【正文】 近似等于式 ()的估計值，所以式 ()也稱為均值方程。 在 這個模型中 ， 變量 ty 的 無條件方差是固 定的，但是其條件方差 卻 不一定 ? ? ? ? 2 21 1 0 1 1 1v a r |t t t t t k k t t ty Y E y x x E u? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? () 其中： ? ?1var |ttyY? 表示 基于 （ 1t? ） 時刻 的信息集合 1tY? 的 ty 的 條件方差，出現(xiàn)這種情況的原因可能是因為誤差項存在自回歸結構。 ARCH（ p）過程的標準 形式為 ： 2 2 2 20 1 1 2 2t t t p t p tu u u u? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? () 其中： t? 是 白噪聲過程 ， 滿足 ： ? ?? ? 20,0,ttEtEt????????? ?? ??? () 擾動項 tu 的條件 分布就是 以 0 為 均值， 以 2 2 2 20 1 1 2 2t t t p t pu u u? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?為 方差的條件分布 。 2. GARCH（ p,q）模型 ARCH 模型雖然也能刻畫條件方差時變性，但是只有當階數(shù)足夠高時才有較滿意的擬合效果，但是階數(shù)很高時又增加了參數(shù)估計的難度，而 GARCH 模型是 ARCH 無窮階，是一個長記憶過程，可用一個較簡單的 GARCH 模型來代表一個高階 ARCH 模型，這樣待估的參數(shù)個數(shù) 大大減少，從而解決了 ARCH 模型中參數(shù)估計難的問題。即使是低階 GARCH（ 1,1）的情形，仍然有較好的擬合效果，從而得到了廣泛的應用。 在 GARCH 模型中，要考慮兩個不同的設定：一個是條件均值，另一個是條件方差。標準的 GARCH（ p,q）模型為 2 2 2 2 21 1 1 1, 1 , 2 , ,t t tt t t p t t t q t qy X u t Tu?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? () 其中， Xt 是 ? ?1 k 1??維外生變量， ? 是 ? ?k 1 1?? 維系數(shù)向量。 GARCH（ p,q）的模型的一般表達式可寫成 2 2 211ttpqt i t i j t jtjr ??? ? ? ? ? ???????? ? ??? () 其中， ? 為收益率序列期望， t? 為殘差； 2t? 為 t? 的條件方差； ? 為常數(shù)， i? 為楊川陵：基于 GARCH 和 VaR 的證券投資基金市場風險模型 18 滯后參數(shù)； j? 為方差參數(shù)，111qpijij????????保證該過程的平穩(wěn)性。 特別地，當 p=1， q=1， GARCH（ 1,1） 模型可以表示為 2 2 21 1 1 1ttt t tr ??? ? ? ? ? ?????? ? ? () GARCH（ p,q）模型等價于 ARCH（ q）模型在 q 趨于無窮時的情況，但明顯明顯待估參數(shù)大為減少。既能保留正態(tài)分布的特點，又能更好地對對數(shù)收益率進行模擬。GARCH 模型能反映金融市場收益率時變和有效捕捉資產(chǎn)收益率波動的聚類和異方差現(xiàn)象。 描述厚尾特征的 GED 分布與 t 分布密 度函數(shù) 運用 GARCH 模型時需要考慮殘差序列 ??t? 的特征，通常假定其條件分布為標準正態(tài)分布，但由于收益率序列通常具有厚尾特征，該假定會導致金融資產(chǎn)風險的估計出現(xiàn)較大的誤差。如果假設殘設差的條件分布服從 t 分布和廣義誤差分布 (GED),則可以描述收益率序列的厚尾特征 , t分布和 GED分布的密度函數(shù)分別為 : ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?1 / 221 / 21 / 2,1/2vv xf x vvvv??????? ????????? ???? () ? ? ? ?? ? ? ?? ?/21 / 2V3 / 23 / 3 /, e xp | X | 1/2 1 /vv v vf x v vv ?????????? ???? ???? () 其中， x??? ?? ， 0v? ， v 為常數(shù)，可以視 t 分布或 GED 分布的自由度， ???? 