【正文】 ()整數(shù)階在控制系統(tǒng)的中的應(yīng)用主要為：其一是運(yùn)用整數(shù)階控制器對(duì)被控制的對(duì)象進(jìn)行控制，其二就是運(yùn)用整數(shù)階微積分的理論直接對(duì)被控制的對(duì)象進(jìn)行分析和建模。下面這里就這兩種控制形式分別舉例分析。例1.在第三章的例1中我們介紹了一個(gè)簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)的例子，其傳遞函數(shù)為： ()第三章的時(shí)候分別用數(shù)值解法和解析解法對(duì)這一系統(tǒng)所推導(dǎo)的微分方程進(jìn)行了求解，并分別進(jìn)行了MATLAB編程，作出了系統(tǒng)的輸出的圖像，在第三章中的時(shí)候取的是分?jǐn)?shù)，即用分?jǐn)?shù)階微積分的理論對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行的分析，現(xiàn)在就用整數(shù)階微積分的理論對(duì)這一控制系統(tǒng)進(jìn)行分析。在這里如果取a2=，a1=，a0=1，β=2，ɑ=1。運(yùn)行程序2可以得到分?jǐn)?shù)階微分方程在這些參數(shù)下的圖像如下： 例1在階躍輸入下的輸出圖像由上圖及圖()的對(duì)比可知，分?jǐn)?shù)階控制和整數(shù)階控制的不同，其圖像的大致輪廓與圖()的輪廓有一定的相似，但是在圖像幅度即調(diào)整時(shí)間方面還是有一定的差別的。例2.除了上面這種直接對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行建模分析，還有就是用控制器對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制的，下面這里就簡(jiǎn)單來(lái)看一個(gè)這種類(lèi)型的控制系統(tǒng)。下圖就是一個(gè)常見(jiàn)的控制器所控制的被控對(duì)象的控制系統(tǒng)框圖，其中的G(s)為被控對(duì)象，Gc(s)為主回路控制環(huán)節(jié)，W(s)為此控制系統(tǒng)的輸入，Y(s)為輸出。Gc(s)G(s) 控制系統(tǒng)基本控制框圖在這里如果設(shè)定和第三章例2相似的被控對(duì)象，即: ()如果控制系統(tǒng)的控制環(huán)節(jié)為PD控制系統(tǒng)，即Gc(s)為，這里可以得出和例2相同的微分方程如下： ()在第三章中的時(shí)候?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行了解析解法和數(shù)值解法兩種方法的求解，并分析了兩種方法的適用條件，上式為較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階微分方程，那么這里可以采用分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法。根據(jù)之前分?jǐn)?shù)階微積分的定義，式子()可以化為以下的形式：分子為：分母為：則遞推公式為： ()根據(jù)上述式子，在MATLAB中編制程序，取a2=，a1=，a0=1，β=2，ɑ=1，Kp=，Kd=，μ=1。運(yùn)行附錄程序6，可以得到如下圖像： 例2在階躍輸入整數(shù)控制器下的輸出 改變參數(shù)取a2=，a1=，a0=1，β=2，ɑ=1，Kp=，Kd=，μ=。運(yùn)行附錄程序6，可以得到如下圖像： 階躍輸入時(shí)分?jǐn)?shù)階控制器控制的輸出 兩圖進(jìn)行比較，調(diào)節(jié)時(shí)間較小，震蕩次數(shù)減少，系統(tǒng)控制效果更加明顯，由此可以得出：相比與分?jǐn)?shù)階控制器控制整數(shù)階的被控對(duì)象，整數(shù)階的控制器對(duì)整數(shù)階的被控對(duì)象有著更加好的控制效果。分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)是控制系統(tǒng)分類(lèi)中的一個(gè)非常重要的組成部分，隨著在實(shí)際工程中分?jǐn)?shù)階起著越來(lái)越重要的作用，對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的研究也成為當(dāng)今的一大熱點(diǎn)，分?jǐn)?shù)階微積分控制系統(tǒng)也就是含有分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階微積分控制系統(tǒng)可以更加準(zhǔn)確地描述控制系統(tǒng)，源于其分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)自身的特點(diǎn)，即分?jǐn)?shù)階微積分的記憶特性，這點(diǎn)是整數(shù)階微積分所不具有的，所以分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)在工程實(shí)際中的作用愈發(fā)的重要。本小節(jié)就將著重來(lái)介紹一下分?jǐn)?shù)階微積分控制系統(tǒng)。分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)即為運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微分方程理論等分?jǐn)?shù)階微積分方面的知識(shí)建立起來(lái)的系統(tǒng)類(lèi)型，與整數(shù)階在控制系統(tǒng)的作用相似，分?jǐn)?shù)階在控制系統(tǒng)中也由兩種作用形式：其一即為運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微積分的控制器直接對(duì)受控的系統(tǒng)對(duì)象進(jìn)行控制；其二為對(duì)受控的對(duì)象在分?jǐn)?shù)階微積分理論方面建立數(shù)學(xué)模型。這兩種是分?jǐn)?shù)階微積分理論在分?jǐn)?shù)階微積分控制系統(tǒng)中的作用。對(duì)于第二種作用，可以用如下的描述，和整數(shù)階控制系統(tǒng)一樣，我們也可以用分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)描述分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，表示如下： ()其中λ和β為任意的實(shí)數(shù)，而λ和β滿足式子以及式子， 。