【正文】 . )()0(arc tan ivuzfxxyv????部的解析函數(shù)為虛以調和函數(shù)求解 xviyvzf ??????? )( 因為 2222 yx yiyx x ????0?y上式中，令xxf1)( ??cxxf ?? ln)(czzf ?? ln)(62 解 例 4 .)( ),(2)4)(( 22ivuzfyxyxyxyxvu?????????試確定解析函數(shù)已知,2)42)(()4( 22 ???????? yxyxyxyxvu xx兩邊同時求導數(shù) ,2)24)(()4( 22 ????????? yxyxyxyxvu yy , , xvyuyvxu ???????????且 上兩式分別相加減可得 ,233 22 ??? yxv y ,6 xyv x ?xy ivvzf ??? )( x y iyx 6233 22 ????23)( 2 ??? xxf?)( xf cxx ?? 23 ?)(zf .23 czz ??63 例 1 已知 在右半平面 是調和函數(shù)， 求在該半平面 解析的函數(shù) 使得 且 )( 22 yxxu ?? 0Re ?zviuzf ??)()( 22 yxxu ?? 21)1( iif ???22222)(39。 xyxyux ???222 )(239。xyxyuy ???222 )(239。xyxyvx ?? 22222)(39。 xyxyvy ???)()( 2 22222 ygyx ydxyx xyv ?????? ?由 積分得 xv39。解：求偏導數(shù)得 解法 1 由 C— R條件得： 64 兩邊對 求導，并且與上面所得的 比較有 yyv39。2222222222)()(39。)(39。 xyxyygxyxyvy ???????于是得 即 ,0)(39。 ?yg ,)( cyg ? cyx yv ???? 22從而 ?)(zf cizciyxyix ????? 122于是 21)1( iif ??? .0?c進一步由條件 可得 ?)(zfz1最后結果有 65 解法 2 在該右半平面 內取點 ，由式 （ ）得 )0,1(),( 00 ?yxcdyyxudxxuyxvyxxy ???? ?? ),(39。)0,(39。),(01cyx y ???? 2266 某區(qū)域內的調和函數(shù)是否必是該區(qū)域某個解析函數(shù)的實部或虛部？ 當區(qū)域是連通時，回答是肯定的。 注意：當 在 D內是 的共軛調和函數(shù)時，在 D 內 不一定是 的共軛調和函數(shù)。 ),( yxv ),( yxu),( yxu ),( yxv67 討論下面定理 4的反問題，即已知 是區(qū)域內的調和函數(shù)，利用函數(shù)在 內解析的充分必要條 件，求出解析函數(shù) ，使得其實部 或者虛部在 內為 。 由于多連通區(qū)域用割線可以分成一個或者幾個單連 通區(qū)域，因此我們只討論 為單連通區(qū)域情形。 討論在單連通區(qū)域 內已知解析函數(shù)的實部 ，求其虛部調和函數(shù) 。 由 由于 在單連通區(qū)域 內調和，可得 ),( yx?? ?D DDiyxvyxuzf ),(),()( ??),( yx?? ?DD),( yxu ?? ),( yxvv ?dydxdyvdxvdv xyyx 39。39。39。39。 ?? ?????),( yxu ?? Dyxyx?????? 39。39。 ?? 68 因此由本章命題 2 可以直接求出 為 其中 為任意實常數(shù)，該積分在 內與積分路徑無關。 可在 內取定點 和平行于坐標軸的路徑來計算。 如取從點 到點 再到點 的折線段可得 同理在單連通區(qū)域 內已知解析函數(shù)的虛部 ， 可求其實部調和函數(shù) ),( yxv??),(),( 00),(yxyxyxv cdydx xy ??? 39。39。 ??c DD ),( yxv ????),(),( 00),(yxyxyxu cdydx xy ?? 39。39。 ??)()(cdyyxdxyxyxvyyxxxy ???? ?? ),(39。),(39。),(000 ??D ),( 00 yx),( 00 yx ),( 0yx ),( yx)39。(69 本章主要內容 有向曲線 復積分 積分存在的 條件及計算 積分的性質 Cauchy積分定理 原函數(shù) 的概念 復合閉路定理 Cauchy 積分公式 高階導數(shù)公式 積分公式及計算 70 注意 1. 復積分的基本定理； 2. 柯西積分公式與高階導數(shù)公式 。 3. 復合閉路定理與復積分的計算 . 71 第三章 完 78 .d42 )1c o s (21001 zzzzzz? ?????練習： 計算以下積分沿指定路徑 23: ?? izC? ? ??C Czzzz ezzz .d)1()2(。d)1( 1)1( 22.10,d)1( 3光滑曲線的閉與是不經(jīng)過其中計算 CzzzeCz? ?79 解 22 2442 zzzz ????? ,1124 ????1?z當 時 , .0d42 )1c o s ( 21001 ??????? zzzzzz解答 80 利用柯西積分公式 ,11)( 121 內解析在 Czzf ?? ,)( 1)( 22 內解析在 Cizzzf ??? ? ? ?????C C C zzzzzzzzz 1 2 d)1( 1d)1( 1d)1( 1 222?? ? ???? 21 d)]([1d)1(12CC zizizzzzz)(2)0(2 21 iiffi ??????????? ????? 2122 ii .i??81 由復合閉路定理有則及為半徑作圓以為圓心及以分別及內有兩個奇點在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez?????? ? ? ?????C C Czzzzzz ezzz ezzz e1 2d)1(d)1(d)1( 222,1)( 121 內解析在 Cz ezfz??,)()( 22 內解析在 Cizz ezfz??因此由柯西積分公式得 82 ? ? ? ?????C C Czzzzzz ezzz ezzz e1 2d)1(d)1(d)1( 222? ????????21d)(d)1(2CzCzziz izzezzze)(2)0(2 21 iiffi ????????????? ?????222ieii) ] .1c o s2(1[ s i n ???? i)2( iei ???