【正文】 （411） （412） （413）(1) 自相關法(BT法)。用自相關法進行功率譜估計，但估計時令前向預測誤差功率最小，即對前后都加窗構成，Wiener—Hopf方程系數(shù)為Toepli tz矩陣，使用Levinson—Durbin算法可方便快速的求解AR系數(shù)。因此自相關法也是已知所有AR系數(shù)求解方法中簡單的一種，但譜分辨率相對較差。(2) )Burg算法。用Burg算法進行功率譜估計時令前后向預測誤差功率之和最小，即對、前后都不加窗，使用Levinson—Durbin遞推可快速的求解AR系數(shù)。Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎之上的，避免了先計算自相關函數(shù)從而提高計算速度；是較知為通用的方法，計算不太復雜，且分辨率優(yōu)于自相關個法，但對于白噪聲加正弦信號有時會出現(xiàn)譜線分裂現(xiàn)象。計算步驟如下：①由初始條件 ，再由式求出；②由 得時的參數(shù) ③求出 和，再由估計；④依照Levinson遞推關系，求時的參數(shù) 、及；⑤重復上述過程，直到，求出所有階次時的AR參數(shù)。 (3) 改進協(xié)方差算法。同Burg算法一樣，改進協(xié)方差算法進行功率譜估計時令前后向預測誤差功率之和最小，即對、前后都不加窗，但得到的協(xié)方差矩陣不是Toeplitz矩陣，因此正則方程不能用Levinson遞推算法求解。Marple于1980年提出實現(xiàn)協(xié)方差方程求解的快速算法，大大提高了譜估計的性能[1]。 AR模型譜估計的實現(xiàn)及性質(zhì) 譜估計的步驟我們可以按如下步驟估計的功率譜：①由估計的自相關函數(shù)，得，m=0,1,....p；②用代替上述地推算法中的，重新求解YuleWalker方程，這時求出的AR模型參數(shù)是真實參數(shù)的估計值，即、,；將這些參數(shù)代入（3）式，得到的功率譜的估計。 AR模型譜估計的性質(zhì)1. AR譜的平滑特性 AR模型是一有理分式，估計出的譜平滑，不需要像周期圖那樣再做平滑或平均，因此，不需要為此去犧牲分辨率。2 .AR譜的分辨率 AR譜估計的頻率分辨率，要優(yōu)于經(jīng)典譜估計方法。其原因在于求解AR模型參數(shù)的過程，實際上意味著將根據(jù)估計的 按一定準則進行了外推。 3 .AR模型譜的匹配性質(zhì)由維納辛欽定理及AR譜對應的一個無限長的自相關函數(shù)可得若用AR譜去匹配信號的譜，則誤差系列的譜應由常數(shù)譜來匹配，體現(xiàn)的白化性質(zhì)，從整體上看將均勻地和相跟隨。當均值為1時，將在的上下波動，即在有的區(qū)域，而在另外的區(qū)域。因為，整個積分值為1，所以又可得到譜匹配的局部性質(zhì)，也就是說是的包絡的一個好的近似。4 .AR譜的統(tǒng)計性質(zhì) 嚴格的分析AR譜的方法比較困難，目前尚未有一個解析表達式。粗略的講，AR譜的方差反比于數(shù)據(jù) 的長度N和信噪比SNR。 AR 模型階次p的選擇（最終預測誤差準則）隨著m的增加，使達到最小值時的。2. AIC準則（信息論準則） 前者表征將隨著m的增加而單調(diào)下降，后者表示計算誤差將隨著m的增加而增長。 AR模型譜估計仿真以下是用matlab對AR模型法進行仿真，并得到仿真圖。 clear。Fs=1000。n=0:1/Fs:1。xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。nfft=1024。Subplot(411)。plot(n,xn)。title(39。