【正文】 （411） （412） （413）(1) 自相關(guān)法(BT法)。用自相關(guān)法進(jìn)行功率譜估計(jì)，但估計(jì)時(shí)令前向預(yù)測(cè)誤差功率最小，即對(duì)前后都加窗構(gòu)成，Wiener—Hopf方程系數(shù)為Toepli tz矩陣，使用Levinson—Durbin算法可方便快速的求解AR系數(shù)。因此自相關(guān)法也是已知所有AR系數(shù)求解方法中簡(jiǎn)單的一種，但譜分辨率相對(duì)較差。(2) )Burg算法。用Burg算法進(jìn)行功率譜估計(jì)時(shí)令前后向預(yù)測(cè)誤差功率之和最小，即對(duì)、前后都不加窗，使用Levinson—Durbin遞推可快速的求解AR系數(shù)。Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上的，避免了先計(jì)算自相關(guān)函數(shù)從而提高計(jì)算速度；是較知為通用的方法，計(jì)算不太復(fù)雜，且分辨率優(yōu)于自相關(guān)個(gè)法，但對(duì)于白噪聲加正弦信號(hào)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)譜線分裂現(xiàn)象。計(jì)算步驟如下：①由初始條件 ，再由式求出；②由 得時(shí)的參數(shù) ③求出 和，再由估計(jì)；④依照Levinson遞推關(guān)系，求時(shí)的參數(shù) 、及；⑤重復(fù)上述過(guò)程，直到，求出所有階次時(shí)的AR參數(shù)。 (3) 改進(jìn)協(xié)方差算法。同Burg算法一樣，改進(jìn)協(xié)方差算法進(jìn)行功率譜估計(jì)時(shí)令前后向預(yù)測(cè)誤差功率之和最小，即對(duì)、前后都不加窗，但得到的協(xié)方差矩陣不是Toeplitz矩陣，因此正則方程不能用Levinson遞推算法求解。Marple于1980年提出實(shí)現(xiàn)協(xié)方差方程求解的快速算法，大大提高了譜估計(jì)的性能[1]。 AR模型譜估計(jì)的實(shí)現(xiàn)及性質(zhì) 譜估計(jì)的步驟我們可以按如下步驟估計(jì)的功率譜：①由估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，得，m=0,1,....p；②用代替上述地推算法中的，重新求解YuleWalker方程，這時(shí)求出的AR模型參數(shù)是真實(shí)參數(shù)的估計(jì)值，即、,；將這些參數(shù)代入（3）式，得到的功率譜的估計(jì)。 AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)1. AR譜的平滑特性 AR模型是一有理分式，估計(jì)出的譜平滑，不需要像周期圖那樣再做平滑或平均，因此，不需要為此去犧牲分辨率。2 .AR譜的分辨率 AR譜估計(jì)的頻率分辨率，要優(yōu)于經(jīng)典譜估計(jì)方法。其原因在于求解AR模型參數(shù)的過(guò)程，實(shí)際上意味著將根據(jù)估計(jì)的 按一定準(zhǔn)則進(jìn)行了外推。 3 .AR模型譜的匹配性質(zhì)由維納辛欽定理及AR譜對(duì)應(yīng)的一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的自相關(guān)函數(shù)可得若用AR譜去匹配信號(hào)的譜，則誤差系列的譜應(yīng)由常數(shù)譜來(lái)匹配，體現(xiàn)的白化性質(zhì)，從整體上看將均勻地和相跟隨。當(dāng)均值為1時(shí)，將在的上下波動(dòng)，即在有的區(qū)域，而在另外的區(qū)域。因?yàn)?，整個(gè)積分值為1，所以又可得到譜匹配的局部性質(zhì)，也就是說(shuō)是的包絡(luò)的一個(gè)好的近似。4 .AR譜的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 嚴(yán)格的分析AR譜的方法比較困難，目前尚未有一個(gè)解析表達(dá)式。粗略的講，AR譜的方差反比于數(shù)據(jù) 的長(zhǎng)度N和信噪比SNR。 AR 模型階次p的選擇（最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則）隨著m的增加，使達(dá)到最小值時(shí)的。2. AIC準(zhǔn)則（信息論準(zhǔn)則） 前者表征將隨著m的增加而單調(diào)下降，后者表示計(jì)算誤差將隨著m的增加而增長(zhǎng)。 AR模型譜估計(jì)仿真以下是用matlab對(duì)AR模型法進(jìn)行仿真，并得到仿真圖。 clear。Fs=1000。n=0:1/Fs:1。xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。nfft=1024。Subplot(411)。plot(n,xn)。title(39。仿真信號(hào)x(n)39。)。[px1,f1]=pyulear(xn,30,nfft,Fs)。subplot(412)。