為伽瑪函數(shù)。 t 分布的尾部要比標準正態(tài)分布肥大、峰要比正態(tài)分布尖，當自由度 v 趨于無窮大時 , t分布的概率密度函數(shù)就等于標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。當 2v? 時 , GED分布是正態(tài)分布；當 2v? 時 ， GED 分布尾部比正態(tài)分布更??；當 2v? ， GED 分布尾部比正態(tài)分布更厚、峰要比正態(tài)分布更尖。 基于 GARCH 模型的 VaR 計算 建立 GARCH 模型 在殘差序列 ??t? 服從正態(tài)分布、 t 分布和廣義誤差分布（ GED）的三種分布假設 下，根據(jù) AIC 準則與模型最簡化準則，我們實際使用的模型為 GARCH（ 1， 1），分別構建 GARCHN 分布模型， GARCHt 分布模型和 GARCHGED分布模型。 2022 屆信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)設計（論文） 19 ? ?GARCH 1,1 N模型 ? ?212 2 21 1 1 1| ~ 0 ,ttt t t t t tt t trx I N??? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ? ? () 其中 ? ?21| ~ 0,t t tIN???表示 t? 的條件分布服從均值為 0，方差為 2t? 的正態(tài)分布。 ? ?GARCH 1,1 t模型 ? ?212 2 21 1 1 1| ~ 0 , ,ttt t t t t tt t trx I t v??? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ? ? () 其中 ? ?21| ~ 0, ,t t tI t v???表示 t? 的條件分布服從均值為 0，自由度為 v ，方差為 2t? 的 t 分布。 ? ?G A RC H 1,1 G E D模型 ? ?212 2 21 1 1 1| ~ 0 , ,ttt t t t t tt t trx I G ED v??? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ? ? () 其中 ? ?21| ~ 0 , ,t t tI G E D v??? t?的條件分布服從均值為 0，自由度為 v ，方差為 2t? 的 GED分 布 。 方差方程中各項系數(shù)均 為 非負，以保證方差為正，從而能描述市場的聚類現(xiàn)象。 tx 為獨立同分布的隨機變量 ， 1tI? 是 1t? 時期初可獲得信息集。 GARCH—VaR 的計算步驟 由于 GARCH 模型具有良好的處理波動聚集和尖峰厚尾特性的能力，將其與 VaR方法結合起來，就能得到更為準確的 VaR 值，對于證券投資基金的度量和預測也就更加符合實際結果。下面給出 VaR—GARCH 模型 計算 的具體步驟。 Step1： 運 用 ? ?GARCH 1,1 N分布模型、 ? ?GARCH 1,1 t分布模型 ? ?G A RC H 1,1 G E D 分布模型對每只基金收益率進行擬合，得到每只基金收益率的均值 ? ，模型參數(shù)值以及 t 分布和 GED 分布的自由度。 Step2： 利用 的 GARCH 方差序列生成功能生成條件方差 2t? ，對其取 平方根得到條件方差標準差 t? 。 Step3： 運用 MATLAB2022b 的逆累積分布函數(shù)值的計算功能和數(shù)值積分功能，分 別計算出不同自由度的 t 分布和 GED 分布的分位數(shù)。把均值 ? ，條件方差標準差 t? 和95%置信水平（或 99%置信水平）下三種分布的分位數(shù)代入公式 楊川陵：基于 GARCH 和 VaR 的證券投資基金市場風險模型 20 ? ?1ttVa R u F???? ? ? () 其中， ? 是 基金收益率均值 ， t? 是根據(jù)不同分布假設下的 GARCH 模型所產(chǎn)生的條件方差序列而得到的標準差序列， ? ?1F ?? 是所設定分布的分布函數(shù)在置信 水平為 ? 下 的 分位數(shù) 。 下面就 VaR—GARCH 模型在實證中的 具體 運用 給出計算流程圖。 見圖 32。 