變分原理與變分法-資料下載頁
2025-06-26 13:30本頁面
【正文】 應(yīng)兩條曲線，獲得兩個泛函值：l 基本引理： 證： 推廣： 另一條認(rèn)識的思路：DHβyx： BCA： Gα： ba： dx ＝ 因?yàn)槭堑倪B續(xù)可導(dǎo)函數(shù)（工程上一般如此），故很小時，也很小，即 取等式兩端的一階無窮小量，即： （可以從Tailor 展開式去理解）l 稱為泛函V的一階變分，簡稱變分，即泛函的一階變分是泛函增量中的一階小量部分（把自變函數(shù)的變分作為一階小量）所以，變分的運(yùn)算服從無窮小量的運(yùn)算規(guī)則。計(jì)算方法2：（把求泛函的極值轉(zhuǎn)化成求普通函數(shù)的極值）記： (固定)當(dāng)在y0上取極值，則相應(yīng)于的泛函值 現(xiàn)在成為普通的函數(shù)極值條件： （先不管該條件，現(xiàn)僅研究其導(dǎo)數(shù)計(jì)算） l 上兩式中出現(xiàn)，和并不能獨(dú)立變化，可設(shè)法把項(xiàng)轉(zhuǎn)換成只與有關(guān)的項(xiàng)。l 取分步積分： ?。? 代入一階變分式：要選定的函數(shù)滿足邊界條件，所以： ，計(jì)算l 若方括號內(nèi)的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不為0，則可任選使大于零或小于零，即使V不能獲得極值，故需方括號的項(xiàng)為零。即： （Euler方程）此即與泛函駐值等價的微分方程。或：令由變分基本定理：任意連續(xù)函數(shù)，方括號中函數(shù)連續(xù)。Example 最速降線問題： （注不顯含x）代入Euler方程，并乘以函數(shù)Q可得：由于(F中不顯含x)，上式中只要令,把上式配成全微分形式： 這是因?yàn)椋? () （代回原Euler方程，即得全微分）由全微分方程 代入F的具體表達(dá)式：令： 上式積分得： 注意： 引用初始條件：x=0, y=0, 只能有： C1=0令： 即為最速降線（圓滾線（漸開））方程。Homework: 在連接XY平面上兩點(diǎn)的M0及M1的所有曲線中，要這樣一條曲線使它繞OX軸旋轉(zhuǎn)成的曲面有最小表面積。
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