【導(dǎo)讀】可得集合A∩B的“長度”的最小值為13－15＝215.－1m，＋∞，m＜0時，解集為。則只喜愛籃球的有15－x，只喜愛乒乓球的有10－x，由此可得＋＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人數(shù)為12.x＋1≥x－1x＋1≥－1)(x＋1)≥0且x≠－≥1. ＞－a－1)＜0.∵a＜1，∴2a＜a＋1.∴2a＜x＜a. ＋1≤－1，∴a≥12或a≤－a<1，則實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪????－1＜1－a＜1，－1＜1－a2＜1. T＝8.∵f為奇函數(shù)，在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，∴f在[－2,2]上是增函數(shù)．則f(－25)＝f(－。＝2＋nm＋mn≥4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號，1m＋1n的最小值為4.

　　

【正文】 2n－ 1＝ 2n＋ 1. 6. 11 解析： (a1＋ 1)2＋ (a2＋ 1)2＋ ? ＋ (a50＋ 1)2＝ 107，則 (a21＋ a22＋ ? ＋ a250)＋ 2(a1＋ a2＋ ?＋ a50)＋ 50＝ 107， ∴ a21＋ a22＋ ? ＋ a250＝ 39，故 a1， a2， ? ， a50中數(shù)字 0 的個數(shù)為 50－ 39＝11. 7. [24,36] 解析： an＝ 6n－ (9＋ a)，由題知 ≤ 9＋ a6 ≤ ， ∴ 24≤ a≤ 36. 8. 470 解析：由于 ??? ???cos2nπ3－ sin2nπ3 以 3 為周期，故 S30＝ ?? ??－ 12＋ 222 ＋ 32 ＋ ?? ??－ 42＋ 522 ＋ 62 ＋ ? ＋ ?? ??－ 282＋ 2922 ＋ 302 ＝ ?k＝ 110 ?? ??－ ?3k－ 2?2＋ ?3k－ 1?22 ＋ ?3k?2 ＝ ?k＝ 110 ?? ??9k－ 52 ＝ 9 10 112 － 25＝ 470，分組求和是解決本題的關(guān)鍵． 9. 解： (1) 由 Sn＝ (1＋ λ)－ λan n－ 1＝ (1＋ λ)－ λan－ 1(n≥ 2)． 相減得： an＝－ λan＋ λan－ 1， ∴ anan－ 1＝ λ1＋ λ(n≥ 2)， ∴ 數(shù)列 {an}是等比數(shù)列． (2) f(λ)＝ λ1＋ λ， ∴ bn＝ bn－ 11＋ bn－ 11bn＝1bn－ 1＋ 1， ∴ ??? ???1bn是首項為 1b1＝ 2，公差為 1 的等差數(shù)列， ∴ 1bn＝ 2＋ (n－ 1)＝ n＋ 1. ∴ bn＝ 1n＋ 1.(n∈ N*) (3) λ＝ 1 時， an＝ ?? ??12 n－ 1， ∴ ＝ an?? ??1bn－ 1 ＝ ?? ??12 n－ 1n， ∴ Tn＝ 1＋ 2?? ??12 ＋ 3?? ??12 2＋ ? ＋ n?? ??12 n－ 1， ① 12Tn＝ ?? ??12 ＋ 2?? ??12 2＋ 3?? ??12 3＋ ? ＋ n?? ??12 n， ② ① － ② 得： 12Tn＝ 1＋ ?? ??12 ＋ ?? ??12 2＋ ?? ??12 3＋ ? ＋ ?? ??12 n－ 1－ n?? ??12 n ∴ 12Tn＝ 1＋ ?? ??12 ＋ ?? ??12 2＋ ?? ??12 3＋ ? ＋ ?? ??12 n－ 1－ n?? ??12 n＝ 2?? ??1－ ?? ??12 n － n?? ??12 n， 所以： Tn＝ 4－ ?? ??12 n－ 2－ 2n?? ??12 n＝ 4－ n＋ 22n－ 1 . 