【正文】 )∧┐S(x,2)→($y)(N(y) ∧S(y,x) ∧┐($z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(z,x))))（6）解：設(shè)S(x):x是大學(xué)生。 E(x):x是戴眼睛的。F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:這本。 b:那位。則有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)（7）解：設(shè)P(x,y):x在y連續(xù)。 Q(x,y):xy。則 P(f,a)D((ε)($δ)(x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|xa|)→Q(ε,|f(x)f(a)|))))習(xí)題24(1) 解：a) x是約束變元，y是自由變元。 b) x是約束變元，P(x)∧Q(x)中的x受全稱量詞的約束，S(x)中的x受存在量詞$的約束。 c) x，y都是約束變元,P(x)中的x受$的約束，R(x)中的x受的約束。 d) x，y是約束變元，z是自由變元。(2) 解：a) P(a)∧P(b)∧P(c) b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c) c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c) d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c)) e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))(3) 解：a) (x)(P(x)∨Q(x))219。(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))，但P(1)為T，Q(1)為F，P(2)為F，Q(2)為T,所以(x)(P(x)∨Q(x))219。(T∨F)∧(F∨T) 219。T。b) (x)(P→Q(x))∨R(a)219。 ((P→Q(2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)因?yàn)镻 為T，Q(2)為T，Q(3)為T，Q(6)為F，R(5)為F，所以(x)(P→Q(x))∨R(a)219。 ((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F219。 F(4) 解：a) (u)($v)(P(u，z)→Q(v))DS(x，y) b) (u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧($v)R(v))→($z)S(x,z)(5) 解：a) (($y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧($x)(z)C(x，t，z) b) ((y)P(u，y)∧($z)Q(u，z))∨(x)R(x，t)習(xí)題25（1）解： a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))219。P(1,f(1))∧P(2,f(2))219。P(1,2)∧P(2,1) 219。T∧F219。Fb)(x)($y)P(y,x)219。(x) (P(1,x)∨P(2,x))219。 (P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))219。 (T∨F)∧(T∨F) 219。 Tc)(x)( y)(P(x,y)→P(f(x),f(y))) 219。 (x) ((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2) →P(f(x)f(2))))219。 (P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2)))∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2) →P(f(2),f(2))) 219。 (P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1)) 219。 (T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)219。F∧F∧T∧T219。F（2）解：a) (x)(P(x)→Q(f(x),a)) 219。(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))219。 (F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1)) 219。 (F→F)∧(T→T) 219。Tb) ($x)(P(f(x))∧Q(x,f(a)) 219。 (P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1))219。 (T∧T)∨(F∧F) 219。Tc) ($x)(P(x)∧Q(x,a))219。 (P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a))219。 (P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1)) 219。 (F∧T)∨(T∧F) 219。Fd) (x)( $y)(P(x)∧Q(x,y)) 219。 (x) (P(x)∧($y)Q(x,y)) 219。 (x) (P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))219。 (P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2)))219。 (F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F)) 219。F(3) 舉例說明下列各蘊(yùn)含式。a) 249。(($x)(P(x)∧Q(a))222。 ($x)P(x)174。249。Q(a)b) (x) (249。 P(x) 174。Q(x)), (x) 249。Q(x)222。P(a)c) (x) (P(x) 174。Q(x)), (x) (Q(x) 174。R(x))222。 (x) (P(x) 174。R(x))d) (x) (P(x) 218。Q(x)), (x) 249。P(x)222。 ($x)Q (x)e) (x) (P(x) 218。Q(x)), (x) 249。P(x)222。 (x)Q (x)解：a）因?yàn)?49。(($x)(P(x)∧Q(a)) 219。249。($x)P(x)∨249。Q(a)故原式為249。($x)P(x)∨249。Q(a) 222。 ($x)P(x)174。249。Q(a)設(shè)P（x）：x是大學(xué)生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員前提 或者不存在x，x是大學(xué)生，或者a是運(yùn)動(dòng)員結(jié)論 如果存在x是大學(xué)生，則必有a是運(yùn)動(dòng)員。b)設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大學(xué)生。a：論域中的某人。前提：對論域中所有x，如果x不是研究生則x是大學(xué)生。對論域中所有x， x不是大學(xué)生。結(jié)論：對論域中所有x都是研究生。故，對論域中某個(gè)a，必有結(jié)論a是研究生，即P（a）成立。c）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾讀過大學(xué)。R（x）：x曾讀過中學(xué)。前提 對所有x，如果x是研究生，則x曾讀過大學(xué)。對所有x，如果x曾讀過大學(xué)，則x曾讀過中學(xué)。結(jié)論：對所有x，如果x是研究生，則x曾讀過中學(xué)。d）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員。前提 對所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動(dòng)員。對所有x，x不是研究生結(jié)論 必存在x，x是運(yùn)動(dòng)員。e）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員。前提 對所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動(dòng)員。對所有x，x不是研究生結(jié)論 對所有x，x是運(yùn)動(dòng)員。（4）證明：($x)(A(x)→B(x))219。 ($x) (┐A(x)∨B(x)) 219。 ($x)┐A(x)∨ ($x) B(x) 219。 ┐(x)A(x)∨($x) B(x) 219。 (x)A(x)→($x) B(x)（5）設(shè)論域D={a，b，c}，求證(x)A(x)∨(x)B(x)222。( x)(A(x)∨B(x)) 證明：因?yàn)檎撚駾={a，b，c}，所以(x)A(x)∨(x)B(x) 219。(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c))219。(A(a) ∨B(a)) ∧(A(a) ∨B(b)) ∧(A(a) ∨B(c)) ∧(A(b) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b)) ∧(A(b)∨B(c)) ∧(A(c) ∨B(a)) ∧(A(c) ∨B(b)) ∧(A(c) ∨B(c))222。(A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c))219。( x)(A(x)∨B(x))所以(x)A(x)∨(x)B(x)222。( x)(A(x)∨B(x))（6）解：推證不正確，因?yàn)椹?$x)(A(x)∧┐B(x))219。┐(($x)A(x)∧($x)┐B(x))（7）求證(x)( y)(P(x)→Q(y)) 219。 ( $x)P(x)→(y)Q(y)證明：(x)( y)(P(x)→Q(y)) 219。(x)( y)( ┐P(x) ∨Q(y)) 219。(x) ┐P(x) ∨( y)Q(y)219。┐($x)P(x) ∨( y)Q(y)219。 ( $x)P(x)→(y)Q(y) 習(xí)題26（1）解：a)(x)(P(x)→($y)Q(x,y))219。(x)( ┐P(x) ∨($y)Q(x,y))219。(x) ($y) (┐P(x) ∨Q(x,y))b) ($x)(┐(($y)P(x,y))→(($z)Q(z)→R(x)))219。($x)(($y)P(x,y)∨(($z)Q(z)→R(x)))219。($x)(($y)P(x,y) ∨(┐($z)Q(z) ∨R(x)))219。($x)(($y)P(x,y) ∨((z)┐Q(z) ∨R(x)))219。($x) ($y) (z) ( P(x,y) ∨┐Q(z) ∨R(x))c)(x)( y)((($zP(x,y,z)∧($u)Q(x,u))→($v)Q(y,v))219。(x)( y)( ┐(($z)P(x,y,z)∧($u)Q(x,u))∨($v)Q(y,v))219。(x)( y)( (z)┐P(x,y,z) ∨(u)┐Q(x,u)∨($v)Q(y,v))219。(x)( y)( (z)┐P(x,y,z) ∨(u)┐Q(x,u)∨($v)Q(y,v))219。