當(dāng)設(shè)U(s)為此分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的輸如，Y(s)為此分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的輸入，我們可以得到分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示方法如下： ()分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的另一種作用就是運(yùn)用分?jǐn)?shù)階控制器進(jìn)行控制，在控制系統(tǒng)中加入分?jǐn)?shù)階環(huán)節(jié)，這樣的系統(tǒng)就含有了分?jǐn)?shù)階控制器，此系統(tǒng)也就成為了分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，就具有了分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的一些性質(zhì)和特點(diǎn)。如下圖是含有控制器的控制系統(tǒng)的框圖：Gc(s)G(s)圖 其中G(s)為被控對(duì)象，Gc(s)為主回路控制環(huán)節(jié)，W(s)為此控制系統(tǒng)的輸入，Y(s)為輸出。設(shè)定被控對(duì)象G(s)為： ()分?jǐn)?shù)階控制器為，由自動(dòng)理論控制方面的知識(shí)這里可以得到此分?jǐn)?shù)階微積分控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下所示： ()上述式子即為在分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)中常見(jiàn)的PID控制器的控制模型，此控制系統(tǒng)最大的特點(diǎn)就是含有兩個(gè)可以變化的參數(shù)變量，這種變化增加了控制器的控制靈活性，但是隨之也增加了系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及實(shí)施的難度，根據(jù)這一式子這里可以得到此分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程如下所示： ()上式就是此控制器為時(shí)?？刂葡到y(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程，由第三章的學(xué)習(xí)，在這里有兩種求解此分?jǐn)?shù)階微分方程的方法，即解析解法和數(shù)值解法。鑒于此分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的復(fù)雜性，在這里使用數(shù)值解法來(lái)求解此分?jǐn)?shù)階微分方程。分子為分母為所以這里得到的分?jǐn)?shù)階微分方程的解為 ()在實(shí)際的工程運(yùn)用中，分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)有著非常重要的地位和作用，下面這里就來(lái)看一下分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的具體例子。例3 首先選取一個(gè)被控對(duì)象，其傳遞函數(shù)如下： () 這里可以取a2=1，a1=，a0=1，β=，ɑ=，由附錄程序2，在這里可以得到此被控對(duì)象的圖像如下所示： 被控對(duì)象在階躍輸入下的輸出如圖所示：可知此被控對(duì)象的調(diào)整時(shí)間太長(zhǎng)，震蕩劇烈，超調(diào)量太大，系統(tǒng)不符合要求，所以必須對(duì)此系統(tǒng)添加控制器來(lái)改善被控對(duì)象的控制效果?，F(xiàn)在這里先添加分?jǐn)?shù)階控制器，來(lái)觀察分?jǐn)?shù)階控制器的控制效果，及參數(shù)變化所帶來(lái)的影響。分?jǐn)?shù)階控制器選取分?jǐn)?shù)階PID控制器，由上一小節(jié)所推導(dǎo)出的遞推式子()，在這里可以在MATLAB中編制程序，取Kp=2，ki=5，Kd=4，λ=1，μ=1時(shí)，得到的控制系統(tǒng)的輸出圖像如下所示： 由上圖，即為當(dāng)λ和μ都為整數(shù)時(shí)，此控制器所起到的控制效果，如系統(tǒng)輸出圖像可以看到，系統(tǒng)震蕩嚴(yán)重，超調(diào)及調(diào)整時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，故不符合控制器調(diào)節(jié)優(yōu)化系統(tǒng)的作用。改變參數(shù)，令Kp=2，ki=5，Kd=4，λ=，μ=，編寫(xiě)程序，程序見(jiàn)附錄程序8，運(yùn)行程序可以得到控制系統(tǒng)的輸出圖像如下所示：如圖所示：在此分?jǐn)?shù)階控制器的控制下，被控對(duì)象的控制性能得到了很好的改善，超調(diào)量得到了降低，調(diào)節(jié)時(shí)間明顯縮短，在此可以看出分?jǐn)?shù)階控制器的對(duì)分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象有很好的控制作用。下面我們來(lái)討論一下參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)的影響：(1) 當(dāng)增加kp，取kp增加到8時(shí)，運(yùn)行程序得到如下圖像： kp增加時(shí)被控對(duì)象在階躍輸入下的輸出由圖可知：當(dāng)kp增加時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)作靈敏，響應(yīng)速度加快，但是，kp的增加可導(dǎo)致超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時(shí)間加長(zhǎng)，振蕩次數(shù)增加，所以kp應(yīng)取適當(dāng)值。