正余弦定理練習(xí)題集-資料下載頁(yè)
2025-07-24 11:22本頁(yè)面
【正文】 ＝2sin2B，因?yàn)閟inB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以＝.15．(文)在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，試判斷△ABC的形狀．[分析] 條件式a2tanB＝b2tanA是邊a、b與角A、B的關(guān)系，可用正弦定理化邊為角，將“切化弦”，然后，通過(guò)三角變形探究A與B之間的關(guān)系判斷形狀；也可以應(yīng)用正弦定理和余弦定理化角為邊，再通過(guò)代數(shù)變形探尋邊之間的關(guān)系后判斷形狀．[解析] 解法1：由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB.∴(2RsinA)2＝(2RsinB)2，∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC為等腰或直角三角形. 解法2：∵a2tanB＝b2tanA，∴＝＝.由正弦定理得＝.由余弦定理得cosB＝，cosA＝.∴＝＝，整理得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC為等腰或直角三角形．(理)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，C且＝.(1)判斷△ABC的形狀；(2)若|＋|＝2，求的取值范圍．[解析] (1)由＝得，＝，∴＝.由正弦定理得sinB＝sin2C.所以B＝2C或B＋2C＝π.若B＝2C，由C知2Cπ.即Bπ，∴B＋Cπ，與三角形內(nèi)角和為π矛盾，故B＝2C舍去．∴B＋2C＝π.∴A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C.故△ABC為等腰三角形．(2)由(1)知a＝c，∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝＝，∴＝accosB＝2－a2，∵cosB＝cos(π－2C)＝－cos2C，由C知2Cπ，∴－1cos2C－，∴cosB1，∴1，∴1a2，∴2－a21，∴的取值范圍是(，1)．[方法點(diǎn)撥] “變”是解決三角問(wèn)題的主題，變角、變名、變表達(dá)形式、變換次數(shù)等比比皆是，強(qiáng)化變換意識(shí)，抓住萬(wàn)變不離其宗——即公式不變，方法不變，要通過(guò)分析、歸類把握其規(guī)律.
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