【正文】 相平面解釋在相位平面中審查系統(tǒng)行為，相位平面軌跡的方程由方程（11 b ）及（11 a）獲得有趣的是整個(gè)時(shí)間T從開始到結(jié)束可以寫為然后將得到給定的整體最小參數(shù)，這就希望μ越大越好。參數(shù)μ有兩個(gè)影響因數(shù)：運(yùn)動(dòng)軌跡的斜率和μ值的大小。用μ除以μ得到dμdλ=μμ ；為了得到μ就必須考慮μ的范圍，通過λ和μ的特征值，我們有LUB(λ，μ) GLB(λ，μ)， μ不存在允許值。對(duì)于λ的每個(gè)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)由不等式UBi(λ，μ) LBi (λ，μ)≥0決定的μ值。對(duì)于所有的i，j不等式UBi(λ，μ) LBi (λ，μ)≥0都成立。不等式?jīng)Q定的區(qū)間重合處相平面的軌跡不能丟失，這一區(qū)域?qū)?huì)作為i和j不等式最大、最小相位檢測區(qū)，即對(duì)不等式進(jìn)行變化或除以Mi?Mj左邊是關(guān)于μ的二次方程，如果對(duì)于所有的i，Si≤umaxi成立，則μ=0時(shí)上面的不等式成立，就能從二次方式中得到μ的邊界值。引入簡化方程：不要把Cij和C或Cijk弄混了，于是不等式簡化為：Aijμ2+Bijμ+Cij+Dij≥0 (17b)注：由定義Aij=Aji，Bij=Bji，Cij=Cji，Dij=Dji，對(duì)于所有的i和j能被互相交換、對(duì)稱或者系數(shù)的反對(duì)稱，得到不等式Aijμ2Bijμ+CijDij≥0 (17c)當(dāng)i≠j時(shí)，有n(n1)/2對(duì)方程，n為機(jī)械手自由度數(shù)。最佳軌跡確定為了說明我們先找出一個(gè)無摩擦機(jī)械手最優(yōu)軌跡的運(yùn)算法則，運(yùn)算法則包含普通情況，在零磨擦情況，我們有n（n 1)/2 個(gè)關(guān)于μ的解，每一個(gè)解都是關(guān)于μ=0對(duì)稱的。在相平面內(nèi)沒有需要避開的孤島，唯一的限制是 μ由一對(duì)連續(xù)的曲線軌跡分段連續(xù)導(dǎo)出。最佳的軌跡能構(gòu)建在叫做構(gòu)建無摩擦最優(yōu)軌跡運(yùn)算法則（簡稱ACOTNF）。第一步：從λ=0，μ=μ0構(gòu)建具有最大加速度值的軌跡，延長這一曲線直到它在相平面內(nèi)穿越過可行域或越過λ=λmax，注意“離開可行域 暗示如果軌道的一部份碰巧與可行域接口的一個(gè)斷面重合，那么軌跡應(yīng)該沿著接口被延長，直到碰觸到可行域的邊緣，否則軌跡將不連續(xù)。第二步：從λ=λmax，μ=μf 轉(zhuǎn)折點(diǎn)建立第二個(gè)曲線軌跡，它是一個(gè)減速曲線。這一個(gè)曲線應(yīng)該被延長，直到它離開可行域或越過λ=0。第三步：這兩個(gè)曲線交點(diǎn)即轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從λ=0到轉(zhuǎn)折點(diǎn)的第一條曲線和從轉(zhuǎn)折點(diǎn)到λ=λmax的第二條曲線組成運(yùn)動(dòng)的最佳軌跡。運(yùn)算法則到此次結(jié)束。第四步：如果兩條曲線在區(qū)域內(nèi)不相交，那么它們一定離開可行域，稱加速度離開可行域的點(diǎn)為λ1，這是可行域邊界曲線上的一個(gè)點(diǎn)。如果邊界曲線由μ=g(λ)給出，從λ1處沿著曲線搜索，直到找到點(diǎn)使 dμdλ=dgdλ 。這個(gè)點(diǎn)作為下一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，記為λd。第五步：從λd向后建立一個(gè)減速曲線，直到它與加速曲線相交，這樣得到另一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。第六步：從λd建立一個(gè)加速曲線，延長曲線直到它與減速曲線相交或者離開可行域。如果它與減速曲線相交，那么得到另一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。如果曲線離開可行域，那么重新計(jì)算第四步。這個(gè)運(yùn)算法則依次交替加速減速計(jì)算給出最佳的運(yùn)動(dòng)軌跡，在討論軌道的最優(yōu)性之前，必須保證ACOTNF 的所有階段是可行的而且 ACOTNF 會(huì)結(jié)束?