【正文】 別為：。圖 FOPD控制系統(tǒng)Bode圖，從圖中可以清楚地觀察到，系統(tǒng)的穿越頻率是，系統(tǒng)的相位裕度為，滿足設(shè)計的要求。另外可以看到在穿越頻率處相位頻率特性曲線是平直的，這一點也保證了系統(tǒng)的等阻尼特性即系統(tǒng)開環(huán)增益一定程度的擾動變化不會對系統(tǒng)的超調(diào)有明顯的影響。從這個算例的Bode圖上可以證明，根據(jù)三個整定方程可以得到一個滿足設(shè)計要求的控制器。由于在三個整定方程中，存在了一些非線性環(huán)節(jié)，因此系統(tǒng)方程的解并不是常常存在。根據(jù) ()可以知道對于此類單輸入單輸出系統(tǒng)要保持穩(wěn)定，和都必須大于0。所以，必須大于零（）。的相角需要在第一象限或第二象限，所以以及T需要滿足： () 分?jǐn)?shù)階[PD]控制器設(shè)計FO[PD]的傳遞函數(shù)已經(jīng)在前面介紹了。根據(jù)FO[PD]控制器的頻域模型我們有 ()那么，的相位和增益為： () ()因此，開環(huán)傳遞函數(shù)的相位和增益為： () ()對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，同樣需要滿足式()、()，系統(tǒng)需要具有增益魯棒性則還需要滿足式()。假定：那么以及被解得。 FO[PD]控制系統(tǒng)Bode圖[PD]的Bode圖，可以看到在滿足三個整定方程的時候系統(tǒng)在穿越頻率處的相位曲線是平直的，這也意味著系統(tǒng)對開環(huán)增益的變化具有魯棒性。從式(),()()中可以發(fā)現(xiàn)，由于非線性環(huán)節(jié)的存在，方程組可能具有無解的情況。因此有必要討論利用此種方法解存在性的約束條件。根據(jù)分析，系統(tǒng)解存在首先需要滿足， （）其中，假設(shè)是一個由下式給定的參數(shù) （）根據(jù)式()，如果的值在中，若A存在有理數(shù)的解，那么還應(yīng)該滿足 （）由于系統(tǒng)在穿越頻率處的開環(huán)增益需要滿足式（），于是可以得到 （）根據(jù)式（），我們有 （）于是聯(lián)立（），（）可以得到 （）由式()知道是一個對的增函數(shù)，而是一個對的減函數(shù)，那么是這個函數(shù)的一個極點。同時，由于是控制器的相位，因為控制器應(yīng)該使得系統(tǒng)穩(wěn)定，那么必須為正實數(shù)且應(yīng)大于0。所以控制器相位在第一象限，對于，也是一個減函數(shù)且他的下降的速度會比快。因此，如果A的解存在，下面兩個式子必然成立 （） （）其中。，被控對象參數(shù)T及相位裕度分別被設(shè)定為T=。在紅線區(qū)域下的部分滿足式()，同時在黑線下的區(qū)域滿足式()，因此重疊部分為的取值范圍。假設(shè)一種情況，如果當(dāng)相位裕度從40度增加到70度，我們可以看到他們和L的變化，、。在這些圖中L和能夠從線下的區(qū)域部分選擇。，和L的關(guān)系圖 當(dāng)，和L的關(guān)系，和L的關(guān)系圖 2. 9當(dāng)，和L的關(guān)系 當(dāng)，和L的關(guān)系為說明分?jǐn)?shù)階控制器的性能特點，傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器也通過同樣的方法進行了整定設(shè)計?？刂破鞯念l域表示為： （）相位和增益分別為： （） （）那么，開環(huán)傳遞函數(shù)為： （）開環(huán)系統(tǒng)的相位和增益分別是 （） （）因為開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在穿越頻率處應(yīng)滿足 （） （）從相位在穿越頻率處平直的條件可以得到： （）在前面的例子中已經(jīng)給出了的值。從上面的式子中可以計算出：。 IOPID系統(tǒng)的Bode圖。雖然從波特圖中可以看到在穿越頻率處相位是平直的，但是控制器中積分部分的系數(shù)為負(fù)值，從系統(tǒng)的整定方程中看到： （）如果為負(fù)值，則總能找到一個實部為正的根滿足方程要求。那就意味著系統(tǒng)將不穩(wěn)定。于是可以斷定在這種條件下，找不到滿足要求的整數(shù)階PID參數(shù)使得系統(tǒng)穩(wěn)定。 增益魯棒性FOPI及FO[PI]控制器整定算法在實際的工業(yè)應(yīng)用中傳統(tǒng)的整數(shù)階比例+積分（PI）或比例+微分（PD）控制器是采用較多的兩種結(jié)構(gòu)的PID控制器。事實上，被控對象的結(jié)構(gòu)特點是決定選擇何種PID控制器的一個關(guān)鍵因素，對于有積分環(huán)節(jié)的被控對象，設(shè)計者們關(guān)心得更多的是系統(tǒng)響應(yīng)的快速性；而對于沒有積分環(huán)節(jié)的被控對象，消除靜差是設(shè)計者首要考慮的重要問題。