【正文】 ()整數(shù)階在控制系統(tǒng)的中的應用主要為：其一是運用整數(shù)階控制器對被控制的對象進行控制，其二就是運用整數(shù)階微積分的理論直接對被控制的對象進行分析和建模。下面這里就這兩種控制形式分別舉例分析。例1.在第三章的例1中我們介紹了一個簡單控制系統(tǒng)的例子，其傳遞函數(shù)為： ()第三章的時候分別用數(shù)值解法和解析解法對這一系統(tǒng)所推導的微分方程進行了求解，并分別進行了MATLAB編程，作出了系統(tǒng)的輸出的圖像，在第三章中的時候取的是分數(shù)，即用分數(shù)階微積分的理論對控制系統(tǒng)進行的分析，現(xiàn)在就用整數(shù)階微積分的理論對這一控制系統(tǒng)進行分析。在這里如果取a2=，a1=，a0=1，β=2，ɑ=1。運行程序2可以得到分數(shù)階微分方程在這些參數(shù)下的圖像如下： 例1在階躍輸入下的輸出圖像由上圖及圖()的對比可知，分數(shù)階控制和整數(shù)階控制的不同，其圖像的大致輪廓與圖()的輪廓有一定的相似，但是在圖像幅度即調(diào)整時間方面還是有一定的差別的。例2.除了上面這種直接對被控對象進行建模分析，還有就是用控制器對被控對象進行控制的，下面這里就簡單來看一個這種類型的控制系統(tǒng)。下圖就是一個常見的控制器所控制的被控對象的控制系統(tǒng)框圖，其中的G(s)為被控對象，Gc(s)為主回路控制環(huán)節(jié)，W(s)為此控制系統(tǒng)的輸入，Y(s)為輸出。Gc(s)G(s) 控制系統(tǒng)基本控制框圖在這里如果設(shè)定和第三章例2相似的被控對象，即: ()如果控制系統(tǒng)的控制環(huán)節(jié)為PD控制系統(tǒng)，即Gc(s)為，這里可以得出和例2相同的微分方程如下： ()在第三章中的時候?qū)Ψ謹?shù)階微分方程進行了解析解法和數(shù)值解法兩種方法的求解，并分析了兩種方法的適用條件，上式為較復雜的分數(shù)階微分方程，那么這里可以采用分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法。根據(jù)之前分數(shù)階微積分的定義，式子()可以化為以下的形式：分子為：分母為：則遞推公式為： ()根據(jù)上述式子，在MATLAB中編制程序，取a2=，a1=，a0=1，β=2，ɑ=1，Kp=，Kd=，μ=1。運行附錄程序6，可以得到如下圖像： 例2在階躍輸入整數(shù)控制器下的輸出 改變參數(shù)取a2=，a1=，a0=1，β=2，ɑ=1，Kp=，Kd=，μ=。運行附錄程序6，可以得到如下圖像： 階躍輸入時分數(shù)階控制器控制的輸出 兩圖進行比較，調(diào)節(jié)時間較小，震蕩次數(shù)減少，系統(tǒng)控制效果更加明顯，由此可以得出：相比與分數(shù)階控制器控制整數(shù)階的被控對象，整數(shù)階的控制器對整數(shù)階的被控對象有著更加好的控制效果。分數(shù)階控制系統(tǒng)是控制系統(tǒng)分類中的一個非常重要的組成部分，隨著在實際工程中分數(shù)階起著越來越重要的作用，對分數(shù)階控制系統(tǒng)的研究也成為當今的一大熱點，分數(shù)階微積分控制系統(tǒng)也就是含有分數(shù)階微積分環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)，分數(shù)階微積分控制系統(tǒng)可以更加準確地描述控制系統(tǒng)，源于其分數(shù)階系統(tǒng)自身的特點，即分數(shù)階微積分的記憶特性，這點是整數(shù)階微積分所不具有的，所以分數(shù)階控制系統(tǒng)在工程實際中的作用愈發(fā)的重要。本小節(jié)就將著重來介紹一下分數(shù)階微積分控制系統(tǒng)。分數(shù)階控制系統(tǒng)即為運用分數(shù)階微分方程理論等分數(shù)階微積分方面的知識建立起來的系統(tǒng)類型，與整數(shù)階在控制系統(tǒng)的作用相似，分數(shù)階在控制系統(tǒng)中也由兩種作用形式：其一即為運用分數(shù)階微積分的控制器直接對受控的系統(tǒng)對象進行控制；其二為對受控的對象在分數(shù)階微積分理論方面建立數(shù)學模型。這兩種是分數(shù)階微積分理論在分數(shù)階微積分控制系統(tǒng)中的作用。