10. 解： (1) n＝ 1 時，由 S2＝ tS1＋ a，解得 a2＝ at， 當(dāng) n≥ 2 時， Sn＝ tSn－ 1＋ a，所以 Sn＋ 1－ Sn＝ t(Sn－ Sn－ 1)，即 an＋ 1＝ ant， 當(dāng) n＝ 1 時，由 S2＝ tS1＋ a 得 a2＝ ta1，又因為 a1＝ a≠ 0， 綜上，有 an＋ 1an＝ t(n∈ N*)，所以 {an}是首項為 a，公比為 t 的等比數(shù)列， 所以 an＝ atn－ 1. (2) 當(dāng) t＝ 1 時， Sn＝ na， bn＝ na＋ 1， bn＋ 1－ bn＝ [(n＋ 1)a＋ 1]－ [na＋ 1]＝ a， 此時 {bn}為等差數(shù)列； 當(dāng) a＞ 0 時， {bn}為單調(diào)遞增數(shù)列，且對任意 n∈ N*， an＞ 0 恒成立，不合題意； 當(dāng) a＜ 0 時， {bn}為單調(diào)遞減數(shù)列，由題意知 b4＞ 0， b6＜ 0，且有????? b4≥ |b5|，－ b6≥ |b5|， 即????? |5a＋ 1|≤ 4a＋ 1，|5a＋ 1|≤ － 6a－ 1， 解得－29≤ a≤ －2， a 的取值范圍是 ?? ??－ 29，－ 211 . (3) 因為 t≠ 1， bn＝ 1＋ a1－ t－ atn1－ t，所以 ＝ 2＋ ?? ??1＋ a1－ t n－a1－ t(t＋ t2＋ ? ＋ tn)＝ 2＋?? ??1＋ a1－ t n－a?t－ tn＋ 1??1－ t?2 ＝ 2－at?1－ t?2＋1－ t＋ a1－ t n ＋atn＋ 1?1－ t?2，由題設(shè)知 {}是等比數(shù)列，所以有????? 2－ at?1－ t?2＝ 0，1－ t＋ a1－ t ＝ 0，解得????? a＝ 1，t＝ 2， 即滿足條件的數(shù)對是 (1,2)． (或通過 {}的前 3 項成等比數(shù)列先求出數(shù)對 (a， t)，再進(jìn)行證明 ) 滾動練習(xí) (三 ) 1. {4,5} 解析： A∪ B＝ {1,2,3}． 2. π4 解析：由正弦定理 asinA＝ csinC， ∴ sinA＝ cosA， ∴ tanA＝ 1， ∵ 0＜ A＜ π， ∴ A＝ π4. 3. 12 解析：由 a1＋ 3a8＋ a15＝ 60 得 5a1＋ 35d＝ 60， a8＝ 12,2a9－ a10＝ a8＝ 12. 4. 12 解析：周 期是 4π， ∴ ω＝ 2π4π＝ 12. 5. [0,4) 解析： mx2＋ mx＋ 1≠ 0 對 ∈ R恒成立．當(dāng) m＝ 0時，成立；當(dāng) m≠ 0 時， Δ＝ m2－ 4m＜ 0， ∴ 0＜ m＜ ， 0≤ m＜ 4. 6. 6 解析：本題考查線性規(guī)劃內(nèi)容． 7. ?? ??7π6 ， 11π6 解析： y′ ＝ 1＋ 2sinx＜ 0， ∴ sinx＜－ 12， ∴ 7π6 ＜ x＜ 11π6 . 8. π3 解析： ∵ m⊥ n， ∴ (a＋ c)(a－ c)＋ b(b－ a)＝ 0， ∴ a2＋ b2－ c22ab ＝12， ∴ cosC＝ 12， ∴ C＝ π3. 9. (－ ∞ ，－ 1)∪ (2，＋ ∞ ) 解析：畫出符合題意的草圖，則 x－ 2＜－ 3 或 x－ 2＞ 0. 10. 4 解析：本題其實是關(guān)于最小正周期問題． a2＝ a1－ t， a3＝ t＋ 2－ a1＋ t＝ 2t＋ 2－ a1，a4＝ a3－ t＝ t＋ 2－ a1， a5＝ t＋ 2－ a4＝ a1，故實數(shù) k 的最小值是 4. 