【導(dǎo)讀】摘要·································································Abstract·································································前言·····································································第一章　緒論···········································································································································································································································································&#183

　　

【正文】 函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的(Compact Support)，即在一個很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)應(yīng)有速降特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個迅速衰減的函數(shù)。連續(xù)小波變換式(43)是用內(nèi)積來表示的，而數(shù)學(xué)上的內(nèi)積表示與的相似程度，所以由式(43)，當(dāng)尺度a增加時，表示以伸展了的波形去觀察整個；反之，當(dāng)尺度a減小時，則以壓縮的波形去衡量局部?？梢哉f，尺度因子類似于地圖中的比例因子，大的比例(尺度)參數(shù)看全局而小的比例(尺度)參數(shù)看局部細(xì)節(jié)。因此，有人對小波變換特性作如下形象比喻：人們希望既看到森林，又看清樹木。所以，先通過望遠鏡看清全貌，進而通過顯微鏡觀察我們最感興趣的細(xì)節(jié)。小波變換就能達到這個目的，它既是望遠鏡，又是顯微鏡，是一架變焦鏡頭。 離散小波變換在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討論連續(xù)小波）和連續(xù)小波變換的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間t的。這一點與我們以前的習(xí)慣不同。在公式(42)中，a ,b ∈R。 a≠0是容許的。為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化公式分別取作，這里，擴展步長是固定值，為方便起見，總是假定。所以對應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫作： (49) 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： (410)其重構(gòu)公式為： (411)C是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。如何選擇和，才能保證重構(gòu)信號的精度呢?顯然，網(wǎng)絡(luò)點應(yīng)盡可能密(即和盡可能的小)，因為如果網(wǎng)絡(luò)點越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號重構(gòu)的精確度也就會越低。由于圖像是二維信號，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令表示一個二維信號，分別是其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，表示二維的基本小波，對應(yīng)的尺度函數(shù)為 。若尺度函數(shù)可分離，即：。令是與對應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二維的二進小波可表示為以下三個可分離的正交小波基函數(shù)： （412） （413） （414）這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進行。