plot(f1,px1)。title(39。自相關(guān)法功率譜估計(jì)39。)。[px2,f2]=pburg(xn,30,nfft,Fs)。subplot(413)。plot(f2,px2)。title(39。burg算法功率譜估計(jì)39。)。[px3,f3]=pmcov(xn,30,nfft,Fs)。subplot(414)。Plot(f3,px3)。title(39。改進(jìn)協(xié)方差算法功率譜估計(jì)39。) 圖41 AR模型譜估計(jì)仿真圖 由仿真結(jié)果可知：對(duì)兩個(gè)頻率相差不大的信號(hào)進(jìn)行功率譜估計(jì)時(shí)，自相關(guān)法不容易看出其頻率成分，而Burg算法和改進(jìn)的協(xié)方差算法提高了參數(shù)估計(jì)的精度和頻率分辨率。 功率譜估計(jì)的實(shí)現(xiàn)有許多方法，也有很多具體的算法可以參閱，MATLAB提供的算法函數(shù)為學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)譜估計(jì)提供了方便高效的途徑。參數(shù)模型譜估計(jì)方法是現(xiàn)代譜估計(jì)的重要內(nèi)容，AR模型譜估計(jì)隱含著數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，其長(zhǎng)度可能超過(guò)給定的長(zhǎng)度，分辨率不受信源信號(hào)長(zhǎng)度的限制，這是經(jīng)典譜估計(jì)無(wú)法做到的。在AR模型BT算法中由于前后都加窗，使得自相關(guān)法的分辨率降低，數(shù)據(jù)越短分辨率越差。仿真結(jié)果直觀說(shuō)明了BT算法、Burg算法和改進(jìn)協(xié)方差算法各自的優(yōu)缺點(diǎn)，能為實(shí)際工作中做出合理的選擇提供依據(jù)。 MA模型譜估計(jì)給出MA(q)模型的三個(gè)方程 （414） （415） （416） 由（41）得 （417） 將上式兩邊同乘以，并求均值，得式中。 因?yàn)? 對(duì)MA(q)模型，由式(2) 式得 。 所以，可以求出MA(q)模型的正則方程，即有 MA(q)的功率譜為 等效于經(jīng)典譜估計(jì)中的自相關(guān)法，即MA譜估計(jì)等效為信號(hào)長(zhǎng)度為q+1的自相關(guān)法譜估計(jì)。 ARMA模型譜估計(jì) ARMA(p,q)模型的差分方程式中。類似地，可導(dǎo)出其正則方程如下：式中是系數(shù)和的函數(shù)，前q+1個(gè)方程是高度非線性的。從第q+1個(gè)方程開始是線性的，可以解出AR部分的系數(shù)，將上式中的第二個(gè)方程寫成如下展開形式： 上式雖然可解出AR部分的系數(shù)，但存在以下兩個(gè)問題：①由于式中的真實(shí)自相關(guān)函數(shù)是未知的，因此只能使用估計(jì)值來(lái)代替，且要用到大延遲的估計(jì)值（最大延遲是p+q），而對(duì)于給定的信號(hào)長(zhǎng)度，這將造成估計(jì)很不準(zhǔn)確。因而，也就不能得到AR部分系數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)。②式中階次p和q都是未知的，需要事先指定。P實(shí)際上是式中自相關(guān)陣的維數(shù)，p和q決定了的選用范圍。因此p和q的不正確指定有可能導(dǎo)致自相關(guān)陣出現(xiàn)奇異。 因此，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)自相關(guān)陣采用更一般的形式，即取L個(gè)方程，這里 ，即，式中，由此得到 的最小二乘解為 求得ARMA(p,q)模型中的AR參數(shù)，余下的任務(wù)就是求解MA部分的參數(shù)。 利用求得的AR系數(shù)先得到一個(gè)FIR系統(tǒng)為 序列經(jīng)此FIR系統(tǒng)濾波，得到一個(gè)輸出序列，ARMA(p,q)模型與FIR系統(tǒng) 級(jí)聯(lián)，近似于模型 。 因此，可以利用輸出序列估計(jì)自相關(guān)序列并按MA(q)模型譜估計(jì)公式來(lái)得到MA譜，即，得到MA譜估計(jì)后，利用下式即可求得ARMA譜估計(jì) 。 小結(jié) 參數(shù)模型譜估計(jì)方法是現(xiàn)代譜估計(jì)的重要內(nèi)容，AR模型譜估計(jì)隱含著數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，其長(zhǎng)度可能超過(guò)給定的長(zhǎng)度，分辨率不受信源信號(hào)長(zhǎng)度的限制，所以現(xiàn)代譜估計(jì)研究主要是用于基于AR模型的方法估計(jì)功率譜，這是經(jīng)典譜估計(jì)無(wú)法做到的。AR模型的Burg法也存在問題，比如計(jì)算量大；信號(hào)起始相位變動(dòng)可導(dǎo)致譜線偏移和分裂 ；低信噪比可導(dǎo)致譜分辨率下降等等。功率譜估計(jì)是信息學(xué)科中的研究熱點(diǎn)。