正余弦定理知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典題有答案資料-資料下載頁(yè)
2025-06-26 19:38本頁(yè)面
【正文】 0．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度數(shù)．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(－1)∶(＋1)∶，∴a∶b∶c＝(－1)∶(＋1)∶.設(shè)a＝(－1)k，b＝(＋1)k，c＝k(k＞0)，∴c邊最長(zhǎng)，即角C最大．由余弦定理，得cosC＝＝－，又C∈(0176。，180176。)，∴C＝120176。.11．已知a、b、c是△ABC的三邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5，則邊c的值為_(kāi)_______．解析：S＝absinC，sinC＝，∴C＝60176?；?20176。.∴cosC＝177。，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝21或61，∴c＝或.答案：或12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，則cos A∶cos B∶cos C＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，設(shè)a＝2k(k＞0)，則b＝3k，c＝4k，cos B＝＝＝，同理可得：cos A＝，cos C＝－，∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC中，a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，則b＝________.解析：∵cos C＝，∴sin C＝.又S△ABC＝absinC＝4，即b3＝4，∴b＝2.答案：214．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝7，BC＝5，AC＝6，則的值為_(kāi)_______．解析：在△ABC中，cosB＝＝＝，∴＝||||cos(π－B)＝75(－)＝－19.答案：－1915．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，且面積S＝，則角C＝________.解析：absinC＝S＝＝＝abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45176。.答案：45176。16．(2011年廣州調(diào)研)三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角，則最小角的余弦值為_(kāi)_______．解析：設(shè)三邊長(zhǎng)為k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，則?2＜k＜4，∴k＝3，故三邊長(zhǎng)分別為2,3,4，∴最小角的余弦值為＝.答案：17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的長(zhǎng)．解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，∴cos(π－C)＝，即cosC＝－.又∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩根，∴a＋b＝2，ab＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosC＝a2＋b2－2ab(－)＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10，∴AB＝.18．已知△ABC的周長(zhǎng)為＋1，且sin A＋sin B＝sin C.(1)求邊AB的長(zhǎng)；(2)若△ABC的面積為sin C，求角C的度數(shù)．解：(1)由題意及正弦定理得AB＋BC＋AC＝＋1，BC＋AC＝AB，兩式相減，得AB＝1.(2)由△ABC的面積BCACsin C＝sin C，得BCAC＝，由余弦定理得cos C＝＝＝，所以C＝60176。.19．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得AB＝BC＝2BC＝2.(2)在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得cos A＝＝，于是sin A＝＝.從而sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝cos2 A－sin2 A＝.所以sin(2A－)＝sin 2Acos－cos 2Asin＝.20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，確定△ABC的形狀．解：由正弦定理，得＝.由2cos Asin B＝sin C，有cosA＝＝.又根據(jù)余弦定理，得cos A＝，所以＝，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因?yàn)?a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC為等邊三角形． 13
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