11. 解： (1) f(x)＝ 12sin2x＋ 3cos2x＝ 12sin2x＋ 32 (1＋ cos2x) ＝ sin?? ??2x＋ π3 ＋ 32 ， ∴ f(x)的最小正周期為 T＝ 2π2 ＝ π. (2) 依題意得 g(x)＝ f?? ??x－ π4 ＋ 32 ＝ sin?? ??2?? ??x－ π4 ＋ π3 ＋ 32 ＋ 32 ＝ sin?? ??2x－ π6 ＋ 3，當(dāng)x∈ ?? ??0， π4 時， 2x－ π6∈ ?? ??－ π6， π3 ， ∴ － 12≤ sin?? ??2x－ π6 ≤ 32 ， ∴ 2 3－ 12 ≤ g(x)≤ 3 32 ， ∴ g(x)在 ?? ??0， π4 的最大值為 3 32 . 12. 解： (1) 當(dāng) n≤ 6時，數(shù)列 {an}是首項為 120，公差為－ 10 的等差數(shù)列． an＝ 120－ 10(n－ 1)＝ 130－ 10n；當(dāng) n≥ 7 時，數(shù)列 {an}是以 a6為首項，公比為 34的等比數(shù)列，又 a6＝ 70，所以 an ＝ 70 ?? ??34 n － 6 ，因此， 第 n 年 初， M 的價值 an 的表達(dá)式 為 an ＝????? 130－ 10n， n≤ 6， n∈ N*，70 ?? ??34 n－ 6， n≥ 7， n∈ N*. (2) 設(shè) Sn表示數(shù)列 {an}的前 n 項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得 當(dāng) 1≤ n≤ 6 時， Sn＝ 120n－ 5n(n－ 1)， An＝ 120－ 5(n－ 1)＝ 125－ 5n＞ 80； 當(dāng) n≥ 7 時， Sn＝ S6＋ (a7＋ a8＋ ? ＋ an)＝ 570＋ 70 34 4 ?? ??1－ ?? ??34 n－ 6 ＝ 780－ 210 ?? ??34 n－ 6， An＝780－ 210 ?? ??34 n－ 6n .因為 {an}是遞減數(shù)列，所以 {An}是遞減數(shù)列，又 A8＝780－ 210 ?? ??34 8－ 68 ＝ 824764＞ 80， A9＝780－ 210 ?? ??34 9－ 69 ＝ 767996＜ 80，所以須在第 9 年初對 M進(jìn)行更新． 13. 解： (1) f′ (x)＝ 3x2＋ 2ax＋ b. 由題意得????? f′ ?? ??23 ＝ 3 ?? ??23 2＋ 2a 23＋ b＝ 0，f′ ?1?＝ 3 12＋ 2a 1＋ b＝ 3.解得????? a＝ 2，b＝－ 4. 設(shè)切線 l的方程為 y＝ 3x＋ m(m0)，由原點(diǎn)到切線 l的距離為 1010 ， 有 |m|32＋ 1＝ 1010 ，解得 m＝ 1.∵ 切線 l不過第四象限， ∴ m＝ 1， m＝－ 1(舍 )， ∴ 切線l的方程為 y＝ 3x＋ 1，由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x＝ 1， ∴ 切點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,4)， ∵ f(1)＝ 1＋ a＋ b＋c＝ 4， ∴ c＝ 5. (2) 由 (1)知 f(x)＝ x3＋ 2x2－ 4x＋ 5，所以 f′ (x)＝ 3x2＋ 4x－ 4＝ (x＋ 2)(3x－ 2)，令 f′ (x)＝ 0，得 x1＝－ 2， x2＝ 23. x － 4 (－ 4，－ 2) － 2 ?? ??