仿真信號x(n)39。)。[px1,f1]=pyulear(xn,30,nfft,Fs)。subplot(412)。plot(f1,px1)。title(39。自相關法功率譜估計39。)。[px2,f2]=pburg(xn,30,nfft,Fs)。subplot(413)。plot(f2,px2)。title(39。burg算法功率譜估計39。)。[px3,f3]=pmcov(xn,30,nfft,Fs)。subplot(414)。Plot(f3,px3)。title(39。改進協(xié)方差算法功率譜估計39。) 圖41 AR模型譜估計仿真圖 由仿真結果可知：對兩個頻率相差不大的信號進行功率譜估計時，自相關法不容易看出其頻率成分，而Burg算法和改進的協(xié)方差算法提高了參數(shù)估計的精度和頻率分辨率。 功率譜估計的實現(xiàn)有許多方法，也有很多具體的算法可以參閱，MATLAB提供的算法函數(shù)為學習設計譜估計提供了方便高效的途徑。參數(shù)模型譜估計方法是現(xiàn)代譜估計的重要內(nèi)容，AR模型譜估計隱含著數(shù)據(jù)和自相關函數(shù)的外推，其長度可能超過給定的長度，分辨率不受信源信號長度的限制，這是經(jīng)典譜估計無法做到的。在AR模型BT算法中由于前后都加窗，使得自相關法的分辨率降低，數(shù)據(jù)越短分辨率越差。仿真結果直觀說明了BT算法、Burg算法和改進協(xié)方差算法各自的優(yōu)缺點，能為實際工作中做出合理的選擇提供依據(jù)。 MA模型譜估計給出MA(q)模型的三個方程 （414） （415） （416） 由（41）得 （417） 將上式兩邊同乘以，并求均值，得式中。 因為 對MA(q)模型，由式(2) 式得 。 所以，可以求出MA(q)模型的正則方程，即有 MA(q)的功率譜為 等效于經(jīng)典譜估計中的自相關法，即MA譜估計等效為信號長度為q+1的自相關法譜估計。 ARMA模型譜估計 ARMA(p,q)模型的差分方程式中。類似地，可導出其正則方程如下：式中是系數(shù)和的函數(shù)，前q+1個方程是高度非線性的。從第q+1個方程開始是線性的，可以解出AR部分的系數(shù)，將上式中的第二個方程寫成如下展開形式： 上式雖然可解出AR部分的系數(shù)，但存在以下兩個問題：①由于式中的真實自相關函數(shù)是未知的，因此只能使用估計值來代替，且要用到大延遲的估計值（最大延遲是p+q），而對于給定的信號長度，這將造成估計很不準確。因而，也就不能得到AR部分系數(shù)的準確估計。②式中階次p和q都是未知的，需要事先指定。P實際上是式中自相關陣的維數(shù)，p和q決定了的選用范圍。因此p和q的不正確指定有可能導致自相關陣出現(xiàn)奇異。 因此，在實際應用中，對自相關陣采用更一般的形式，即取L個方程，這里 ，即，式中，由此得到 的最小二乘解為 求得ARMA(p,q)模型中的AR參數(shù)，余下的任務就是求解MA部分的參數(shù)。 利用求得的AR系數(shù)先得到一個FIR系統(tǒng)為 序列經(jīng)此FIR系統(tǒng)濾波，得到一個輸出序列，ARMA(p,q)模型與FIR系統(tǒng) 級聯(lián)，近似于模型 。 因此，可以利用輸出序列估計自相關序列并按MA(q)模型譜估計公式來得到MA譜，即，得到MA譜估計后，利用下式即可求得ARMA譜估計 。 小結 參數(shù)模型譜估計方法是現(xiàn)代譜估計的重要內(nèi)容，AR模型譜估計隱含著數(shù)據(jù)和自相關函數(shù)的外推，其長度可能超過給定的長度，分辨率不受信源信號長度的限制，所以現(xiàn)代譜估計研究主要是用于基于AR模型的方法估計功率譜，這是經(jīng)典譜估計無法做到的。