【正文】 程中有關(guān)位置處的綜合力和扭矩，速度扭矩和加速度。最常使用的兩種方法是拉格朗日和牛頓、歐拉公式。牛頓、歐拉公式雖然計(jì)算效率高，但卻很難用于控制問題的遞推計(jì)算。拉格朗日雖然計(jì)算效率不高，但確實(shí)產(chǎn)生一組非常適用于機(jī)械手控制問題的微分方程式。在這里動(dòng)力方程僅用于獲得分析結(jié)果，我們使用拉格朗日的方法得出以下機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程(參考文獻(xiàn)[12，13])。qi=vi (1a)ui=Jijqvj+Rijvj+Cijkqvjvk+Giq (1b)式中 qi=ith 廣義坐標(biāo) vi=ith 廣義速度 ui=ith 廣義力 Jij= 慣性矩陣 Gi = 在 ith 加上重力的力 Cijk= 科氏陣列 Rij= 粘性摩擦矩陣愛因斯坦求和約束的使用使所有指數(shù)從1到n包含在n自由度機(jī)器人中。慣性矩陣Jij的比例常數(shù)是施加于ith的總的扭矩/扭力與Jij上的總加速度。科里奧利數(shù)列描述了結(jié)合 j 和 k 的速度進(jìn)入Cijk的力。粘性摩擦矩陣R給出由于速度 j 產(chǎn)生的 i 而受到的摩擦力。注意這個(gè)矩陣為對(duì)角矩陣，所有輸入數(shù)值無負(fù)值。機(jī)器人的手臂運(yùn)動(dòng)當(dāng)然不會(huì)完全不受約束。事實(shí)上，在關(guān)節(jié)處機(jī)器人手臂必須限制在一個(gè)固定的空間運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)軌跡為給定的參數(shù)化曲線。曲線被由參數(shù) λ 的n個(gè)函數(shù)集決定，所以我們有qi=fiλ ， 0≤λ≤λmax (2)其中λ為理想軌跡的一個(gè)參數(shù)，當(dāng)λ從 0 到λmax變化時(shí)坐標(biāo) qi 也連續(xù)地變化且路徑不重復(fù)，即λ0=0 ，λtf=λmax .應(yīng)當(dāng)指出，在實(shí)際空間的運(yùn)動(dòng)軌跡是建立在笛卡爾坐標(biāo)上。一般很難把曲線從笛卡爾坐標(biāo)完全轉(zhuǎn)換到機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)中，相對(duì)地執(zhí)行單個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換卻很容易。在笛卡爾的路徑上拾足夠多的點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)變換，利用插值法技術(shù) （例如 三次樣條函數(shù)）獲得機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間的一個(gè)相似的軌跡。（見［10］為一個(gè)例子）回到之前的問題，我們用時(shí)間來區(qū)分參數(shù)化的qi 得到 其中μ =λ 運(yùn)動(dòng)方程沿著曲線（Le．幾何學(xué)的路徑）變成注意，如果λ表示沿著路徑的弧長(zhǎng)，那么μ和μ分別表示沿著路徑的速度和加速度。基于這種參數(shù)化有兩個(gè)狀態(tài)變量，即λ和μ，但有（n + 1）個(gè)方程。選擇方程λ=μ和剩余方程序之一為狀態(tài)方程，其他方程作為輸入 μ 的約束。將ith乘以dfi(λ)dλ 就可以從給出的n個(gè)方程中得到一個(gè)狀態(tài)方程這個(gè)公式有個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，在約束函數(shù)導(dǎo)出的向量中參數(shù)μ是二次的，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)曲線可以進(jìn)行參數(shù)化，且慣性矩正定，整個(gè)的方程能被正的、非零的參數(shù)μ分開，由λ和μ得到μ的一個(gè)解?，F(xiàn)在得到二個(gè)狀態(tài)方程，而最初的n個(gè)方程則由輸入和 μ 約束（關(guān)于這方面將在后面討論）。 通過變換，狀態(tài)方程變?yōu)楝F(xiàn)在考慮由|ui|≤umaxi和公式（4a）限制的約束，動(dòng)態(tài)方程（4a）可以寫成這樣的形式：ui=gi(λ)u+hi(λ，μ). 對(duì)于一個(gè)給定的狀態(tài)，也就是給定的 h 和，u，這是一個(gè)參數(shù)p的一組線性參數(shù)方程，約束存在于輸入變化區(qū)間及因輸入變化形成的約束矩陣中。