先沿方向分別用和做分析，把分解成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，然后對這兩部分再沿方向用和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級平滑逼近，其它三路輸出，都是細(xì)節(jié)函數(shù)。如果把和的對應(yīng)頻譜，設(shè)想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波器，則反映的是 , 兩個方向的低頻分量， 反映的是水平方向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方向的低頻分量，反映的是兩個方向的高頻分量。對圖像進行小波變換就是用低通濾波器和高通濾波器對圖像的行列進行濾波（卷積），然后進行二取一的下抽樣。這樣進行一次小波變換的結(jié)果便將圖像分解為一個低頻子帶（水平方向和垂直方向均經(jīng)過低通濾波）和三個高頻子帶，即用表示水平高通、垂直低通子帶，用表示水平低通、垂直高通子帶，用表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率為原來的1/2，頻率范圍各不相同。第二次小波變換時只對子帶進行，進一步將子帶分解為，和，分辨率為原來的1/4,頻率范圍進一步減半，以此類推。所以，進行一次小波變換得到4個子帶，進行M次分解就得到3 M+1個子帶，如圖41。 圖41 圖像的三級小波分解圖 小波閾值去噪小波閾值去噪的基本思路是：（1）先對含噪信號做小波變換，得到一組小波系數(shù)；（2）通過對進行閾值處理，得到估計系數(shù)，使得與兩者的差值盡可能?。唬?）利用進行小波重構(gòu)，得到估計信號即為去噪后的信號。Donoho提出了一種非常簡潔的方法對小波系數(shù)進行估計。對連續(xù)做幾次小波分解后，有空間分布不均勻信號各尺度上小波系數(shù)在某些特定位置有較大的值，這些點對應(yīng)于原始信號的奇變位置和重要信息，而其他大部分位置的較小；對于白噪聲，它對應(yīng)的小波系數(shù)在每個尺度上的分不都是均勻的，并隨尺度的增加，系數(shù)的幅值減小。因此，通常的去噪辦法是尋找一個合適的數(shù)作為閾值（門限），把低于λ的小波函數(shù)（主要由信號引起），設(shè)為零，而對于高于的小波函數(shù)（主要由信號引起），則予以保留或進行收縮，從而得到估計小波系數(shù)，它可理解為基本由信號引起的，然后對進行重構(gòu)，就可以重構(gòu)原始信號。估計小波系數(shù)的方法如下，取： （41）定義： （42）稱之為硬閾值估計方法。一般軟閾值估計定義為 （43） 小波去噪對比試驗(二維的)接下來按照上述小波閾值變換在信號去噪中的算法及小波閾值函數(shù)進行計算機仿真，仿真程序采用MATLAB語言編寫。該節(jié)首先產(chǎn)生一個實驗信號，然后對小波去噪時各種參數(shù)設(shè)置進行了詳細(xì)的對比研究，最后用MATLAB語言對小波去噪進行仿真。二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持圖像的特征基本不變，且在傳遞過程中可以抗干擾。小波分析用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點。 利用二維小波分析進行圖像壓縮基于小波分析的圖像壓縮方法很多，比較成功的有小波包、小波變換零樹壓縮、小波變換矢量量化壓縮等。下面是一個圖像信號(即一個二維信號，)，利用二維小波分析對圖像進行壓縮。一個圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率是不相同的。高分辨率(即高頻)子圖像上大部分點的數(shù)值都接近于0，越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對一個圖像來說，表現(xiàn)一個圖像最主要的部分是低頻部分，所以一個最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。圖像壓縮可按附錄⑵ 中的程序進行處理。