【正文】 參考文獻(xiàn)[1] D. E. Whitney, Resolved motion rate control for manipulators and human prostheses, IEEE Trans on ManManchine Systems, vol. MMS10, pp. 4753, June 1969.[2] J. Y. S Luh, M. W. Walker, and R. P. C. Paul, Resolved acceleration control of mechanical manipulators, IEEE Trans on Automatic Control, vol. AC25, no. 3, pp. 468474, June 1980.[3] S. Dubowsky and D. T. DesForges, 39。但是，對(duì)不同的輸入?yún)?shù)也應(yīng)該可能獲得解。在這兩種情況下，算法產(chǎn)生“僅僅丟失”非可行域的軌跡，不管丟失的非可行域部分是一個(gè)孤島還是有較高的速度限制形成的域。但是，如果在計(jì)算中使用略微保守的扭轉(zhuǎn)約束值，那么實(shí)際的可行域就會(huì)略微大于計(jì)算可行域，留出失誤的空間。在這篇文章里，我們展示了一種獲得在提供理想的幾何軌跡和輸入扭轉(zhuǎn)約束力的條件下機(jī)械手運(yùn)動(dòng)最小時(shí)間控制軌跡的方法。這個(gè)算法的最優(yōu)性和一致性的證明實(shí)質(zhì)上與ACOTNF是一樣的，這里不再重復(fù)。這兩個(gè)算法一直是首先尋找速度最高的曲線，因?yàn)榧铀偎阉骺偸菑募铀偾€的末端開(kāi)始，而減速搜索總是從減速曲線的開(kāi)端開(kāi)始。從該點(diǎn)開(kāi)始應(yīng)用加速搜索。否則，沿當(dāng)前的加速曲線回到前一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，重復(fù)這個(gè)過(guò)程。否則，從當(dāng)前的轉(zhuǎn)換點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)行減速搜索。在這一點(diǎn)，當(dāng)前的軌跡到達(dá)一個(gè)減速軌跡。算法包含兩個(gè)過(guò)程，一個(gè)是搜索加速曲線，另一個(gè)搜索減速曲線。如果一個(gè)轉(zhuǎn)向引向了死角，那么就有必要回溯，然后就向右轉(zhuǎn)了。穿越有上面的第三步和第四步產(chǎn)生的軌跡形成的網(wǎng)格是對(duì)曲線圖的一個(gè)搜索，目的是要找到最終的減速軌跡。第五步：從λ=0，μ=μC穿過(guò)網(wǎng)格，這些網(wǎng)格是由從起始點(diǎn)到終點(diǎn)的最高的軌跡形成的。延長(zhǎng)每條軌跡，使它或者離開(kāi)可行域或者通過(guò)λmax.第四步:找到軌跡的所有交點(diǎn)。在每一個(gè)零點(diǎn)，建立一個(gè)以零點(diǎn)為轉(zhuǎn)換點(diǎn)的軌跡，就像ACOTNF的第五步和第六步。（與ACOTNF相同）第二步：建立最終的減速軌跡。合適的軌跡可以通過(guò)搜索結(jié)果曲線圖找到——一直選擇盡可能高的軌跡，有必要的話回溯。因此我們不再在算法過(guò)程中尋找零點(diǎn)，而是一次性的全找出來(lái)。在這種情況下，該算法必須用一種超微不同的形式來(lái)展現(xiàn)。然而從理論上說(shuō)，這個(gè)軌跡是最節(jié)約時(shí)間的。因此軌跡僅僅是沒(méi)有接觸到非可行域。這種產(chǎn)生最優(yōu)軌跡的方法可以在相位平面內(nèi)任何有可行域的情況下工作，而不只是無(wú)摩擦的情況。從（λ，μ’）出發(fā)的加速或者減速軌跡必須要么與可行域的邊界相交，要么比ACOTNF減速軌跡減速快，因此，無(wú)解。