；氐阶畛醯膯栴}，步驟6明確可行，但是第4步要求找到函數(shù)的0點(diǎn)。在給定的狀態(tài)之下，函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)嗎？回答是的，可由下證明：注意，在λ=λ1處 ，曲線軌跡從可行域溢出。同樣地，在點(diǎn)λ=λ2 處減速曲線在可行域外經(jīng)過，軌跡一定穿過內(nèi)部。如果在這些點(diǎn)處可行域的邊界曲線的斜率連續(xù)，那么我們有g(shù)(λ)是可行域邊界方程，dμdλ=dg（λ）dλ的值必須在λ1和λ2之間變化。如果 g（λ ）在這一范圍內(nèi)連續(xù)，那么至少存在一個(gè)零點(diǎn)。然而， g（ λ ）只是大體上分段地可見，所以可能導(dǎo)出不連續(xù)的點(diǎn)，這種情況有可能「零點(diǎn)不存在」，事實(shí)上零點(diǎn)總是存在的，我們通過下列的定理證明。定理3a：左導(dǎo)數(shù)使?λ=dμdλdg（λ）dλ，如果?λ10且?λ20，則?λ在區(qū)間[λ1，λ2]至少存在一個(gè)零點(diǎn)。證明：如果g（ λ ）的微分在區(qū)間[λ1，λ2]連續(xù)，那么一定存在一個(gè)零點(diǎn)。如果g（ λ ）不連續(xù)，假設(shè)不存在零點(diǎn)，則在g（ λ ）溢出區(qū)間存在一個(gè)或更多的點(diǎn)，符號(hào)變化發(fā)生于這一個(gè)或更多的這些點(diǎn)。如果不是這樣，那么在g（ λ ）存在一個(gè)符號(hào)變化的點(diǎn)使g（ λ ）微分連續(xù)，而且因此會(huì)有一個(gè)零點(diǎn)。兩個(gè)限制參數(shù)記為g1，g2。g1作用于λλd，g2作用于λλd，由limλ0limφλ有對(duì)于ε0我們有代入約束，由g（ λ ）=min gi（ λ ）得g1 λd+ε g2（ λd+ε）。這意味著g1是λλdi的約束解，和假設(shè)矛盾。這樣至少存在一個(gè)點(diǎn)使?λ為零。這一個(gè)定理的圖解意義在圖 7 說明。從圖中看出， g（ λ ）一定超出區(qū)域，且?λ是分段連續(xù)的，曲線向上跳躍。證明完畢。為了要證明ACOTNF 結(jié)束，我們對(duì)函數(shù)fi(λ) 進(jìn)行一些假設(shè) ，假設(shè)fi可分段求解且由有限個(gè)不含實(shí)際價(jià)值的數(shù)組成。非正式地，因?yàn)閼T性矩陣，科里奧利數(shù)列，重力加速度等是全局解析函數(shù)，而且自從路徑被限制之后是分段求解的，我們已經(jīng)處理的所有函數(shù)也是分段求解的，函數(shù)?λ也是分段求解的，于是將會(huì)因此在每個(gè)區(qū)域中產(chǎn)生一個(gè)零點(diǎn)或有限個(gè)零點(diǎn)。如果?λ間隔地為0，軌跡將沿著邊界停止在間隔結(jié)束的地方，相同的零間隔不會(huì)引起問題。只有間隔的最右面點(diǎn)可能是一個(gè)交換點(diǎn)，因此只有如此有限的間隔會(huì)引起ACOTNF 有限的反復(fù)。如此收斂被保證，因此有限數(shù)目的解域我們有下列的定理：定理3b：如果函數(shù)fi有有限個(gè)實(shí)際價(jià)值解，那么函數(shù)?λ存在一定數(shù)量的間隔結(jié)束于區(qū)域外的零。證明：慣性矩陣，科里奧利陣列，重力加速度在 qi 中分段解，fiλ在λ處的解等等作為λ函數(shù)（就像公式（4a）和(4b)）的分段解或有限的單解。公式（7b）中的M，Q，R，S也是單個(gè)的解。一個(gè)在有限區(qū)間內(nèi)沒有奇點(diǎn)的實(shí)際價(jià)值的解析函數(shù)，一定存在有限個(gè)零點(diǎn)或同一零點(diǎn)，工程量M必須在區(qū)間內(nèi)為零。如果假設(shè) 我們可以得到所有的Mi零點(diǎn)。如果其中一個(gè)Mi不為零，就不存在邊界曲線，就沒有零點(diǎn)。只要有兩個(gè)或更多不為零的點(diǎn)，就可得到邊界曲線。坐標(biāo)i，j代入式(17b)(用=代替≥)得到曲線，式（17b）中系數(shù)A，B，C，D排除在Mi中的零之外，由于Mi存在零點(diǎn)，考慮用Mi中的零點(diǎn)進(jìn)行區(qū)間分割。