【正文】 , 即對給定的置信度1a, 取da使得 P(|en+1/ht1/2|da/ht1/2)=1a, ()此時en+1/ht1/2~N(0,1), 于是對給定的1a, 可查出da/ht1/2=ca,它是常數(shù), 與數(shù)據(jù)無關(guān), 但是da= caht1/2依賴于數(shù)據(jù)yn, yn1,…ynp+1,這樣一來, 所得到的未來值yn+1的區(qū)間預報為:(a1yn+a2yn1+…+asyns+1 caht1/2, a1yn+a2yn1+…+asyns+1+ caht1/2), ()而且yn+1落入此區(qū)間的概率為1a. 不過, 此區(qū)間是隨已有數(shù)據(jù)而變化的. 顯然, hn+1=s2只是一種特殊情況. 再如前言所述, 條件異方差性具有普適性, 所以說, 用ARCH(或GARCH)模型給出的區(qū)間預報更貼近真實情況, 是對區(qū)間預報的更新和改進.在回歸分析中, 也有區(qū)間預報問題. 當擬合條件異方差模型()()()以后, 也可按上面的方法對區(qū)間預報進行更新和改進. 當條件異方差模型()()ARCH模型, 被GARCH模型代替后, 同樣可得到區(qū)間預報的更新和改進. 只不過程序更復雜, 這里不一一敘述了.. 在風險預測中的應用如前言所述, 條件異方差模型()式, 在平穩(wěn)序列分析中具有普適性. 但是, 在文獻中提出此類模型ARCH和GARCH模型, 是在分析實際數(shù)據(jù)時首創(chuàng)的, 而且是很近代的事. 由于它更貼近真實情況, 又有廣闊的應用背景, 于是迅速成為熱點研究方向. 特別是在金融領(lǐng)域中倍受重視, 尤其是ARCH和GARCH模型在金融風險預測中具有重要的應用背景.先回憶在第二節(jié)中限定討論鞅差序列, 那只是為了敘述方便. 其實在金融領(lǐng)域中此類序列確有實際背景. 因此, 這里繼續(xù)討論鞅差序列, 其條件方差與當前和歷史記錄有關(guān), 一般不是常數(shù). 此小節(jié)要討論如何在金融風險管理中使用ARCH和GARCH模型. 首先指出, 在金融界有一種共識, 即, 收益越大風險也越大. 但是, 多年來缺少量化的描述方法. 近年來, 用ARCH和GARCH模型能給出下一時刻的條件方差值ht, 已被認可為一種刻畫金融風險的量化值. 這一點也可從模型的表達式中看出, 比如ARCH模型()式明白地告訴我們, 當前(yt)和歷史(yt1, yt2,…, ytp)記錄越大, ht的值也越大. 在金融風險管理中, 對風險的預測值也是需要的. 用ARCH和GARCH模型不僅能給出下一時刻值的條件方差值ht, 還可獲得預測值的迭代計算方法. 具體敘述如下.先考查ARCH模型, 利用它的變換形式()式, 即yn2=a0+a1yn12+a2yn22+…+apynp2+ wn, ()這里用n表示當前時刻, 也稱現(xiàn)在時刻. 于是, 下一時刻的條件方差值hn+1為hn+1=E{yn+12|yn,yn1,…}=a0+a1yn2+a2yn12+…+apynp+12. ()記 hn+k|n=E{yn+k2| yn, yn1, …} ()作為hn+k的預測值. 再由()式有hn+k|n=E{yn+k2| yn, yn1, …}=E{a0+a1yn+k12+a2yn+k22+…+apyn+kp2+wn+k|yn,yn1, …}=a0+a1E{yn+k12|yn,yn1, …}+a2E{yn+k22|yn,yn1, …}+…+apE{yn+kp2|yn,yn1, …}+E{wn+k|yn,yn1, …}=a0+a1hn+k1|n+a2hn+k2|n+…+aphn+kp|n , k=2,3,… ()此式就是風險預測值hn+k|n(k1)的迭代計算公式, 其中迭代的初始值hnj+1|n=hnj+1, j=1,…,p, 它們可用()式迭代計算, 它們都是被已知數(shù)據(jù)確定的. 對于GARCH模型, 利用它的變換形式()式, 即yn+k2=a0+(a1+b1)yn+k12+(a2+b2)yn+k22+…+(am+bm)yn+km2b1wn+k1…bqwn+kq+wn+k, ()重復前面類似的推理可得hn+k|n=a0+(a1+b1)hn+k1|n+(a2+b2)hn+k2|n+…+(am+bm)hn+km|nb1E{wn+k1|yn,yn1, …}…bqE{wn+kq|yn,yn1, …}+E{wn+k|yn,yn1, …}, ()其中wn+kj= hn+kj (en+kj2 –1). 記wn+k1|n=E{wn+k1|yn,yn1,…},依()式有wn+k1|n=E{wn+k1|yn,yn1,…}=0, k=2,3,… ()當 –n+2163。