AR模型的Burg法也存在問題，比如計算量大；信號起始相位變動可導致譜線偏移和分裂 ；低信噪比可導致譜分辨率下降等等。功率譜估計是信息學科中的研究熱點?，F(xiàn)代譜估計主要是針對經(jīng)典譜估計的分辨率低和方差性能不好的問題而提出的，其內(nèi)容極其豐富，涉及的學科和領域也相當廣泛。第五章 論文總結 本論文分析介紹了功率譜估計的幾種常用的方法，包括經(jīng)典譜估計中的周期圖法、自相關法及改進的方法和現(xiàn)代譜估計中的AR模型法，MA模型法，ARMA模型法，論文中對這幾種方法給出了詳細的估計步驟和估計的性能，對每種方法及其改進的方法進行了基于matlab的仿真，并通過仿真圖對各個方法進行了比較。 從本篇論文可以看出，周期圖法直接對觀測數(shù)據(jù)進行傅里葉變換，從而求得功率譜估計；自相關法是先利用觀測數(shù)據(jù)求出信號自相關函數(shù)的估計量，然后對其進行傅里葉變換，得出功率譜估計；對這兩種方法進行比較可以看出，周期圖法雖然效率較高，但他不是功率譜密度的一致估計，且估計性能較差，而自相關法雖然是功率譜密度的一致估計，但是效率較低。綜合這兩種方法，所以提出了周期圖法的改進方法。在現(xiàn)代譜估計中，應用最廣的是AR模型法，因為AR模型法有效的避免了經(jīng)典譜估計的缺點，且在分辨率等性能上獲得了較好的效果，所以在實際應用中其被廣泛采用。同時本論文也對MA模型法和ARMA模型法做了簡要的介紹。但MAA模型系數(shù)的求解要比AR模型困難的多，且從譜估計的角度來看，MA模型譜估計等效于經(jīng)典譜估計中的自相關法，譜估計的分辨率也比較低。ARMA模型估計出的功率譜分辨率不及AR模型的Burg法和改進的協(xié)方差法，但其噪聲部分的譜要比AR譜平滑。綜上述，AR模型法更為簡單實用。參考文獻[1] 胡廣書, 數(shù)字信號處理. 清華大學出版社[2] 張旭東等，離散隨機信號處理[M].北京：清華大學出版社，2005[3] 景占榮等，信號檢測與估計[M].北京：化學工業(yè)出版社，2004[4] 丁玉美等，數(shù)字信號處理時域離散信號處理[M].西安：西安電子科技大學出版社2002[5] 姚武川等，姚天任，經(jīng)典譜估計方法的MATLAB分析[J]，華中理工大學學報，2000,28（4）[6] 黃志宇等，隨機信號的功率譜估計及MATLAB的實現(xiàn)[J].現(xiàn)代電子技術，2002,3（134）[7] 吳大正 MATLAB及在電子信息課程中的應用(第二版)電子工業(yè)出版社 2004年[8] 魏鑫 張平 周期圖法功率譜估計中的窗函數(shù)分析. 現(xiàn)代電子技術 2005年[9] ，1990[10] ，1986[11] ，1981[12] Kay S Spectral Estimation. Englewood Cliffs,NJ:PrenticeHall,1987[13] Marple S L. Digital Spectral Analysisn with Cliffs,NJ:PrenticeHall,1987致 謝本次畢業(yè)設計是在老師的精心指導之下完成的，在此我衷心的感謝我的指導老師—***老師，在百忙之中抽出時間為我指導講解，并提出許多寶貴的意見和建議,使我得以順利的完成本論文的編寫。通過論文的編寫，也使我發(fā)現(xiàn)自己在經(jīng)驗和知識方面的不足，需要今后進一步改正。雖然我盡可能努力地完成了論文，但論文仍存在缺陷和不足，有待于進一步完善。最后衷心的感謝信控學院的所有老師和同學，感謝他們在大學期間對我的幫助和支持，讓我能夠給我的大學生活畫上一個圓滿的