在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)（17b）方程有效。在區(qū)間內(nèi)μ是λ的一個(gè)解，邊界曲線g（ λ ）是特解，?λ也是特解且在每個(gè)區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)或數(shù)個(gè)零點(diǎn)。由于?λ在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)或數(shù)個(gè)零點(diǎn)，因此區(qū)間個(gè)數(shù)是有限的，且結(jié)束于區(qū)域外的零。證明完畢。定理4：由ACOTNF產(chǎn)生的任何軌跡在最短時(shí)間控制上是最優(yōu)的。證明：該定理的證明是直接證明。假設(shè)一個(gè)軌跡比由ACOTNF算法產(chǎn)生的軌跡有更小的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。由等式（8）可知，必然存在λ使新軌跡上的點(diǎn)（λ，μ’）高于ACOTNF軌跡上的點(diǎn)（λ，μ），即μ’μ。否則，就不存在一個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間更短的軌跡。我們根據(jù)最大原則分析可知解不唯一，即存在數(shù)條最大加減速曲線，所以我們只能應(yīng)用那些不確定的軌跡?，F(xiàn)在有四種可能，（λ，μ’）可能位于ACOTNF軌跡初始的加速段，也可能位于最后的減速段，也有可能位于其他的加速或減速軌跡上。在第一種情況下，新軌跡的初始值必須大于ACOTNF的初始值。否則，新的軌跡必須在某些點(diǎn)上具有比ACOTNF更大的加速度，而這是不可能的，因?yàn)锳COTNF軌跡擁有可允許的最大加速度。新軌跡因此就可能達(dá)到合適的臨界條件。第二種情況與之類似。因?yàn)椋é?，μ’）點(diǎn)在ACOTNF軌跡上，新軌跡必須比擁有最大的減速度的ACOTNF軌跡減速更快才能達(dá)到相同的臨界條件。這也是不可能的，因?yàn)锳COTNF使用最大的減速度。在第三種情況下，（λ，μ’）在其他的加速軌跡上，在這種情況下，通向（λ，μ’）點(diǎn)的軌跡必須移出可行域的邊界。否則，這些軌跡必須通過ACOTNF軌跡的加速階段，因?yàn)樗鼈兺ㄟ^邊界上的一個(gè)點(diǎn)。新軌跡在該相交點(diǎn)的加速度將大于ACOTNF的軌跡，同樣，這也是不可能的。最后一種情況與前者類似。從（λ，μ’）出發(fā)的加速或者減速軌跡必須要么與可行域的邊界相交，要么比ACOTNF減速軌跡減速快，因此，無解。證明完畢。這種產(chǎn)生最優(yōu)軌跡的方法可以在相位平面內(nèi)任何有可行域的情況下工作，而不只是無摩擦的情況?；舅枷胧菬o限接近可行域的邊緣而不超出它。因此軌跡僅僅是沒有接觸到非可行域。在實(shí)際中這當(dāng)然會(huì)很危險(xiǎn)，因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)輸入和測試系統(tǒng)參數(shù)的小錯(cuò)誤都將很可能使機(jī)器人偏離預(yù)定的軌跡。然而從理論上說，這個(gè)軌跡是最節(jié)約時(shí)間的。我們現(xiàn)在考慮一般的情況，即摩擦力足以使相位平面產(chǎn)生孤島。在這種情況下，該算法必須用一種超微不同的形式來展現(xiàn)。因?yàn)榇嬖跀?shù)條邊界曲線而不是一個(gè)，不可能像ACOTNF中做的那樣只研究零點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)。因此我們不再在算法過程中尋找零點(diǎn)，而是一次性的全找出來。然后建立沒有邊界的軌跡，不管這些邊界是可行域的邊緣還是孤島的邊緣。合適的軌跡可以通過搜索結(jié)果曲線圖找到——一直選擇盡可能高的軌跡，有必要的話回溯。更正式的，最優(yōu)軌跡建立算法是：第一步：建立初始的加速軌跡。（與ACOTNF相同）第二步：建立最終的減速軌跡。（與ACOTNF相同）第三步：計(jì)算可行域邊線和所有的孤島邊線的函數(shù)?（λ）。在每一個(gè)零點(diǎn)，建立一個(gè)以零點(diǎn)為轉(zhuǎn)換點(diǎn)的軌跡，就像ACOTNF的第五步和第六步。