，那么 8?n第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 特別地，假定 并且 那么有 1|0)(0)(| ??? ????nknknknk cc,0))(*)(()( ?? kknk xfxfc,|)(*)(| ??? kk xfxf此時(shí)，初始數(shù)據(jù)的誤差引起計(jì)算結(jié)果的增大，即計(jì)算不穩(wěn)定 。 注 ：由公式知，當(dāng) n≥ 8時(shí)，柯特斯系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，這時(shí)，初始數(shù)據(jù)誤差將會(huì)引起計(jì)算結(jié)果誤差增大，即計(jì)算不穩(wěn)定。因此，實(shí)際計(jì)算不用 n≥ 8的牛頓 柯特斯公式 . 第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 解 用 梯形公式 計(jì)算 : = 估計(jì) 截?cái)嗾`差 為 = 用 Simpson公式 計(jì)算： =2. 0263． 例 Simpson公式計(jì)算積分 的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差 . 第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 估計(jì) 截?cái)嗾`差 為 = )(m a x2880 )12( )4(2152 ????? xfR x=
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