對分?jǐn)?shù)階PID控制器而言，也可以遵循這個規(guī)則，對于沒有積分環(huán)節(jié)的被控對象，一般選擇分?jǐn)?shù)階PI控制器。電機轉(zhuǎn)速系統(tǒng)的頻域數(shù)學(xué)模型通常可以被描述成一階加延時的形式，如 ()其中T為系統(tǒng)的時間常數(shù)，L為系統(tǒng)的死區(qū)時間或延遲時間，K為系統(tǒng)直流增益。事實上大量的系統(tǒng)都能用這種傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)進行建模。這里介紹的兩種分?jǐn)?shù)階PI控制器的傳遞函數(shù)為 () () 其中。下面將介紹根據(jù)式（）、（）、（）如何來計算得到分?jǐn)?shù)階PI及[PI]控制器參數(shù)。 FOPI控制器參數(shù)整定方法 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 ()其中分?jǐn)?shù)階PI控制器的結(jié)構(gòu)如式（）所示，被控對象的傳遞函數(shù)如式（）所示。為方便進行頻域分析控制器的傳遞函數(shù)可以寫成 ()同時控制器的相位和增益表達式為 () ()開環(huán)系統(tǒng)的相位可以表示成 ()開環(huán)系統(tǒng)的幅值可以表示成 ()那么，和可以建立如下關(guān)系， ()其中， ()為保證系統(tǒng)對開環(huán)增益的變化具有魯棒性，根據(jù)整定方程3，系統(tǒng)需要滿足 ()由此，可以建立關(guān)于和的函數(shù)關(guān)系 ()其中那么， ()根據(jù)設(shè)計的參數(shù)整定方程（），可以得到一個關(guān)于的方程 ()通過以上幾個方程，可以求得分?jǐn)?shù)階PI控制器的三個參數(shù)。 FO[PI]控制器整定方法根據(jù)FO[PI]控制器的傳遞函數(shù)，可以得到它的頻率響應(yīng) ()控制器的相位和增益為 () ()控制系統(tǒng)的相位可以表示為 ()系統(tǒng)滿足開環(huán)增益魯棒性的條件為 ()系統(tǒng)穿越頻率需要滿足 ()根據(jù)以上幾個式子，可以聯(lián)立出方程組 () () ()通過簡化方程，可以得到 () () ()其中E、F分別是通過解出以上三式，可以得到控制器的三個參數(shù) 系統(tǒng)仿真為驗證提出的整定方法，在這一章節(jié)，我們將利用Matlab/Simulink對三個控制系統(tǒng)進行仿真研究。分?jǐn)?shù)階算子對應(yīng)的FOPD、FOPI控制器的微分部分，分?jǐn)?shù)階部分對應(yīng)于分?jǐn)?shù)階FO[PD]、FO[PI]控制器，實現(xiàn)原理主要是根據(jù)脈沖響應(yīng)時不變方法，相關(guān)具體的說明及Matlab代碼可以在文獻[79,80]中找到。前面已經(jīng)對四種控制器整定方法作了詳細說明。為公平驗證三個控制器，系統(tǒng)參數(shù)已作調(diào)整（主要是針對先前設(shè)定參數(shù)對于常規(guī)整數(shù)階PID不能得到穩(wěn)定系統(tǒng)參數(shù)而言的調(diào)整）。在此情況下，系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定為。 FOPD控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)根據(jù)前面討論的方法，F(xiàn)OPD控制器的參數(shù)經(jīng)過計算以后得到： 。，%。為了說明系統(tǒng)的魯棒性，我們將開環(huán)系統(tǒng)增益變化。，我們可以觀察到在增益改變后系統(tǒng)的超調(diào)基本沒有改變。顯然，從仿真結(jié)果我們可以認(rèn)定分?jǐn)?shù)階控制器不僅能使得系統(tǒng)穩(wěn)定，還能夠在很大范圍內(nèi)改善系統(tǒng)性能。 FOPD控制系統(tǒng)階躍響應(yīng) FO[PD]控制器階躍響應(yīng) 因為給定的參數(shù)在FO[PD]控制器參數(shù)存在的范圍，我們可以通過前面介紹的方法計算出控制器的參數(shù)：。圖 2. 13 FO[PD]控制系統(tǒng)階躍響應(yīng) 是FO[PD]控制器的階躍響應(yīng)曲線，同時我們將其與此系統(tǒng)開環(huán)增益變化的階躍響應(yīng)曲線作了比較。結(jié)果可以從圖中看出，%。圖中已驗證系統(tǒng)滿足魯棒性要求。 IOPID控制器階躍響應(yīng) 如我們前面所闡述的，對于某些系統(tǒng)參數(shù)，我們無法得到滿足魯棒性要求的IOPID參數(shù)。先前我們已經(jīng)調(diào)整了系統(tǒng)參數(shù)以比較三種控制器性能。根據(jù)調(diào)整后的參數(shù)，我們用前面介紹的方法可以計算得到整數(shù)階PID的三個參數(shù)：圖 2. 