因此把矩陣約束在u上，通過方程參數(shù)使輸入扭矩/扭力變化的所有位置、速度在路徑上彼此限制，給出初始的(λ，μ）及u的大小，如果知道機(jī)械手關(guān)節(jié)處的輸入扭矩、扭力這樣就能用數(shù)的處理來代替n個(gè)矢量的處理進(jìn)而得到一系列的約束（路徑狀態(tài)方程）。因?yàn)樾阅芡耆蓇決定，我們用umaxi≤ui≤+umaxi于是有：簡(jiǎn)化：于是得到：注意：前面的方程都是λ的函數(shù)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，功能的依賴性在下面的計(jì)算不再指出。給出的控制不等式：另一種格式：LBi≤u≤UBi，這些參數(shù)由n決定，u滿足：maxLBi≤u≤minUBi 或者GLB(λ，μ)≤u≤LUB(λ，μ) （7e）路徑計(jì)劃要呈現(xiàn)的運(yùn)算法則與之前依照慣例得到方程的不同，可知參數(shù)λ 是笛卡爾的空間的弧長(zhǎng)，μ是速度，μ是幾何加速度。傳統(tǒng)路徑規(guī)劃把加速度劃分為幾個(gè)常數(shù)間隔，于是：GLB(λ，μ)≤umin≤u≤umax≤LUB(λ，μ)式中umin 和 umax是常數(shù)。傳統(tǒng)方法把加速度進(jìn)行了過多的約束，使速度也有過多的約束。最佳控制問題的公式化現(xiàn)在我們得到根據(jù)幾何路徑和輸入系統(tǒng)規(guī)定參數(shù)的機(jī)械手動(dòng)力方程，就可以分析實(shí)際控制問題了。機(jī)械手控制的目的是以最小的輸入得到最大的動(dòng)力輸出，這可以用最佳控制語(yǔ)言來描述，常用的方法使龐特里亞金最大值原理[11]。最大值問題即點(diǎn)的連接問題，除了一些簡(jiǎn)單的點(diǎn)不能使用閉環(huán)控制，而且很難以數(shù)字的方式解決。我們使用最大值原理獲得加工質(zhì)量而不僅僅是獲得方程的解，這個(gè)解將用于之后的最小時(shí)間求解?？紤]實(shí)際情況，最低成本即最短加工時(shí)間，就是求機(jī)械手運(yùn)動(dòng)最大速度，可以表示為：C=0tf l ? dt (8)這里tf由電子激光器決定，價(jià)值函數(shù)C必須服從下面給出的3個(gè)約束：機(jī)械手的動(dòng)力微分方程約束（即式（6a），(6b)）。輸入量要求，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器輸入扭矩允許范圍要求（即|ui|≤umaxi）；第三個(gè)參數(shù)是空間參數(shù)設(shè)置，機(jī)械手運(yùn)動(dòng)到達(dá)指定工位不能與如何物體相碰。假定理想的幾何方程已經(jīng)把最小時(shí)間控制參數(shù)化，就像之前希望的（即等式（3）），但最初的點(diǎn)為λ=0，結(jié)束點(diǎn)為λ=λmax且dfidλ存在，這樣保證（6a），（6b）存在，同時(shí)當(dāng)λ從0到λmax方程是單調(diào)的。把這些代入動(dòng)力方程，我們得到如下的最短時(shí)間方程（簡(jiǎn)稱MTPP）。MTPP：求出x0=λ0，μ0和ui0 通過將式（8）代入（6a），(6b)， |ui|≤umaxi ，及邊界條件μ0=μ0 , μtf=μf (9a)λ0=0 , λtf=λmax (9b)、最大原則的應(yīng)用為了使0≤λ≤λmax需要增加一個(gè)第三個(gè)狀態(tài)方程，第三狀態(tài)v，并要求：v=λ2lλ+λmaxλ2lλλmax (10)其中：lx=1 (x≥0) 0 (x0) v≥0要求邊界約束v0=vtf=0這樣v無限接近0，當(dāng)λ在0≤λ≤λmax中間隔取值使v無限接近0。在對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行變化前，先定義函數(shù)：這樣就可以簡(jiǎn)化公式，得到：區(qū)間M表示機(jī)械手功能的二次形式，如果把參數(shù)qi加入到動(dòng)能方程，得到K=Mμ2/2 ；Q表示科里奧利的組成和沿著路勁加上參數(shù)化的地心引力；區(qū)間R表示摩擦力，S給出沿著路勁的地心引力，U表示輸入重力區(qū)間。 之前的MTPP可以這樣變化將（8）代入（11a），(11b)，(11c)，(7d)，(9a)，(9b)求y0=λ0，μ0，v0和U0的極小值，通過MTPP變換哈米爾頓函數(shù)變?yōu)椋夯蚴褂们懊娴奶鎿Q得到哈米爾頓函數(shù)對(duì)μ求導(dǎo)，對(duì)λ求導(dǎo)，最后對(duì)v求導(dǎo)，應(yīng)用最大值原理，我們需求出H在（12b）中的最小值，聯(lián)合各式（11a），(11b)，(11c)，(9a)及（7b），且H必須滿足邊界條件。