新軌跡在該相交點(diǎn)的加速度將大于ACOTNF的軌跡，同樣，這也是不可能的。在第三種情況下，（λ，μ’）在其他的加速軌跡上，在這種情況下，通向（λ，μ’）點(diǎn)的軌跡必須移出可行域的邊界。因?yàn)椋é?，μ’）點(diǎn)在ACOTNF軌跡上，新軌跡必須比擁有最大的減速度的ACOTNF軌跡減速更快才能達(dá)到相同的臨界條件。新軌跡因此就可能達(dá)到合適的臨界條件。在第一種情況下，新軌跡的初始值必須大于ACOTNF的初始值。我們根據(jù)最大原則分析可知解不唯一，即存在數(shù)條最大加減速曲線，所以我們只能應(yīng)用那些不確定的軌跡。由等式（8）可知，必然存在λ使新軌跡上的點(diǎn)（λ，μ’）高于ACOTNF軌跡上的點(diǎn)（λ，μ），即μ’μ。證明：該定理的證明是直接證明。證明完畢。在區(qū)間內(nèi)μ是λ的一個(gè)解，邊界曲線g（ λ ）是特解，?λ也是特解且在每個(gè)區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)或數(shù)個(gè)零點(diǎn)。坐標(biāo)i，j代入式(17b)(用=代替≥)得到曲線，式（17b）中系數(shù)A，B，C，D排除在Mi中的零之外，由于Mi存在零點(diǎn)，考慮用Mi中的零點(diǎn)進(jìn)行區(qū)間分割。如果其中一個(gè)Mi不為零，就不存在邊界曲線，就沒(méi)有零點(diǎn)。一個(gè)在有限區(qū)間內(nèi)沒(méi)有奇點(diǎn)的實(shí)際價(jià)值的解析函數(shù)，一定存在有限個(gè)零點(diǎn)或同一零點(diǎn)，工程量M必須在區(qū)間內(nèi)為零。證明：慣性矩陣，科里奧利陣列，重力加速度在 qi 中分段解，fiλ在λ處的解等等作為λ函數(shù)（就像公式（4a）和(4b)）的分段解或有限的單解。只有間隔的最右面點(diǎn)可能是一個(gè)交換點(diǎn)，因此只有如此有限的間隔會(huì)引起ACOTNF 有限的反復(fù)。非正式地，因?yàn)閼T性矩陣，科里奧利數(shù)列，重力加速度等是全局解析函數(shù)，而且自從路徑被限制之后是分段求解的，我們已經(jīng)處理的所有函數(shù)也是分段求解的，函數(shù)?λ也是分段求解的，于是將會(huì)因此在每個(gè)區(qū)域中產(chǎn)生一個(gè)零點(diǎn)或有限個(gè)零點(diǎn)。證明完畢。這一個(gè)定理的圖解意義在圖 7 說(shuō)明。這意味著g1是λλdi的約束解，和假設(shè)矛盾。兩個(gè)限制參數(shù)記為g1，g2。如果g（ λ ）不連續(xù)，假設(shè)不存在零點(diǎn)，則在g（ λ ）溢出區(qū)間存在一個(gè)或更多的點(diǎn)，符號(hào)變化發(fā)生于這一個(gè)或更多的這些點(diǎn)。定理3a：左導(dǎo)數(shù)使?λ=dμdλdg（λ）dλ，如果?λ10且?λ20，則?λ在區(qū)間[λ1，λ2]至少存在一個(gè)零點(diǎn)。如果 g（λ ）在這一范圍內(nèi)連續(xù)，那么至少存在一個(gè)零點(diǎn)。同樣地，在點(diǎn)λ=λ2 處減速曲線在可行域外經(jīng)過(guò)，軌跡一定穿過(guò)內(nèi)部?；氐阶畛醯膯?wèn)題，步驟6明確可行，但是第4步要求找到函數(shù)的0點(diǎn)。如果曲線離開(kāi)可行域，那么重新計(jì)算第四步。第六步：從λd建立一個(gè)加速曲線，延長(zhǎng)曲線直到它與減速曲線相交或者離開(kāi)可行域。這個(gè)點(diǎn)作為下一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，記為λd。第四步：如果兩條曲線在區(qū)域內(nèi)不相交，那么它們一定離開(kāi)可行域，稱加速度離開(kāi)可行域的點(diǎn)為λ1，這是可行域邊界曲線上的一個(gè)點(diǎn)。