可以看出，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解第一層的低頻信息，此時壓縮效果較好，壓縮比較小(約為1/3)；第二次壓縮是提取第一層分解低頻部分的低頻部分(即小波分解第二層的低頻部分)，其壓縮比較大(約為1/12)，壓縮效果在視覺上也基本過的去。這是一種最簡單的壓縮方法，只保留原始圖像中低頻信息，不經(jīng)過其他處理即可獲得較好的壓縮效果。在上面的例子中，我們還可以只提取小波分解第…層的低頻信息。從理論上說，可以獲得任意壓縮比的壓縮圖像。原始圖像 分解后低頻和高頻信息 第一次壓縮圖像 第二次壓縮圖像 利用二維小波分析進行圖像壓縮下面再給出用wdenemp函數(shù)對一個圖像()進行壓縮的程序。具體程序清單見附錄⑶ 。：原始圖像 壓縮圖像 利用二維小波分析對圖像進行壓縮利用二維小波變換進行圖像壓縮時，小波變換將圖像從空間域變換到時間域，它的作用與以前在圖像壓縮中所用到的離散余弦(DCT)、傅立葉變換(FFT)等的作用類似。但是要很好的進行圖像的壓縮，需要綜合的利用多種其他技術(shù)，特別是數(shù)據(jù)的編碼與解碼算法等，所以利用小波分析進行圖像壓縮通常需要利用小波分析和許多其他相關(guān)技術(shù)共同完成。 小波分析用于圖像去噪噪聲可以理解為妨礙人的視覺器官或系統(tǒng)傳感器對所接收圖像源進行理解或分析的各種因素。一般噪聲是不可預(yù)測的隨機信號，它只能用概率統(tǒng)計的方法去認(rèn)識。噪聲對圖像處理十分重要，它影響圖像處理的輸入、采集、處理的各個環(huán)節(jié)以及輸出結(jié)果的全過程。特別是圖像的輸入、采集的噪聲是個十分關(guān)鍵的問題，若輸入伴有較大噪聲，必然影響處理全過程及輸出結(jié)果。因此一個良好的圖像處理系統(tǒng)，不論是模擬處理還是計算機處理無不把減少最前一級的噪聲作為主攻目標(biāo)。去噪已成為圖像處理中極其重要的步驟。對二維圖像信號的去噪方法同樣適用于一維信號，尤其是對于幾何圖像更適合。二維模型可以表述為s(i,j)=f( i,j)+δe(i,j) i,j=0,1,…，m1 ()其中，e是標(biāo)準(zhǔn)偏差不變的高斯白噪聲。二維信號用二維小波分析的去噪步驟有3步：(1)二維信號的小波分解。選擇一個小波和小波分解的層次N，然后計算信號s到第N層的分解。(2)對高頻系數(shù)進行閾值量化。對于從1到N的每一層，選擇一個閾值，并對這一層的高頻系數(shù)進行軟閾值量化處理。(3)二維小波的重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過修改的從第一層到第N層的各層高頻系數(shù)計算二維信號的小波重構(gòu)。在這3個步驟中，重點是如何選取閾值和閾值的量化。下面給出一個二維信號()，并利用小波分析對信號進行去噪處理。Matlab的去噪函數(shù)有ddencmp，wdencmp等，其去噪過程可以按照附錄⑹中的程序進行。，Matlab中的ddencmp和wdencmp函數(shù)可以有效地進行去噪處理。原始圖像 含噪聲的圖像 去噪后的圖像 去噪例一?？梢酝ㄟ^全部濾掉圖像中的高頻部分實現(xiàn)圖像的去噪。具體去噪過程可按照附錄⑺中的程序進行。：原始圖像 含噪聲圖像 第一次去噪圖像 第二次去噪圖像 去噪例二從上面的輸出結(jié)果可以看出，第一次去噪已經(jīng)濾去了大部分的高頻噪聲，但從去噪圖像與原始圖像相比可以看出，第一次去噪后的圖像中還是含有不少的高頻噪聲；第二次去噪是在第一次去噪的基礎(chǔ)上，再次濾去其中的高頻噪聲。從去噪的結(jié)果可以看出，它具有較好的去噪效果。由于原始圖像中只含有較少的高頻噪聲，如果按照上一個例子把高頻噪聲全部濾掉的方法將損壞圖像中固有的高頻有用信號。因此這幅圖像適合采用小波分解系數(shù)閾值量化方法進行去噪處理。程序清單見附錄⑻。原始圖像 含噪聲圖像 去噪后圖像 去噪例三二維信號在應(yīng)用中一般表現(xiàn)為圖像信號，二維信號在小波域中的降噪方法的基本思想與一維情況一樣，在閾值選擇上，可以使用統(tǒng)一的全局閾值，有可以分作三個方向，分別是水平方向、豎直方向和對角方向，這樣就可以把在所有方向的噪聲分離出來，通過作用閾值抑制其成分?？偨Y(jié)與展望現(xiàn)實中的圖像多為含噪圖像，當(dāng)噪聲較嚴(yán)重時，會影響圖像的分割、識別和理解。