這里y是矢量（λ，μ，v）的狀態(tài)向量，我們得到一個(gè)簡(jiǎn)單的輸入?yún)^(qū)間 在式（14）中知道H不明確依賴t，也可以看作 是由約束（9）和vtf=0得到。注：哈米爾頓函數(shù)（12b）在U上線性，且由于ui和dfidλ在[0，λmax]有界使得U有界，這就要求U的最優(yōu)解必須滿足繼電氣控制邏輯，在最優(yōu)軌跡上任意點(diǎn)的式（12b）中U的解是U的最大或最小值，通過對(duì)ui求導(dǎo)得到U的極值，關(guān)于ui的等式約束為ui=gi(λ)μ+ hi (λ，μ)，得到由于U的繼電器控制和給定的參數(shù)（λ，μ）U的大小線性地跟隨μ，μ也必須滿足繼電氣控制邏輯。因此μ等于GLB(λ，μ)或LUB(λ，μ)。再考慮三維空間，μ作用于不均等加工時(shí)輸入等式約束線上一點(diǎn)，如果 i－th 的聯(lián)合輸入在約束的一邊慢慢趨近于最大值，將推使機(jī)械手向正方向推動(dòng)。無論輸入的系數(shù)是否為零以上的推論都成立，即p2在（13a）中不為0。如果p2只在孤立的點(diǎn)處為0，則得到各處的最佳控制。另一方面，如果p2在某些區(qū)間內(nèi)為0，我們有下列的定理。定理1：如果p2在區(qū)間[t1，t2] (t1t2)為0 ， p2在區(qū)間[t1，∝ ]為0 ，則時(shí)間最優(yōu)解不存在。證明：p2在區(qū)間[t1，t2]為0，區(qū)間外p2=0，p2=，我們必須使（13a）、（14b）中p1=p1=0。V約束條件使p3不為0 ，這就要求p1，p2 在區(qū)間[t1，∝ ]為0，于是H(y(t)，p(t)，U(t))=1，t≥ t1，即約束H(y(tf)，μf，0，p(tf)，U(tf))=0不同時(shí)為0，至少存在一個(gè)區(qū)間，如果有單個(gè)區(qū)間，則對(duì)最佳的控制問題無解。如果不存在區(qū)間，則最小時(shí)間解是唯一的。這個(gè)推導(dǎo)也適用于p2(0)和p2（tf），我們這里用另一個(gè)理論來推導(dǎo)。定理2：如果Umax0S0Umin(0) 則p2(0)0，p2(tf)0 。證明：已知0≤λ≤λmax則當(dāng)t=tf有μ≤0，又μtf=0，則當(dāng)ttf時(shí)μ(t)，存在一些點(diǎn)λλmax。但在tf處μtf=M1US0，又M0于是US0，在時(shí)間tf時(shí)H的值為0，則如果p2(tf)≤0，那么Htf0，矛盾，故有p2(tf)0；確定p2(0)的符號(hào)及μ（0）的大小，同理可得μ00 ，則US0，使用繼電器控制于是有U=Umax否則 U=Umin且UminS0，但如果U=Umax則p20，于是p2(0)0.這些理論的一個(gè)重要原則是開關(guān)點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，如果開關(guān)點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，p2(tf)的符號(hào)將和p2(0)的符號(hào)相同，則sinp2tf=（1）msin( p20)其中m為符號(hào)變化次數(shù)。相平面解釋在相位平面中審查系統(tǒng)行為，相位平面軌跡的方程由方程（11 b ）及（11 a）獲得有趣的是整個(gè)時(shí)間T從開始到結(jié)束可以寫為然后將得到給定的整體最小參數(shù)，這就希望μ越大越好。參數(shù)μ有兩個(gè)影響因數(shù)：運(yùn)動(dòng)軌跡的斜率和μ值的大小。用μ除以μ得到dμdλ=μμ ；為了得到μ就必須考慮μ的范圍，通過λ和μ的特征值，我們有LUB(λ，μ) GLB(λ，μ)， μ不存在允許值。對(duì)于λ的每個(gè)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)由不等式UBi(λ，μ) LBi (λ，μ)≥0決定的μ值。對(duì)于所有的i，j不等式UBi(λ，μ) LBi (λ，μ)≥0都成立。不等式?jīng)Q定的區(qū)間重合處相平面的軌跡不能丟失，這一區(qū)域?qū)?huì)作為i和j不等式最大、最小相位檢測(cè)區(qū)，即對(duì)不等式進(jìn)行變化或除以Mi?Mj左邊是關(guān)于μ的二次方程，如果對(duì)于所有的i，Si≤umaxi成立，則μ=0時(shí)上面的不等式成立，就能從二次方式中得到μ的邊界值。