(x)( y) (z) (u) ($v) (┐P(x,y,z) ∨┐Q(x,u)∨Q(y,v))（2）解：a)(($x)P(x)∨($x)Q(x))→($x)(P(x)∨Q(x))219。┐(($x)P(x)∨($x)Q(x)) ∨($x)(P(x)∨Q(x))219。┐($x) (P(x)∨Q(x)) ∨($x)(P(x)∨Q(x)) 219。Tb) (x)(P(x)→(y)((z)Q(x,y)→┐(z)R(y,x)))219。(x)( ┐P(x) ∨(y)( Q(x,y)→┐R(y,x)))219。(x) (y) ( ┐P(x) ∨┐Q(x,y) ∨┐R(y,x))前束合取范式219。(x) (y)( (P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨(P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x))∨ (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x))∨(┐P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))∨( (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧┐R(y,x))∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x)))前束析取范式c) (x)P(x)→($x)((z)Q(x,z)∨(z)R(x,y,z))219。┐(x)P(x) ∨($x)((z)Q(x,z)∨(z)R(x,y,z))219。($x)┐P(x) ∨($x)((z)Q(x,z)∨(u)R(x,y,u))219。($x)(┐P(x) ∨(z)Q(x,z)∨(u)R(x,y,u))219。($x) (z) (u)(┐P(x) ∨Q(x,z)∨R(x,y,u))前束合取范式219。($x) (z) (u)(( P(x) ∧Q(x,z) ∧R(x,y,u))∨(P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u))∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))∨(┐P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u))∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)))前束析取范式d)(x)(P(x)→Q(x,y))→(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))219。┐(x)( ┐P(x) ∨Q(x,y)) ∨(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))219。($x)( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(($u)P(u)∧($z)Q(y,z))219。($x) ($u) ($z) (( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(P(u)∧Q(y,z)))前束析取范式219。($x) ($u) ($z) (( P(x)∨P(u)) ∧ (P(x)∨Q(y,z)) ∧(┐Q(x,y)∨P(u)) ∧ (┐Q(x,y)∨Q(y,z)))前束合取范式習(xí)題27(1) 證明：(2) a)①(x)(┐A(x)→B(x)) P②┐A(u)→B(u) US①③( x)┐B(x) P④┐B(u) US③⑤A(u)∨B(u) T②E⑥A(u) T④⑤I⑦ ( $x)A(x) EG⑥b)①┐( x)(A(x)→B(x)) P（附加前提）②( $x)┐(A(x)→B(x)) T①E③┐(A(c)→B(c)) ES②④A(c) T③I⑤┐B(c) T③I⑥( $x)A(x) EG④⑦ ($x)A(x)→(x)B(x) P⑧(x)B(x) T⑥⑦I⑨B(c) US⑧⑩B(c)∧ ┐B(c) T⑤⑨矛盾c）①(x)(A(x)→B(x)) P②A(u)→B(u) US①③( x)(C(x)→┐B(x)) P④C(u)→┐B(u) US③⑤┐B(u) →┐A(u) T②E⑥C(u)→┐A(u) T④⑤I⑦(x)(C(x)→┐A(x)) UG⑥d)(x)(A(x)∨B(x)),( x)(B(x)→┐C(x)),( x)C(x)222。 (x)A(x)①( x)(B(x)→┐C(x)) P②B(u)→┐C(u) US①③( x)C(x) P④C(u) US③⑤┐B(u) T②④I⑥(x)(A(x)∨B(x)) P⑦A(u)∨B(u) US⑧A(u) T⑤⑦I⑨(x)A(x) UG⑧(2)證明：a)①( x)P(x) P（附加前提）②P(u) US①③(x)(P(x)→Q(x)) P④P(u)→Q(u) US③⑤Q(u) T②④I⑥(x)Q(x) UG⑤⑦( x)P(x)→(x)Q(x) CPb)因?yàn)?x)P(x)∨($x)Q(x)219。┐(x)P(x) →($x)Q(x)故本題就是推證(x)(P(x)∨Q(x)) 222。 ┐(x)P(x) →($x)Q(x)①┐(x)P(x) P（附加前提）②( $x)┐P(x) T①E③┐P(c) ES②④(x)(P(x)∨Q(x)) P⑤P(c)∨Q(c) ES④⑥Q(c) T③⑤I⑦( $x) Q(x) EG⑥⑧┐(x)P(x) →($x)Q(x) CP(3) 解：a)設(shè)R（x）：x是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。I（x）：x是整數(shù)。本題符號化為： (x)(Q(x) →R(x)) ∧($x)(Q(x) ∧I(x)) 222。 ($x)(R(x) ∧I(x))①($x)(Q(x) ∧I(