現(xiàn)代譜估計(jì)主要是針對(duì)經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率低和方差性能不好的問題而提出的，其內(nèi)容極其豐富，涉及的學(xué)科和領(lǐng)域也相當(dāng)廣泛。第五章 論文總結(jié) 本論文分析介紹了功率譜估計(jì)的幾種常用的方法，包括經(jīng)典譜估計(jì)中的周期圖法、自相關(guān)法及改進(jìn)的方法和現(xiàn)代譜估計(jì)中的AR模型法，MA模型法，ARMA模型法，論文中對(duì)這幾種方法給出了詳細(xì)的估計(jì)步驟和估計(jì)的性能，對(duì)每種方法及其改進(jìn)的方法進(jìn)行了基于matlab的仿真，并通過(guò)仿真圖對(duì)各個(gè)方法進(jìn)行了比較。 從本篇論文可以看出，周期圖法直接對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，從而求得功率譜估計(jì)；自相關(guān)法是先利用觀測(cè)數(shù)據(jù)求出信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)量，然后對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，得出功率譜估計(jì)；對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較可以看出，周期圖法雖然效率較高，但他不是功率譜密度的一致估計(jì)，且估計(jì)性能較差，而自相關(guān)法雖然是功率譜密度的一致估計(jì)，但是效率較低。綜合這兩種方法，所以提出了周期圖法的改進(jìn)方法。在現(xiàn)代譜估計(jì)中，應(yīng)用最廣的是AR模型法，因?yàn)锳R模型法有效的避免了經(jīng)典譜估計(jì)的缺點(diǎn)，且在分辨率等性能上獲得了較好的效果，所以在實(shí)際應(yīng)用中其被廣泛采用。同時(shí)本論文也對(duì)MA模型法和ARMA模型法做了簡(jiǎn)要的介紹。但MAA模型系數(shù)的求解要比AR模型困難的多，且從譜估計(jì)的角度來(lái)看，MA模型譜估計(jì)等效于經(jīng)典譜估計(jì)中的自相關(guān)法，譜估計(jì)的分辨率也比較低。ARMA模型估計(jì)出的功率譜分辨率不及AR模型的Burg法和改進(jìn)的協(xié)方差法，但其噪聲部分的譜要比AR譜平滑。綜上述，AR模型法更為簡(jiǎn)單實(shí)用。參考文獻(xiàn)[1] 胡廣書, 數(shù)字信號(hào)處理. 清華大學(xué)出版社[2] 張旭東等，離散隨機(jī)信號(hào)處理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005[3] 景占榮等，信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2004[4] 丁玉美等，數(shù)字信號(hào)處理時(shí)域離散信號(hào)處理[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社2002[5] 姚武川等，姚天任，經(jīng)典譜估計(jì)方法的MATLAB分析[J]，華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2000,28（4）[6] 黃志宇等，隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)及MATLAB的實(shí)現(xiàn)[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2002,3（134）[7] 吳大正 MATLAB及在電子信息課程中的應(yīng)用(第二版)電子工業(yè)出版社 2004年[8] 魏鑫 張平 周期圖法功率譜估計(jì)中的窗函數(shù)分析. 現(xiàn)代電子技術(shù) 2005年[9] ，1990[10] ，1986[11] ，1981[12] Kay S Spectral Estimation. Englewood Cliffs,NJ:PrenticeHall,1987[13] Marple S L. Digital Spectral Analysisn with Cliffs,NJ:PrenticeHall,1987致 謝本次畢業(yè)設(shè)計(jì)是在老師的精心指導(dǎo)之下完成的，在此我衷心的感謝我的指導(dǎo)老師—***老師，在百忙之中抽出時(shí)間為我指導(dǎo)講解，并提出許多寶貴的意見和建議,使我得以順利的完成本論文的編寫。通過(guò)論文的編寫，也使我發(fā)現(xiàn)自己在經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)方面的不足，需要今后進(jìn)一步改正。雖然我盡可能努力地完成了論文，但論文仍存在缺陷和不足，有待于進(jìn)一步完善。最后衷心的感謝信控學(xué)院的所有老師和同學(xué)，感謝他們?cè)诖髮W(xué)期間對(duì)我的幫助和支持，讓我能夠給我的大學(xué)生活畫上一個(gè)圓滿的