建立 G A R C H 模型收益率序列正態(tài)性檢驗A D F 檢驗（ 平穩(wěn)性檢驗 ）自相關檢驗確定變量滯后階階數(shù)不能用于建模均值方程的初步估計A R C H 效應檢驗平穩(wěn)非平穩(wěn)不存在建立 G A R C H模型存在確診 G A R C H 模型基于 G A R C H 模型 V a R 計算均值 、 模型參數(shù) 、 自由度 、 條件方差標準差由自由度求出下分位數(shù)計算出 V a R返回檢驗結論R t V a R 圖 32 VaR—GARCH 計算流程圖 VaR 的返回檢驗 VaR 是一個近似的估計值，它的準確程度取決于受估計模型，所以要對不同的模型所估計出的結果進行返回檢驗。，這就是對模型的后檢測試，后檢測試最常用的是Kupiec 提出 的失敗檢驗法 [21]。 該方法 是考察 實際 損失 超過 VaR 的 概率， 把實際損失 超過 VaR 的估計 記為失敗 ， 把實際 損失低于 VaR 的估計 記為成功 。 失敗頻率檢驗法是通過比較實際損失超過 VaR 的頻率與一定置信水平下的上限值是否接近或相等，來判斷VaR模型的有效性。如果模型有效，則模擬的失敗率應等于預先設定的 VaR置信度 1c? ，如果失敗率與 1c? 相差較大，表明模型不適合。假定置信水平為 c ，置信度為 1c? ，實際考察天數(shù)為 T ，失敗天數(shù)為 N 。其中 的失敗天數(shù)是指在考察期內， 實際損失超過 VaR估計 的 個數(shù)。 失敗 天數(shù)的計算： 110n tTTt tV a R rN N N V a R r????? ? ??? () tr 為 第 t 期 的實際損益值，在 對 證券投資基金 實證分析中， tr 用 對數(shù)收益率來表示。 2022 屆信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)設計（論文） 21 則失敗頻率記為 ? ?p= /NT ，這樣失敗頻率就服從一個二項式分布，期望概率為 p? ，設零假設為 0 :H p p?? ； 備選假設為 1 :H p p?? ，檢驗失敗頻率是否拒絕零假設， Kupiec提出了采用似然比率檢驗法對零假設檢驗，似然比方程為： 2 l n[ ( 1 p) p ] 2 l n[ ( 1 p ) p ]T N N T N NLR ? ? ?? ? ? ? () 上式在零假設條件下，統(tǒng)計量 LR 服從自由度為 1 的 2? 分布。當 LR 大于臨界值時拒絕原假設。 Kupiec（ 1995） 通過 表 31 給出 了 這種檢驗 方法的置信 域。 表 31 VaR 模型驗證的非拒絕域 概率水平 p 失敗次數(shù) N 的非拒絕域 T =255 天 T =510 天 T =1000 天 7N? 1 11N?? 4 17N?? 2 12N?? 6 21N?? 15 36N?? 6 21N?? 16 36N?? 37 65N?? 11 28N?? 27 51N?? 59 92N?? 16 36N?? 38 65N?? 81 120N?? 表中，對于一年的數(shù)據(jù)（ 255T? ）， 95%的置信度下，預期觀測到的失敗個數(shù)應為* 5% 255 13N p T? ? ? ?天。但是只要 N 在區(qū) 間（ 6,21）內，則不能拒絕零假設。 21N?表明 VaR 模型低估了損失發(fā)生的概率； 6N? 表明 VaR 模型過于保守。楊川陵：基于 GARCH 和 VaR 的證券投資基金市場風險模型 22 第 4章 GARCH—VaR 實證研究 樣本及 數(shù)據(jù)選取 本文隨機選取 10 只股票型開放式基金的單位凈值作為研究對象，它們分別是華安創(chuàng)新（ 040001）、博時精選（ 050004）、易方達策略成長（ 110002）、南方高增長（ 160106）、長城久泰滬深 300（ 202202）、南方穩(wěn)健成長（ 202022）、金鷹優(yōu)選（ 210001）、德盛精選（ 257020）、華夏收入（ 288002）、萬家 180（ 519180）。時間范圍從 2022 年 4 月 15日到 2022 年 4 月 15 日，每個序列共計 972 天數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源于和訊網(wǎng)（ 去很多專家學者的研究中 ,股票型的開放式基金是風險最大的一種開基類型，其研究結果更具有實際意義。（括號里的數(shù)字為每支基金的代碼） 基金的日收益率（單期對數(shù)回報）由下面的方法計算： ? ?1ln /t t tr N AV N AV ?? ，其中 tr 為基金在 t 日的收益率， tNAV 為第 t 日的基金凈資產(chǎn)。沒有特別說明時，檢驗均是在顯著性水平 ?? 下進行，即置信度為 95%。本文所有數(shù)據(jù)的處理、計算均由， Excel 軟件和 MATLAB 編程完成。