轉(zhuǎn)換方向（加速到減速或者反過來）應(yīng)該以不使軌跡離開可行域?yàn)闇?zhǔn)來選擇。延長每條軌跡，使它或者離開可行域或者通過λmax.第四步:找到軌跡的所有交點(diǎn)。這是潛在的轉(zhuǎn)換點(diǎn)。第五步：從λ=0，μ=μC穿過網(wǎng)格，這些網(wǎng)格是由從起始點(diǎn)到終點(diǎn)的最高的軌跡形成的。這在下面的網(wǎng)格穿越算法中有介紹。穿越有上面的第三步和第四步產(chǎn)生的軌跡形成的網(wǎng)格是對(duì)曲線圖的一個(gè)搜索，目的是要找到最終的減速軌跡。如果設(shè)想一個(gè)人沿著這些軌跡搜索這些網(wǎng)格，那么如果這可能的話他就會(huì)一直左轉(zhuǎn)。如果一個(gè)轉(zhuǎn)向引向了死角，那么就有必要回溯，然后就向右轉(zhuǎn)了。整個(gè)過程是遞歸的，就像瀏覽樹狀圖的過程一樣。算法包含兩個(gè)過程，一個(gè)是搜索加速曲線，另一個(gè)搜索減速曲線。算法是：加速搜索：在當(dāng)前的（加速）軌跡上，找到最后一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。在這一點(diǎn)，當(dāng)前的軌跡到達(dá)一個(gè)減速軌跡。如果那條曲線是最終的減速軌跡，那么現(xiàn)在考慮的轉(zhuǎn)換點(diǎn)就是最終的最優(yōu)軌跡的一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。否則，從當(dāng)前的轉(zhuǎn)換點(diǎn)開始進(jìn)行減速搜索。如果減速搜索成功，那么當(dāng)前的點(diǎn)就是最優(yōu)軌跡的一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。否則，沿當(dāng)前的加速曲線回到前一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，重復(fù)這個(gè)過程。減速搜索：在當(dāng)前的（減速）軌跡，找到第一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。從該點(diǎn)開始應(yīng)用加速搜索。如果成功，那么當(dāng)前的點(diǎn)就是一個(gè)最優(yōu)軌跡的轉(zhuǎn)換點(diǎn)，則前移至下一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)并重復(fù)這個(gè)過程。這兩個(gè)算法一直是首先尋找速度最高的曲線，因?yàn)榧铀偎阉骺偸菑募铀偾€的末端開始，而減速搜索總是從減速曲線的開端開始。因此算法找到（如果有可能）速度最快的軌跡，因此搜索時(shí)間最短。這個(gè)算法的最優(yōu)性和一致性的證明實(shí)質(zhì)上與ACOTNF是一樣的，這里不再重復(fù)。注意在ACOTNF的一致性證明中，在零摩擦情況下只存在一條邊界曲線的事實(shí)沒有用到；因此同樣的證明也適用于高摩擦條件下。在這篇文章里，我們展示了一種獲得在提供理想的幾何軌跡和輸入扭轉(zhuǎn)約束力的條件下機(jī)械手運(yùn)動(dòng)最小時(shí)間控制軌跡的方法。就像前面提出的，最優(yōu)軌跡可能接觸到可行域的邊界，產(chǎn)生相當(dāng)危險(xiǎn)的情況。但是，如果在計(jì)算中使用略微保守的扭轉(zhuǎn)約束值，那么實(shí)際的可行域就會(huì)略微大于計(jì)算可行域，留出失誤的空間。在高摩擦和低摩擦情況下的算法都已經(jīng)展示了。在這兩種情況下，算法產(chǎn)生“僅僅丟失”非可行域的軌跡，不管丟失的非可行域部分是一個(gè)孤島還是有較高的速度限制形成的域。假設(shè)機(jī)器人的輸入轉(zhuǎn)矩被約束，我們得到一個(gè)測試機(jī)器人沿給定的空間路徑運(yùn)動(dòng)的最小時(shí)間開環(huán)控制的算法。但是，對(duì)不同的輸入?yún)?shù)也應(yīng)該可能獲得解。因?yàn)樵撍惴óa(chǎn)生真正的最小時(shí)間解，而不是一個(gè)近似值，所以該算法的結(jié)果能夠?yàn)槠渌穆窂皆O(shè)計(jì)算法提供一個(gè)絕對(duì)的測量參考。參考文獻(xiàn)[1] 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