第三步：這兩個(gè)曲線交點(diǎn)即轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從λ=0到轉(zhuǎn)折點(diǎn)的第一條曲線和從轉(zhuǎn)折點(diǎn)到λ=λmax的第二條曲線組成運(yùn)動(dòng)的最佳軌跡。第二步：從λ=λmax，μ=μf 轉(zhuǎn)折點(diǎn)建立第二個(gè)曲線軌跡，它是一個(gè)減速曲線。最佳的軌跡能構(gòu)建在叫做構(gòu)建無(wú)摩擦最優(yōu)軌跡運(yùn)算法則（簡(jiǎn)稱ACOTNF）。最佳軌跡確定為了說(shuō)明我們先找出一個(gè)無(wú)摩擦機(jī)械手最優(yōu)軌跡的運(yùn)算法則，運(yùn)算法則包含普通情況，在零磨擦情況，我們有n（n 1)/2 個(gè)關(guān)于μ的解，每一個(gè)解都是關(guān)于μ=0對(duì)稱的。不等式?jīng)Q定的區(qū)間重合處相平面的軌跡不能丟失，這一區(qū)域?qū)?huì)作為i和j不等式最大、最小相位檢測(cè)區(qū)，即對(duì)不等式進(jìn)行變化或除以Mi?Mj左邊是關(guān)于μ的二次方程，如果對(duì)于所有的i，Si≤umaxi成立，則μ=0時(shí)上面的不等式成立，就能從二次方式中得到μ的邊界值。對(duì)于λ的每個(gè)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)由不等式UBi(λ，μ) LBi (λ，μ)≥0決定的μ值。參數(shù)μ有兩個(gè)影響因數(shù)：運(yùn)動(dòng)軌跡的斜率和μ值的大小。但在tf處μtf=M1US0，又M0于是US0，在時(shí)間tf時(shí)H的值為0，則如果p2(tf)≤0，那么Htf0，矛盾，故有p2(tf)0；確定p2(0)的符號(hào)及μ（0）的大小，同理可得μ00 ，則US0，使用繼電器控制于是有U=Umax否則 U=Umin且UminS0，但如果U=Umax則p20，于是p2(0)0.這些理論的一個(gè)重要原則是開(kāi)關(guān)點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，如果開(kāi)關(guān)點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，p2(tf)的符號(hào)將和p2(0)的符號(hào)相同，則sinp2tf=（1）msin( p20)其中m為符號(hào)變化次數(shù)。定理2：如果Umax0S0Umin(0) 則p2(0)0，p2(tf)0 。如果不存在區(qū)間，則最小時(shí)間解是唯一的。證明：p2在區(qū)間[t1，t2]為0，區(qū)間外p2=0，p2=，我們必須使（13a）、（14b）中p1=p1=0。另一方面，如果p2在某些區(qū)間內(nèi)為0，我們有下列的定理。無(wú)論輸入的系數(shù)是否為零以上的推論都成立，即p2在（13a）中不為0。因此μ等于GLB(λ，μ)或LUB(λ，μ)。這里y是矢量（λ，μ，v）的狀態(tài)向量，我們得到一個(gè)簡(jiǎn)單的輸入?yún)^(qū)間 在式（14）中知道H不明確依賴t，也可以看作 是由約束（9）和vtf=0得到。在對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行變化前，先定義函數(shù)：這樣就可以簡(jiǎn)化公式，得到：區(qū)間M表示機(jī)械手功能的二次形式，如果把參數(shù)qi加入到動(dòng)能方程，得到K=Mμ2/2 ；Q表示科里奧利的組成和沿著路勁加上參數(shù)化的地心引力；區(qū)間R表示摩擦力，S給出沿著路勁的地心引力，U表示輸入重力區(qū)間。把這些代入動(dòng)力方程，我們得到如下的最短時(shí)間方程（簡(jiǎn)稱MTPP）。