對于第二種作用，可以用如下的描述，和整數(shù)階控制系統(tǒng)一樣，我們也可以用分數(shù)階微分方程來描述分數(shù)階控制系統(tǒng)，表示如下： ()其中λ和β為任意的實數(shù)，而λ和β滿足式子以及式子， 。當設(shè)U(s)為此分數(shù)階控制系統(tǒng)的輸如，Y(s)為此分數(shù)階控制系統(tǒng)的輸入，我們可以得到分數(shù)階控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示方法如下： ()分數(shù)階控制系統(tǒng)的另一種作用就是運用分數(shù)階控制器進行控制，在控制系統(tǒng)中加入分數(shù)階環(huán)節(jié)，這樣的系統(tǒng)就含有了分數(shù)階控制器，此系統(tǒng)也就成為了分數(shù)階控制系統(tǒng)，就具有了分數(shù)階控制系統(tǒng)的一些性質(zhì)和特點。如下圖是含有控制器的控制系統(tǒng)的框圖：Gc(s)G(s)圖 其中G(s)為被控對象，Gc(s)為主回路控制環(huán)節(jié)，W(s)為此控制系統(tǒng)的輸入，Y(s)為輸出。設(shè)定被控對象G(s)為： ()分數(shù)階控制器為，由自動理論控制方面的知識這里可以得到此分數(shù)階微積分控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下所示： ()上述式子即為在分數(shù)階控制系統(tǒng)中常見的PID控制器的控制模型，此控制系統(tǒng)最大的特點就是含有兩個可以變化的參數(shù)變量，這種變化增加了控制器的控制靈活性，但是隨之也增加了系統(tǒng)的設(shè)計及實施的難度，根據(jù)這一式子這里可以得到此分數(shù)階控制系統(tǒng)的分數(shù)階微分方程如下所示： ()上式就是此控制器為時?？刂葡到y(tǒng)的分數(shù)階微分方程，由第三章的學習，在這里有兩種求解此分數(shù)階微分方程的方法，即解析解法和數(shù)值解法。鑒于此分數(shù)階控制系統(tǒng)的復雜性，在這里使用數(shù)值解法來求解此分數(shù)階微分方程。分子為分母為所以這里得到的分數(shù)階微分方程的解為 ()在實際的工程運用中，分數(shù)階控制系統(tǒng)有著非常重要的地位和作用，下面這里就來看一下分數(shù)階控制系統(tǒng)的具體例子。例3 首先選取一個被控對象，其傳遞函數(shù)如下： () 這里可以取a2=1，a1=，a0=1，β=，ɑ=，由附錄程序2，在這里可以得到此被控對象的圖像如下所示： 被控對象在階躍輸入下的輸出如圖所示：可知此被控對象的調(diào)整時間太長，震蕩劇烈，超調(diào)量太大，系統(tǒng)不符合要求，所以必須對此系統(tǒng)添加控制器來改善被控對象的控制效果。現(xiàn)在這里先添加分數(shù)階控制器，來觀察分數(shù)階控制器的控制效果，及參數(shù)變化所帶來的影響。分數(shù)階控制器選取分數(shù)階PID控制器，由上一小節(jié)所推導出的遞推式子()，在這里可以在MATLAB中編制程序，取Kp=2，ki=5，Kd=4，λ=1，μ=1時，得到的控制系統(tǒng)的輸出圖像如下所示： 由上圖，即為當λ和μ都為整數(shù)時，此控制器所起到的控制效果，如系統(tǒng)輸出圖像可以看到，系統(tǒng)震蕩嚴重，超調(diào)及調(diào)整時間過長，故不符合控制器調(diào)節(jié)優(yōu)化系統(tǒng)的作用。改變參數(shù)，令Kp=2，ki=5，Kd=4，λ=，μ=，編寫程序，程序見附錄程序8，運行程序可以得到控制系統(tǒng)的輸出圖像如下所示：如圖所示：在此分數(shù)階控制器的控制下，被控對象的控制性能得到了很好的改善，超調(diào)量得到了降低，調(diào)節(jié)時間明顯縮短，在此可以看出分數(shù)階控制器的對分數(shù)階被控對象有很好的控制作用。下面我們來討論一下參數(shù)的變化對系統(tǒng)的影響：(1) 當增加kp，取kp增加到8時，運行程序得到如下圖像： kp增加時被控對象在階躍輸入下的輸出由圖可知：當kp增加時，系統(tǒng)動作靈敏，響應速度加快，但是，kp的增加可導致超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時間加長，振蕩次數(shù)增加，所以kp應取適當值。