引入簡(jiǎn)化方程：不要把Cij和C或Cijk弄混了，于是不等式簡(jiǎn)化為：Aijμ2+Bijμ+Cij+Dij≥0 (17b)注：由定義Aij=Aji，Bij=Bji，Cij=Cji，Dij=Dji，對(duì)于所有的i和j能被互相交換、對(duì)稱或者系數(shù)的反對(duì)稱，得到不等式Aijμ2Bijμ+CijDij≥0 (17c)當(dāng)i≠j時(shí)，有n(n1)/2對(duì)方程，n為機(jī)械手自由度數(shù)。最佳軌跡確定為了說明我們先找出一個(gè)無摩擦機(jī)械手最優(yōu)軌跡的運(yùn)算法則，運(yùn)算法則包含普通情況，在零磨擦情況，我們有n（n 1)/2 個(gè)關(guān)于μ的解，每一個(gè)解都是關(guān)于μ=0對(duì)稱的。在相平面內(nèi)沒有需要避開的孤島，唯一的限制是 μ由一對(duì)連續(xù)的曲線軌跡分段連續(xù)導(dǎo)出。最佳的軌跡能構(gòu)建在叫做構(gòu)建無摩擦最優(yōu)軌跡運(yùn)算法則（簡(jiǎn)稱ACOTNF）。第一步：從λ=0，μ=μ0構(gòu)建具有最大加速度值的軌跡，延長(zhǎng)這一曲線直到它在相平面內(nèi)穿越過可行域或越過λ=λmax，注意“離開可行域 暗示如果軌道的一部份碰巧與可行域接口的一個(gè)斷面重合，那么軌跡應(yīng)該沿著接口被延長(zhǎng)，直到碰觸到可行域的邊緣，否則軌跡將不連續(xù)。第二步：從λ=λmax，μ=μf 轉(zhuǎn)折點(diǎn)建立第二個(gè)曲線軌跡，它是一個(gè)減速曲線。這一個(gè)曲線應(yīng)該被延長(zhǎng)，直到它離開可行域或越過λ=0。第三步：這兩個(gè)曲線交點(diǎn)即轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從λ=0到轉(zhuǎn)折點(diǎn)的第一條曲線和從轉(zhuǎn)折點(diǎn)到λ=λmax的第二條曲線組成運(yùn)動(dòng)的最佳軌跡。運(yùn)算法則到此次結(jié)束。第四步：如果兩條曲線在區(qū)域內(nèi)不相交，那么它們一定離開可行域，稱加速度離開可行域的點(diǎn)為λ1，這是可行域邊界曲線上的一個(gè)點(diǎn)。如果邊界曲線由μ=g(λ)給出，從λ1處沿著曲線搜索，直到找到點(diǎn)使 dμdλ=dgdλ 。這個(gè)點(diǎn)作為下一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，記為λd。第五步：從λd向后建立一個(gè)減速曲線，直到它與加速曲線相交，這樣得到另一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。第六步：從λd建立一個(gè)加速曲線，延長(zhǎng)曲線直到它與減速曲線相交或者離開可行域。如果它與減速曲線相交，那么得到另一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。如果曲線離開可行域，那么重新計(jì)算第四步。這個(gè)運(yùn)算法則依次交替加速減速計(jì)算給出最佳的運(yùn)動(dòng)軌跡，在討論軌道的最優(yōu)性之前，必須保證ACOTNF 的所有階段是可行的而且 ACOTNF 會(huì)結(jié)束?；氐阶畛醯膯栴}，步驟6明確可行，但是第4步要求找到函數(shù)的0點(diǎn)。在給定的狀態(tài)之下，函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)嗎？回答是的，可由下證明：注意，在λ=λ1處 ，曲線軌跡從可行域溢出。同樣地，在點(diǎn)λ=λ2 處減速曲線在可行域外經(jīng)過，軌跡一定穿過內(nèi)部。如果在這些點(diǎn)處可行域的邊界曲線的斜率連續(xù)，那么我們有g(shù)(λ)是可行域邊界方程，dμdλ=dg（λ）dλ的值必須在λ1和λ2之間變化。如果 g（λ ）在這一范圍內(nèi)連續(xù)，那么至少存在一個(gè)零點(diǎn)。然而， g（ λ ）只是大體上分段地可見，所以可能導(dǎo)出不連續(xù)的點(diǎn)，這種情況有可能「零點(diǎn)不存在」，事實(shí)上零點(diǎn)總是存在的，我們通過下列的定理證明。定理3a：左導(dǎo)數(shù)使?λ=dμdλdg（λ）dλ，如果?λ10且?λ20，則?λ在區(qū)間[λ1，λ2]至少存在一個(gè)零點(diǎn)。證明：如果g（ λ ）的微分在區(qū)間[λ1，λ2]連續(xù)，那么一定存在一個(gè)零點(diǎn)。如果g（ λ ）不