輸入量要求，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器輸入扭矩允許范圍要求（即|ui|≤umaxi）；第三個(gè)參數(shù)是空間參數(shù)設(shè)置，機(jī)械手運(yùn)動(dòng)到達(dá)指定工位不能與如何物體相碰。我們使用最大值原理獲得加工質(zhì)量而不僅僅是獲得方程的解，這個(gè)解將用于之后的最小時(shí)間求解。機(jī)械手控制的目的是以最小的輸入得到最大的動(dòng)力輸出，這可以用最佳控制語(yǔ)言來(lái)描述，常用的方法使龐特里亞金最大值原理[11]。傳統(tǒng)方法把加速度進(jìn)行了過(guò)多的約束，使速度也有過(guò)多的約束。給出的控制不等式：另一種格式：LBi≤u≤UBi，這些參數(shù)由n決定，u滿足：maxLBi≤u≤minUBi 或者GLB(λ，μ)≤u≤LUB(λ，μ) （7e）路徑計(jì)劃要呈現(xiàn)的運(yùn)算法則與之前依照慣例得到方程的不同，可知參數(shù)λ 是笛卡爾的空間的弧長(zhǎng)，μ是速度，μ是幾何加速度。因此把矩陣約束在u上，通過(guò)方程參數(shù)使輸入扭矩/扭力變化的所有位置、速度在路徑上彼此限制，給出初始的(λ，μ）及u的大小，如果知道機(jī)械手關(guān)節(jié)處的輸入扭矩、扭力這樣就能用數(shù)的處理來(lái)代替n個(gè)矢量的處理進(jìn)而得到一系列的約束（路徑狀態(tài)方程）?，F(xiàn)在得到二個(gè)狀態(tài)方程，而最初的n個(gè)方程則由輸入和 μ 約束（關(guān)于這方面將在后面討論）。選擇方程λ=μ和剩余方程序之一為狀態(tài)方程，其他方程作為輸入 μ 的約束。（見(jiàn)［10］為一個(gè)例子）回到之前的問(wèn)題，我們用時(shí)間來(lái)區(qū)分參數(shù)化的qi 得到 其中μ =λ 運(yùn)動(dòng)方程沿著曲線（Le．幾何學(xué)的路徑）變成注意，如果λ表示沿著路徑的弧長(zhǎng)，那么μ和μ分別表示沿著路徑的速度和加速度。一般很難把曲線從笛卡爾坐標(biāo)完全轉(zhuǎn)換到機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)中，相對(duì)地執(zhí)行單個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換卻很容易。事實(shí)上，在關(guān)節(jié)處機(jī)器人手臂必須限制在一個(gè)固定的空間運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)軌跡為給定的參數(shù)化曲線。注意這個(gè)矩陣為對(duì)角矩陣，所有輸入數(shù)值無(wú)負(fù)值?？评飱W利數(shù)列描述了結(jié)合 j 和 k 的速度進(jìn)入Cijk的力。qi=vi (1a)ui=Jijqvj+Rijvj+Cijkqvjvk+Giq (1b)式中 qi=ith 廣義坐標(biāo) vi=ith 廣義速度 ui=ith 廣義力 Jij= 慣性矩陣 Gi = 在 ith 加上重力的力 Cijk= 科氏陣列 Rij= 粘性摩擦矩陣愛(ài)因斯坦求和約束的使用使所有指數(shù)從1到n包含在n自由度機(jī)器人中。拉格朗日雖然計(jì)算效率不高，但確實(shí)產(chǎn)生一組非常適用于機(jī)械手控制問(wèn)題的微分方程式。最常使用的兩種方法是拉格朗日和牛頓、歐拉公式。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與約束在進(jìn)行最短時(shí)間控制問(wèn)題研究前，先考慮對(duì)系統(tǒng)的行為進(jìn)行控制，即機(jī)器人的手臂動(dòng)力學(xué)模型。