傳統(tǒng)的去噪方法在去噪的同時使圖像的細(xì)節(jié)變得模糊。小波變換由于具有“數(shù)學(xué)顯微鏡”的作用，在去噪的同時能保持圖像細(xì)節(jié)，得到原圖像的最佳恢復(fù)。本論文總結(jié)了圖像去噪方法，并在前人研究成果的基礎(chǔ)上，對小波閾值去噪進行了深入的研究，取得了一定的效果。與此同時，本論文在的研究工作仍然存在著許多缺陷有待進一步的完善。1 全文工作總結(jié)小波分析理論因其具有良好的時頻局域特性和多分辨率特性，使得它在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。本論文針對小波閾值在圖像去噪方面的應(yīng)用進行了研究。具體歸納如下:(1)本文首先總結(jié)了各種圖像去噪方法，并對其進行了總結(jié)與對比，提出了各自的優(yōu)缺點，引出了小波變換圖像去噪方法，闡述了小波變換的基礎(chǔ)理論，給出了小波變換的基本概念、基本思想、發(fā)展歷程和小波閾值去噪的基本方法。(2)適當(dāng)選擇小波參數(shù)可以進一步的提高圖像去噪的效果，本文小波去噪時各種參數(shù)設(shè)置進行了詳盡的對比研究過程，在此基礎(chǔ)上，實現(xiàn)小波去噪仿真，實驗結(jié)果表明，該算法比傳統(tǒng)算法有更好的去噪效果。Nn。t2 工作展望小波閾值在圖像去噪應(yīng)用已取得了很好的成果，但還是存大著一些不足。本論文對小波變換在圖像去噪中的應(yīng)用進行研究，但工作還不夠完善。針對本論文的研究內(nèi)容和小波去噪的發(fā)展趨勢提出一些改進的思路與想法，以供以后工作借鑒:(l)如何建立非高斯噪聲的分布模型。根據(jù)獲得的先驗知識和已有先驗知識進行準(zhǔn)確的建模，對于對非高斯噪聲的去除非常重要，尋找理想的小波系數(shù)模型已成為目前小波去噪研究的一個方向，如何使用高斯噪聲分布的去噪方法對非高斯噪聲進行延拓都是值得進一步探討的課題。(2)小波變換具有時頻局域特性和多分辨率特性，但它缺乏人眼的方向特性。隨著脊波和曲波的出現(xiàn)，提高了模型的準(zhǔn)確性，改善了小波的去噪性能，脊波、曲波、邊緣波也會成為當(dāng)前研究的一大趨勢。本文對小波變換做了介紹，并將其應(yīng)用于圖像去噪。但這些變換方法的研究都還處于開始階段，理論和應(yīng)用都有待進一步的探索。致 謝在論文完成之際，我心情無法平靜。大學(xué)期間，尤其是畢業(yè)論文完成期間，有很多可敬的老師和同學(xué)給予了我無私幫助。對此我深懷感激。首先感謝導(dǎo)師許小麗老師從始至終的關(guān)心、指導(dǎo)和教誨。許老師追求真理、一絲不茍、嚴(yán)格律己、寬以待人的崇高品質(zhì)對學(xué)生將是永遠的鞭策。本次畢業(yè)設(shè)計從課題選題、信息收集到論文的撰寫都是在許老師全面、具體、耐心的指導(dǎo)下進行的。特別是許老師不厭其煩的指出設(shè)計中的不足及問題的解決方向，使我感受到許老師的淵博學(xué)識、敏銳思維和民主嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)。論文寫作過程中，從行文的用語到格式的規(guī)范，都力求完美。這里再次對許小麗老師的無私付出表示深深的謝意。其次在設(shè)計的過程中，感謝給予我?guī)椭耐瑢W(xué)們，在此對其表示感謝。然后感謝工學(xué)院各位老師對我的培養(yǎng)和關(guān)心，感謝我的家人在大學(xué)期間對我的支持和鼓勵。最后祝工學(xué)院各位老師工作順利，祝工學(xué)院明天更美好。參考文獻[1]李建平，《小波分析與信號處理一理論、應(yīng)用及軟件實現(xiàn)》，重慶出版社，1997年第1版.[2]陳武凡，《小波分析及其在圖像處理中的應(yīng)用》，科學(xué)出版社，2002年第1版.[3]夏良正，數(shù)字圖像處理，南京，東南大學(xué)出版社，1999第一版.[4]趙榮椿,:西北工業(yè)大學(xué)出版社,1996.[5]何東健,楊青.《實用圖像處理技術(shù)》. 西安:陜西科技出版社. 1998(10) [6]:人民郵電出版社,171201.[7]:北京航空航天大學(xué)出版社,2001.[8]孫兆林.《MATLAB 6. 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