(2) 當增加ki時，取ki為15，運行程序，得到如下圖像： ki增加時被控對象在階躍輸入下輸出由上圖所示，當Ki增加時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差降低，但是ki過大時，可導致系統(tǒng)超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時間加長，振蕩次數(shù)增加，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以ki應取適當值。(3)減小kd時,取kd=2時，運行程序，得到圖像如下所示： kd減小時被控對象在階躍輸入下輸出由上圖可知，kd與kp的效果剛好相反，減小kd時，系統(tǒng)超調(diào)量增大，系統(tǒng)振蕩次數(shù)增加，容易不穩(wěn)定，所以kd和kp的變化要適應。 本章小結(jié)在本章之中主要討論了分數(shù)階控制系統(tǒng)的仿真實例，著重介紹了整數(shù)階控制系統(tǒng)及其分數(shù)階控制系統(tǒng)的定義，及這兩種控制系統(tǒng)在控制系統(tǒng)中的作用，并分別舉例分析了這兩種控制系統(tǒng)的控制效果，對于分數(shù)階控制系統(tǒng)，著重介紹了分數(shù)階控制器對被控對象的影響，通過這些例子?？梢钥闯鰧τ谡麛?shù)階的被控對象，整數(shù)階的控制器可以收獲更好的控制效果[9]。而對于分數(shù)階的被控對象，分數(shù)階的控制器有著更好的控制作用，并在最后觀察了參數(shù)變化時對于被控對象圖像變化的影響。5 結(jié)論 本文研究的主要內(nèi)容為分數(shù)階控制系統(tǒng)的仿真與分析，主要介紹了分數(shù)階微積分的一些基本概念，通過一些數(shù)學基本函數(shù)和拉普拉斯變換等數(shù)學基本運算等這些工具，給出了分數(shù)階微積分的定義及性質(zhì)，通過這些定義和性質(zhì)的給出，可以可以比較清晰地對分數(shù)階微積分理論有全面的認識和了解；介紹了分數(shù)階微分方程的一些基本概念，以及分數(shù)階微分方程的解的性質(zhì)，分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法及解析解法這兩種求解方法，并分別舉例分析求解思路及求解過程，得到：如果分數(shù)階微分方程比較簡單，那么就可以采用解析解法，可以比較方便的得出結(jié)果；但是如果所求的分數(shù)階微分方程過于復雜和繁瑣，那么再用解析解法就顯得太過于復雜，而且有可能得不到正確的結(jié)果，那么就可以運用數(shù)值解法來進行分數(shù)階微分方程的求解，就會收獲比較好的效果；介紹了整數(shù)階控制系統(tǒng)及分數(shù)階控制系統(tǒng)，并分別用整數(shù)階控制器和分數(shù)階控制器控制整數(shù)階被控對象和分數(shù)階被控對象，并觀察相應的控制效果，得到：整數(shù)階控制器對整數(shù)階被控對象有著較好的控制效果，而分數(shù)階控制器對分數(shù)階的被控對象有著更好的控制效果，這在實際的應用中可以幫助人們更好的選擇控制器的類型；本文還觀察了參數(shù)變化對控制器控制效果的影響，通過觀察這些變化所造成的影響可以在選擇參數(shù)方面有所幫助。也可以通過這些變化對分數(shù)階控制系統(tǒng)的靈活性有著比較清晰的認識[10]。 通過本文可以對分數(shù)階控制系統(tǒng)有著清楚的了解，也就可以看出為何分數(shù)階微積分可以應用于許多的領(lǐng)域，并逐漸發(fā)展成為一個非常熱門的研究方向，相信隨著分數(shù)階微積分的繼續(xù)發(fā)展，以及科學技術(shù)的不斷發(fā)展，更多的分數(shù)階控制系統(tǒng)將會在在實際工程中的得到應用，分數(shù)階微積分肯定會越來越展現(xiàn)其特點和優(yōu)勢，會越來越成為實際工程中不可或缺的理論基礎(chǔ)，繼而也將會有更多的研究人員投身于此理論的研究，從而形成良性循環(huán)，促進分數(shù)階微積分的不斷發(fā)展。致謝在本文即將完成之時，在這里我向我的導師教授及所有幫助過我人表示感謝，曾教授關(guān)心支持我的寫作，在我的論文寫作期間給予我極大的幫助，每當遇到不懂之處都會盡心解疑，直至最終的完稿，在這里表示由衷的感謝。參考文獻[1] . 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