注意，本文提到的問(wèn)題和解決辦法與參考文獻(xiàn) [8，9] 中的接近最短時(shí)間控制理論不同。為了提高效率，本文提出了一種依據(jù)幾何路徑和輸入扭矩/扭力上的最短時(shí)間機(jī)械手路徑控制解決方案，方案以路徑運(yùn)算法則的方式加入機(jī)械手動(dòng)力學(xué)運(yùn)算。因此為了使邊界約束為有效的恒定值，速度面積法的邊界取值必須是速度和加速度的整體最低值；換句話說(shuō)，對(duì)于最壞情況的限制必須有效。通常假定機(jī)械手的速度和加速度為恒定或按一定規(guī)律變化的（參考文獻(xiàn)[6，7]），并具有一定的區(qū)域邊界約束。效率低下的根源是路徑規(guī)劃，為了提高機(jī)械手的效率，路徑規(guī)劃時(shí)必須了解該機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性，以及準(zhǔn)確的動(dòng)態(tài)模型。使得精密加工得以實(shí)現(xiàn)，例如解析運(yùn)動(dòng)速度控制（參考文獻(xiàn)[1] ） ，突然的加速度控制（參考文獻(xiàn)[2] ）， 及斷續(xù)速度變化控制（參考文獻(xiàn)[3][5] ）。把控制分為兩部分來(lái)分別處理使得整個(gè)控制過(guò)程變得簡(jiǎn)單?？刂破鹘邮丈弦淮斡?jì)算的理想位置值與速度值進(jìn)行路徑位置描述，然后通過(guò)路徑跟蹤系統(tǒng)跟蹤機(jī)械手實(shí)際位置和速度得到運(yùn)動(dòng)偏差。通常路徑控制的定義是企圖實(shí)現(xiàn)讓機(jī)器人的實(shí)際位置和速度匹配理想的位置和速度。這些算法通常劃分為兩個(gè)層次。通常固定成本在生產(chǎn)項(xiàng)目成本中占主導(dǎo)地位，所以人們總希望在給定的時(shí)間中生產(chǎn)盡可能多的產(chǎn)品。
前言在過(guò)去的幾年人們主要關(guān)注于工業(yè)自動(dòng)化技術(shù)，尤其是使用通用機(jī)器人技術(shù)。我們首先采用幾何學(xué)路徑約束引入避免碰撞和操作需求的變量函數(shù)來(lái)描述機(jī)械手動(dòng)力要求，然后將輸入扭矩/扭力的限制參數(shù)轉(zhuǎn)變成這些變量。不幸的是，這種簡(jiǎn)單的劃分方法是以犧牲機(jī)械手的工作效率為代價(jià)的。附件1基于路徑幾何約束的高效機(jī)械手控制算法Kang G. Shin and Neil D. McKayDepartment of Electrical and Computer EngineeringThe University of MichiganAnn Arbor， Michigan 48109摘要：傳統(tǒng)上，機(jī)械手控制運(yùn)算法則被區(qū)分為兩級(jí)，即路徑規(guī)劃和路徑跟蹤（或路徑控制）。在此，我向鄭老師表示最真誠(chéng)的感謝。由于我的機(jī)械專業(yè)知識(shí)有限，實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)更顯空白，所以在設(shè)計(jì)中常常碰到阻礙，是在鄭老師不厭其煩的指教和引導(dǎo)下，我才能順利完成任務(wù)。通過(guò)對(duì)前調(diào)整臂外殼工藝規(guī)程及其專用家具的設(shè)計(jì)，我對(duì)零件的工藝加工、工序設(shè)計(jì)以及夾具設(shè)計(jì)的方法和步驟有了深入的了解，自己感覺(jué)收獲頗豐。參考文獻(xiàn)[1] 崇 凱 機(jī)械制造技術(shù)基礎(chǔ)課程設(shè)計(jì)指南. ，2006[2] 李昌年 機(jī)床夾具設(shè)計(jì)與制造. ，2006 [3] 王先逵 . ，2006[4] 王先逵 . ，2006[5] 王先逵 機(jī)械制造工藝學(xué).