k163。1時, wn+k1|n=E{wn+k1|yn,yn1,…}= E{hn+k1 (en+k12 –1)|yn,yn1,…}= E{hn+k1en+k12|yn,yn1,…}E{hn+k1|yn,yn1,…}=yn+k12 hn+k1. (因為n+k1163。n) ()以此代入()式可得hn+k|n=a0+(a1+b1)hn+k1|n+(a2+b2)hn+k2|n+…+(am+bm)hn+km|n,b1wn+k1|n…bqwn+kq|n, k=1,2,… ()當 –n+1163。k163。1時, hn+k|n=hn+k, 而且可用()式迭代計算, 但是, 在迭代計算過程中, 凡遇到h0, h1,…不得不用零值代替,這導致hn+k|n只是一種近似值. 不過, 依平穩(wěn)性條件(見()式)可知, 此近似值的誤差很小, 特別當n較大時更如此. 到目前為止, 為了計算hn+k|n, 需要聯(lián)合使用()()()和()式, 以及數(shù)據(jù)y1, y2,…,yn諸值.通過以上敘述可知, 對ARCH和GARCH模型而言, 其風險預測值hn+k|n(k1)可用迭代方法計算. 這一優(yōu)點也是此類模型所特有的, 后來問世的多種改進模型(見最后一節(jié)), 都不具有如此長處. 這也使人們更加樂于使用ARCH和GARCH模型, 況且, GARCH模型被證明是著名的BS方程抽樣模型.. 在風險分位值中的應用在金融投資中, 人們常用風險型和保守型來區(qū)分投資者, 這有一定的道理. 因為, 在投資過程中, 總是要有風險的, 他們愿意承擔的風險程度會有不同. 對他們而言, 不僅關(guān)心風險預測值hn+1 , 還關(guān)心風險的分位值. 比如說, 有人敢于冒百分之十的破產(chǎn)風險, 他當然關(guān)注在他投資項目中, 出現(xiàn)在百分之十處的風險分位值是多少. 此值對他投資量級有重要參考價值. 此風險分位值被稱為VaR(Value at Risk), 其含義是: P(hn+1ha)=a, ()也就是說, 預測一步風險值超過ha的概率為a. 這里的a是投資者所關(guān)心的高風險水平, 如前述的a=10%, 此值大小因人而異. 又比如, 在證卷市場中, 人們?？疾閥t=logPt1logPt ,其中Pt表示所持證卷在t時刻(或第t期)的價格. 如果以t表示當前時刻, 那么, yt+1就是收益率值, 當它為負值時就意味著虧損. 此時投資者更關(guān)心容忍下限(Tolerance Limit), 它是如下的VaR值, 即VaR(a)=ya, ya滿足 P(yt+1ya| yt, yt1,…)=a. ()在yt 滿足GARCH模型時, 則有P(yt+1ya| yt, yt1,…)= P(yt+1/ht1/2ya/ht1/2| yt, yt1,…) P(uya/ht1/2)= P(uua)= a,這里yt+1/ht1/2~N(0,1), 所以, 對給定的a, 可用u~N(0,1), 由正態(tài)分布表可查得ua值, 于是又可得ya=uaht1/2. 確切地說, 投資者以a概率, 承擔比ya更多的虧損. 5. 實例在這一節(jié)里, 我們介紹兩個實例.例1. 通貨膨脹的異方差分析此例取自Engle(1982)文中, 這是首創(chuàng)性的實例分析, 很富有啟發(fā)性. Engle首先敘述了某些歷史經(jīng)驗.在經(jīng)濟理論中, 人們早已注意到, 經(jīng)濟事件不僅反應在隨機性經(jīng)濟變量的均值變化中, 同時也反應出高階據(jù)的變化. 比如, 在金融理論中, 回報率的均值和方差, 都是由證券市場的決策所確定的. Friedman(1977)論述到, 高通貨膨脹總是和通貨膨脹的高變化相聯(lián)系. 這一認識比前者要深入些. 但是, 要隨時度量通貨膨脹的變化, 對許多研究者來說, 仍然是一個保留性的問題.Khan(1977)使用了對通貨膨脹的差分的絕對值來度量, 與此同時, Klein(1977)使用的是圍繞滑動均值的滑動方差值的方法. 他們的方法都對分布的均值作出了非常簡單的假定, 而此假定與常規(guī)的經(jīng)濟方法不相容合.Engle(1980)對均值函數(shù)使用了常規(guī)的回歸描述, 但是, 回歸的殘差帶有隨機時變的方差, 它是建立在取樣區(qū)間之內(nèi)的統(tǒng)計分析. 這也就是ARCH模型方法. 他還利用美國的通貨膨脹數(shù)據(jù), 將此方法與其它幾種度量通貨膨脹的變化方法作了比較.記pt為季度銷費價格指數(shù), qt=log pt, yt=qtqt1。 