(2) 當(dāng)增加ki時(shí)，取ki為15，運(yùn)行程序，得到如下圖像： ki增加時(shí)被控對(duì)象在階躍輸入下輸出由上圖所示，當(dāng)Ki增加時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差降低，但是ki過(guò)大時(shí)，可導(dǎo)致系統(tǒng)超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時(shí)間加長(zhǎng)，振蕩次數(shù)增加，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以ki應(yīng)取適當(dāng)值。(3)減小kd時(shí),取kd=2時(shí)，運(yùn)行程序，得到圖像如下所示： kd減小時(shí)被控對(duì)象在階躍輸入下輸出由上圖可知，kd與kp的效果剛好相反，減小kd時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量增大，系統(tǒng)振蕩次數(shù)增加，容易不穩(wěn)定，所以kd和kp的變化要適應(yīng)。 本章小結(jié)在本章之中主要討論了分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的仿真實(shí)例，著重介紹了整數(shù)階控制系統(tǒng)及其分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的定義，及這兩種控制系統(tǒng)在控制系統(tǒng)中的作用，并分別舉例分析了這兩種控制系統(tǒng)的控制效果，對(duì)于分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，著重介紹了分?jǐn)?shù)階控制器對(duì)被控對(duì)象的影響，通過(guò)這些例子?？梢钥闯鰧?duì)于整數(shù)階的被控對(duì)象，整數(shù)階的控制器可以收獲更好的控制效果[9]。而對(duì)于分?jǐn)?shù)階的被控對(duì)象，分?jǐn)?shù)階的控制器有著更好的控制作用，并在最后觀察了參數(shù)變化時(shí)對(duì)于被控對(duì)象圖像變化的影響。5 結(jié)論 本文研究的主要內(nèi)容為分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的仿真與分析，主要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的一些基本概念，通過(guò)一些數(shù)學(xué)基本函數(shù)和拉普拉斯變換等數(shù)學(xué)基本運(yùn)算等這些工具，給出了分?jǐn)?shù)階微積分的定義及性質(zhì)，通過(guò)這些定義和性質(zhì)的給出，可以可以比較清晰地對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分理論有全面的認(rèn)識(shí)和了解；介紹了分?jǐn)?shù)階微分方程的一些基本概念，以及分?jǐn)?shù)階微分方程的解的性質(zhì)，分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法及解析解法這兩種求解方法，并分別舉例分析求解思路及求解過(guò)程，得到：如果分?jǐn)?shù)階微分方程比較簡(jiǎn)單，那么就可以采用解析解法，可以比較方便的得出結(jié)果；但是如果所求的分?jǐn)?shù)階微分方程過(guò)于復(fù)雜和繁瑣，那么再用解析解法就顯得太過(guò)于復(fù)雜，而且有可能得不到正確的結(jié)果，那么就可以運(yùn)用數(shù)值解法來(lái)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分方程的求解，就會(huì)收獲比較好的效果；介紹了整數(shù)階控制系統(tǒng)及分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，并分別用整數(shù)階控制器和分?jǐn)?shù)階控制器控制整數(shù)階被控對(duì)象和分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象，并觀察相應(yīng)的控制效果，得到：整數(shù)階控制器對(duì)整數(shù)階被控對(duì)象有著較好的控制效果，而分?jǐn)?shù)階控制器對(duì)分?jǐn)?shù)階的被控對(duì)象有著更好的控制效果，這在實(shí)際的應(yīng)用中可以幫助人們更好的選擇控制器的類(lèi)型；本文還觀察了參數(shù)變化對(duì)控制器控制效果的影響，通過(guò)觀察這些變化所造成的影響可以在選擇參數(shù)方面有所幫助。也可以通過(guò)這些變化對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的靈活性有著比較清晰的認(rèn)識(shí)[10]。 通過(guò)本文可以對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)有著清楚的了解，也就可以看出為何分?jǐn)?shù)階微積分可以應(yīng)用于許多的領(lǐng)域，并逐漸發(fā)展成為一個(gè)非常熱門(mén)的研究方向，相信隨著分?jǐn)?shù)階微積分的繼續(xù)發(fā)展，以及科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，更多的分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)將會(huì)在在實(shí)際工程中的得到應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微積分肯定會(huì)越來(lái)越展現(xiàn)其特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，會(huì)越來(lái)越成為實(shí)際工程中不可或缺的理論基礎(chǔ)，繼而也將會(huì)有更多的研究人員投身于此理論的研究，從而形成良性循環(huán)，促進(jìn)分?jǐn)?shù)階微積分的不斷發(fā)展。致謝在本文即將完成之時(shí)，在這里我向我的導(dǎo)師教授及所有幫助過(guò)我人表示感謝，曾教授關(guān)心支持我的寫(xiě)作，在我的論文寫(xiě)作期間給予我極大的幫助，每當(dāng)遇到不懂之處都會(huì)盡心解疑，直至最終的完稿，在這里表示由衷的感謝。參考文獻(xiàn)[1] . 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