概率論習(xí)題冊答案解析我國地質(zhì)大學(xué)武漢-資料下載頁
2025-06-24 21:10本頁面
【正文】 的任一層出電梯，且出電梯與否相互獨(dú)立，同時在2~10層中沒有人上電梯。又知電梯只有在有人要出電梯時才停，求該電梯停的總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解：由題設(shè)，每人在第i層下電梯的概率均為，設(shè)表示第k人在第i層下電梯，則有，又設(shè)，則因此，電梯停的總次數(shù)為， 。10. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 已知: E（X）=, D（X）=, 求系數(shù)a、b、c。解：由密度函數(shù)性質(zhì)及已給條件，知有，， ， ，三個方程，三個變量，解之可得：。11. 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從，設(shè)，求。解：設(shè)，則，由于X與Y相互獨(dú)立，則有而，則有。因此。四、證明題 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，試證明．證明： ，因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以有，又 ，從而有 。167。 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)167。 原點(diǎn)矩與中心矩.三、計(jì)算下列各題1. 若隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布, 求隨機(jī)變量,的相關(guān)系數(shù)。解 。2. 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 , 求：（1）系數(shù),（3）協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)。解 ；3. ：（1）；（2）的協(xié)方差，并問是否不相關(guān)；（3）問是否獨(dú)立？為什么？解：（1）， （2） （3）對于任意實(shí)數(shù)，有4. 設(shè)隨機(jī)變量()的概率密度為, 求的相關(guān)系數(shù)。 。5. 設(shè)隨機(jī)變量服從[]上的均勻分布，令，求。解 10111/81/81/801/801/811/8ab問a,b取何值時，不相關(guān)？此時是否獨(dú)立？解 （1） ， ， ，若不相關(guān)，則（2）。7. 已知隨機(jī)變量X與Y分別服從正態(tài)分布, 且X與Y的相關(guān)系數(shù)．設(shè)， 求（１）的數(shù)學(xué)期望和方差；（２）X與的相關(guān)系數(shù)；（３）問X與是否相互獨(dú)立？為什么？解：(1) ， ， 由于X與Y分別服從正態(tài)分布，所以也服從正態(tài)分布；(2) 因?yàn)?，注意到，且，所? ，由協(xié)方差定義：；(3)由于X與均服從正態(tài)分布，故“相關(guān)系數(shù)為零”等價于“相互獨(dú)立”，因此X與相互獨(dú)立。8. 設(shè)，=，=，=，求和。解：； 。9. 若隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立同分布，均服從，令，（為不相等的常數(shù)），求隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)，并說明當(dāng)滿足什么條件時，不相關(guān)。解：（1）依題意，有 ，且．因?yàn)椤 ?，而 ， ?。 。煞讲罟娇汕蟪觥 ?， 同理可得 ，所以?。帧 ?，同理有，綜合上述結(jié)果，可得 （2）若不相關(guān)，則，因此，又，則時不相關(guān)。四、證明題 設(shè)是隨機(jī)變量，其中為常數(shù)，：第五章 大數(shù)定律與中心極限定理167。 大數(shù)定律 167。 中心極限定理三、計(jì)算題1. ：在1000次實(shí)驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次數(shù)在400與600范圍內(nèi)？解： 設(shè)表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，則 ，由切比雪夫不等式有：在1000次實(shí)驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次數(shù)在400與600范圍內(nèi).2. 將一顆骰子連續(xù)擲四次，其點(diǎn)數(shù)之和記為，估計(jì)概率。解：設(shè)為擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則其分布律為：，所以 ，；依題意 ，所以.3. 設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 且服從參數(shù)的泊松分布,記，利用中心極限定理，求。解：.4．設(shè)某部件由10個部分組成，每部分的長度為隨機(jī)變量，相互獨(dú)立同分布，毫米，毫米，若規(guī)定總長度為（20177。1）毫米是合格產(chǎn)品，求產(chǎn)品合格的概率。解：設(shè)總長度為，則 ，由林德貝格—列維中心極限定理，知 ，所以合格的概率為： .5．有100道單項(xiàng)選擇題，每個題中有4個備選答案，且其中只有一個答案是正確的，規(guī)定選擇正確得1分，選擇錯誤得0分，假設(shè)無知者對于每一個題都是從4個備選答案中隨機(jī)地選答，并且沒有不選的情況，計(jì)算他能夠超過35分的概率。解：設(shè)為選擇第題所得到的分?jǐn)?shù)，由題設(shè)，服從分布，另設(shè)總得分為，則，且，由德莫弗–拉普拉斯定理，查正態(tài)分布表可得.6.（1）一個復(fù)雜系統(tǒng)由100個相互獨(dú)立的元件組成，又知系統(tǒng)運(yùn)行至少需要85個元件正常工作，求系統(tǒng)可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系統(tǒng)假如由個相互獨(dú)立的元件組成，至少80%的元件正常工作，才能使系統(tǒng)正常運(yùn)行，？解：（1）設(shè)為系統(tǒng)中正常運(yùn)行完好的元件數(shù)， 則，由德莫弗—拉普拉斯定理，.（2）已知 ，求滿足條件的，其中 ，同（1）解法， ，查正態(tài)分布表可得：，取即可.7. 某保險公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20 %，以表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)。（1） 寫出的概率分布；（2） 用德莫弗–拉普拉斯定理，求被盜索賠戶不少于14戶不多于30戶的概率的近似值.解：（1）服從二項(xiàng)分布，參數(shù)：，即，其概率分布為 ； （2）， 根據(jù)德莫弗–拉普拉斯定理 .8．某運(yùn)輸公司有500輛汽車參加保險，參加保險的汽車每年交保險費(fèi)800元，若出事故保險公司最多賠償50 000元，試?yán)弥行臉O限定理計(jì)算，保險公司1年賺錢不小于200 000元的概率。解：設(shè)為500輛參加保險的汽車中出事故的車輛數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，由題設(shè)，保險公司1年的收益為 ，故保險公司1年賺錢不小于200 000元的概率為 ，從而由德莫弗－拉普拉斯定理 .9．某工廠生產(chǎn)的燈泡的平均壽命為2000小時，改進(jìn)工藝后，平均壽命提高到2250小時，特規(guī)定：任意抽取若干只燈泡，若平均壽命超過2200小時，問至少應(yīng)抽檢多少只燈泡？解：設(shè)為改進(jìn)后的燈泡的壽命，由題設(shè)，又設(shè)為使檢驗(yàn)通過所需抽取的燈泡數(shù)，依題意可建立如下不等式 ，或 ，由林德貝格—列維中心極限定理知，查表可得如下不等式，即需隨機(jī)抽取189只燈泡進(jìn)行壽命檢驗(yàn)，測得的平均壽命才能以95%的概率保證超過2200小時.10．設(shè)隨機(jī)變量序列要互獨(dú)立同分布，且，求。解：設(shè)，由題設(shè)，從而，即 ，由切比雪夫大數(shù)定律，知對，有.11．設(shè)隨機(jī)變量序列滿足條件，證明。證明：因?yàn)?，所以由切比雪夫不等式可? 從而有 .
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