wt為季度相對工資增長速率, xt=logwt. 根據(jù)某些經(jīng)驗, 考慮如下模型:yt=b1yt1+ b2yt4+b3yt5+b4(qt1xt1)+ b5+et. ()利用最小二乘法, 根據(jù)英聯(lián)邦的實際數(shù)據(jù)所建立的上式擬合模型, 比較滿意. 為了進一步考查所建立的模型的可信性, 人們還對擬合殘差序列進行相關(guān)性檢驗. Godfrey(1978)的檢驗結(jié)果顯示, 此殘差序列可以看作白聲序列. 請注意, 雖然已認可{et}為白聲序列, 即與鞅差序列相似, 但是, 這并不意味著沒有條件異方差性.于是, Engle又進一步考慮了()式的殘差序列的條件方差模型. 首先考慮一階ARCH模型. 但是, 檢驗未能通過. 最后以四階ARCH模型擬合, , Engle使用了如下的ARCH(4)模型:ht =a0+a1(+++), ()其中, etk2(k=1,2,3,4)的系數(shù), 人為地置于線性遞減, 其遞減性表示離現(xiàn)在時刻越遠, 對條件方差ht值的貢獻越小, 用線性遞減是為了描述簡便, 于是在(), , 它們的和為1。 a0和a1為自由參數(shù), 使用a1是為了保證()式有平穩(wěn)解(當a11時). Engle給出了()式的擬合結(jié)果. 他給出了最小二估計和極大似然估計, 并指出, 前者的標準差要比后者大, 這說明后者優(yōu)于前者.利用模型()式還給出了時變的區(qū)間預報. 由于()式中的{et}滿足ARCH模型()式, 所以, 如果將{et}, 根據(jù)()式給的區(qū)間預報不具有隨機性, 于是, 在真實數(shù)據(jù)中就出現(xiàn)了較多的異常數(shù)據(jù). 當使用模型()式給的區(qū)間預報, 具有時變性, 于是明顯地減少了被認為異常數(shù)據(jù)的比例. (見圖所示) 這充分說明了聯(lián)合了()式的()模型,更貼近真實情況, 由此模型給出的區(qū)間預報, 的確是對僅用模型()給出區(qū)間預報的改進.例2. 人民幣日元匯率分析考查1994年2004年人民幣日元匯率序列xt, 其中t表示第t日, xt表示第t日人民幣日元匯平均記錄值. 記yt=logxtlogxt1.首先對序列l(wèi)ogx1, logx2, …, logxn, 進行平穩(wěn)ARMA模型檢驗, 其結(jié)果顯示, 它們不是平穩(wěn)序列. 進一步分析表明, {yt}可近似看作白噪聲序列. 于是考慮用GARCH模型擬合之.首先嘗試ARCH 模型, 并用AIC準則方法對其階數(shù)進行估計, 其階數(shù)較高, p187。7. 而且, 嘗試低階ARCH模型時,又不能被檢驗通過. 此時嘗試GARCH模型擬合. 由于確定其模型的算法較復雜, 代之以低階嘗試方法, 對GARCH(p,q)模型中的p,q=1,2的四種不同組合, 分別擬合之, 并進行檢驗, 結(jié)果都能通過. 考慮到盡可能地節(jié)省參數(shù), 最后使用了GARCH(1,1)的擬合模型, 其中ht=++. 6. 某些新進展由于GARCH模型有廣闊的應用前景, 所以, 自從問世以后, 近二十多年來, 得到了迅速的發(fā)展, 以上幾節(jié)只是介紹了此模型進展的梗概. 在此最后一節(jié), 我們再概述某些重要的新進展.. 某些改進模型. bGARCH模型從前面敘述GARCH模型的平穩(wěn)性條件來看, 所有人都會感到太苛刻了, 特別當p或q較大時, 每個ai和bj都小得很, 實用受限制. 于是有如下模型出現(xiàn), 即將()式改為ht=a0+a1|yt1|2b+a2|yt2|2b+…+ap|yt1|2b, () a00, ai179。0, i=1,2,…,p.其中0b163。1, 當 b=1時就是ARCH模型, 當 b1時, 為bARCH模型, 它不需要()式的條件, 也有平穩(wěn)解. 同理可推廣出 bGARCH模型. 使用此模型時, b值也需要估計, 此估計帶來較多的麻煩. . 指數(shù)GARCH模型:以上bARCH模型克服了()式條件限制太強的缺點. 但是, 約束條件 a00, ai179。0, 仍是不可少的, 這些條件會導致參數(shù)估計算法的復雜性. 于是, 有人提出對log(ht)建立模型. 比如log(ht)= a0+a1log(ht1)+a2log(ht2)+…+aplog(htp)+et, ()這里{et}, 且Eet=0. 此模型有平穩(wěn)解的條件與熟知的AR(p)模型有平穩(wěn)解的條件相同. 它比()式寬松. 記()式的解為ut, 則h