14 IOPID控制系統(tǒng)階躍響應(yīng) %。我們同樣對系統(tǒng)的增益改變了，從圖中可以看到，系統(tǒng)的超調(diào)有3%的變化。根據(jù)此我們可以認(rèn)為：（1） 對整數(shù)階控制器在參數(shù)允許的范圍內(nèi)，同樣可以獲得具有魯棒性的控制器參數(shù)；（2） 很明顯地，分?jǐn)?shù)階控制器與整數(shù)階控制器在同樣的整定方法下，分?jǐn)?shù)階控制器的魯棒性更優(yōu)；（3） 經(jīng)過分析認(rèn)為用此類算法整定控制器，F(xiàn)OPD、FO[PD]控制器解存在的范圍大于整數(shù)階PID控制器。 利用三種控制器進行仿真比較，容易看出利用FOPD和FO[PD]控制器的階躍響應(yīng)超調(diào)小于整數(shù)階PID控制器。從調(diào)整時間來看，IOPID的調(diào)整時間也是最長的。 FOPD、FO[PD]、IOPID三種控制器的比較 FOPI控制器階躍響應(yīng)分?jǐn)?shù)階PI控制器的參數(shù)整定方法在前面已經(jīng)討論過，這里將對前面所推導(dǎo)的控制器參數(shù)表達式進行仿真驗證。首先以一個電機的模型作為被控對象的設(shè)定參數(shù)：。根據(jù)討論方法計算得到控制器的參數(shù)為：。為驗證計算結(jié)果的正確性，可以從Bode圖穿越頻率處相位曲線是否“平直”來驗證。，從圖中可以看到系統(tǒng)在穿越頻率處的相頻曲線是平直的，也就是說系統(tǒng)參數(shù)滿足設(shè)計要求。 FOPI開環(huán)控制系統(tǒng)Bode圖，是控制器的階躍響應(yīng)曲線，同時還疊加了在開環(huán)增益變化的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線?？梢詮膱D中觀察到，雖然系統(tǒng)的開環(huán)增益變化了10%，但系統(tǒng)的超調(diào)基本上沒有變化，三個系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線也基本保持一致。 FOPI控制系統(tǒng)階躍響應(yīng) FO[PI]控制器階躍響應(yīng)為與FOPI控制進行公平的比較，F(xiàn)O[PI]控制器也利用相同的被控對象，其系統(tǒng)參數(shù)已經(jīng)在上一部分進行了討論。通過提出的計算方法，可以得到控制器的參數(shù)值為：。通過計算的結(jié)果可以畫出開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖。從圖中可以看到，系統(tǒng)在穿越頻率處的相頻曲線是平直的，由此可以判斷整定參數(shù)滿足設(shè)計要求。 FO[PI]控制系統(tǒng)Bode圖根據(jù)控制器的參數(shù)，可以對系統(tǒng)進行仿真?？梢詮膱D中看到，雖然系統(tǒng)的開環(huán)增益變化了，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)基本沒有變化，且三條系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線基本一致。由此也可以證明此方法能有效的增強系統(tǒng)對開環(huán)增益變化的魯棒性。 FO[PI]控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)同樣的，為了將分?jǐn)?shù)階PI控制器與整數(shù)階PID控制器的性能進行比較，將三種控制器的階躍響應(yīng)進行了對比。從圖中可以看到，分?jǐn)?shù)階PI及[PI]的動態(tài)性能相似，但均優(yōu)于整數(shù)階PID控制器。 FOPI、FO[PI]、IOPID 三種控制器階躍響應(yīng)比較 本章小結(jié) 本章中，我們系統(tǒng)性地討論了FOPD、FO[PD]、FOPI、FO[PI]四種分?jǐn)?shù)階控制器的整定方法。由于整定方程存在部分非線性計算環(huán)節(jié)，因此在整定計算過程中常常遇到根據(jù)方程找不到解得情況。針對此類問題，本文通過研究控制器參數(shù)整定方程，找出了系統(tǒng)參數(shù)間的關(guān)系。這些結(jié)論對控制系統(tǒng)參數(shù)的選擇有一定的指導(dǎo)作用。為了驗證算法的正確性，利用Matlab\Simulink對各種結(jié)構(gòu)的控制器進行了仿真，仿真結(jié)果說明了以下幾個問題：(1)通過用提出的方法整定的控制器完全能夠滿足系統(tǒng)開環(huán)增益魯棒性的要求；(2)控制器能使得傳統(tǒng)的幾類伺服系統(tǒng)穩(wěn)定，并可得到很好的控制性能；(3)從幾種控制器比較的結(jié)果可以看到分?jǐn)?shù)階PID控制器明顯優(yōu)于傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器。第3章 對系統(tǒng)時