－ 2， 23 23 ?? ??23， 1 1 f′ (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 函數(shù)值 － 11 13 9527 4 ∴ f(x)在 [－ 4,1]上的最大值為 13，最小值為－ 11. 14. 解： (1) ∵ － 1， Sn， an＋ 1成等差數(shù)列， ∴ 2Sn＝ an＋ 1－ 1， ① 當(dāng) n≥ 2 時， 2Sn－ 1＝ an－ 1， ② ① － ② 得： 2(Sn－ Sn－ 1)＝ an＋ 1－ an， ∴ 3an＝ an＋ 1， ∵ a1＝ 1≠ 0， ∴ an≠ 0， ∴ an＋ 1an＝ n＝ 1 時，由 ① 得 ∴ 2S1＝ 2a1＝ a2－ 1，又 a1＝ 1， ∴ a2＝ 3， ∴ a2a1＝ 3， ∴ {an}是以 3 為公比的等比數(shù)列， ∴ an＝ 3n－ 1. (2) ∵ f(x)＝ log3x， ∴ f(an)＝ log33n－ 1＝ n－ 1， bn＝ 1?n＋ 3?[f?an?＋ 2]＝ 1?n＋ 1??n＋ 3?＝ 12????1n＋ 1－1n＋ 3 ， ∴ Tn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋ ? ＋1n－1n＋ 2＋1n＋ 1－1n＋ 3＝1212＋13－1n＋ 2－1n＋ 3＝512－2n＋ 52?n＋ 2??n＋ 3?，比較 Tn與512－2n＋ 5312 的大小，只需比較 2(n＋ 2)(n＋ 3)與 312的大小即可．又 2(n＋ 2)(n＋ 3)－ 312＝ 2(n2＋ 5n＋ 6－ 156)＝ 2(n2＋ 5n－ 150)＝ 2(n＋ 15)(n－10)， ∵ n∈ N*， ∴ 當(dāng) 1≤ n≤ 9 時 n∈ N*,2(n＋ 2)(n＋ 3)＜ 312，即 Tn＜ 512－ 2n＋ 5312 ； ∴ 當(dāng) n＝ 10 時， 2(n＋ 2)(n＋ 3)＝ 312，即 Tn＝ 512－ 2n＋ 5312 ；當(dāng) n＞ 10 且 n∈ N*時， 2(n＋ 2)(n＋ 3)＞ 312，即 Tn＞ 512－ 2n＋ 5312 ；當(dāng) n＝ 10 時， 2(n＋ 2)(n＋ 3)＝ 312，即 Tn＝ 512－ 2n＋ 5312 ；當(dāng) n10 且 n∈ N*時， 2(n＋ 2)(n＋ 3)312，即 Tn 512－ 2n＋ 5312 . 專題四 平面解析幾何 第 12 講 直線與圓的方程及應(yīng)用 1. 3x＋ y－ 3＋ 2＝ 0 解析：由點(diǎn)斜式得直線方程為 y＋ 2＝ tan120176。(x－ 1)， ∴ y＋ 2＝－ 3(x－ 1)， ∴ 3x＋ y＋ 2－ 3＝ 0. 2. x－ 2y－ 1＝ 0 解析：由已知可得所求直線方程為 y－ 0＝ 12(x－ 1)， ∴ x－ 2y－ 1＝ 0. 3. (x＋ 5)2＋ y2＝ 5 解析：設(shè)圓心為 (a,0)， a＜ 0， 5＝ |a|12＋ 22， ∴ a＝－ 5， ∴ 圓的方程為 (x＋ 5)2＋ y2＝ 5. 4. 5＋ 1 解析：點(diǎn) (2,3)到圓心的距離是 ?2－ 1?2＋ ?3－ 1?2＝ 5，則距離的最大值是 5＋ r＝ 5＋ 1. 5. － 1 或－ 3 解析：本題考查數(shù)形結(jié)合思想．圓的半徑為 2，要滿足題意，只需圓心到直線距離 d＝ 22 ， ∴ 22 ＝ |1＋ 1＋ a|2 ， ∴ a＝－ 1 或 a＝－ 3. 6. 177。 3 解析：本題考查數(shù)形結(jié)合思想．由 ∠ POQ＝ 120176。知