【正文】 的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形 【解析】【解答】解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF= AE．理由：∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90176。，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF= AE．故答案為AF= AE．【分析】（1）如圖①中，結(jié)論：AF= AE，只要證明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如圖②中，結(jié)論：AF= AE，連接EF，DF交BC于K，先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF= AE，連接EF，延長FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA，再證明△AEF是等腰直角三角形即可．本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點，屬于中考常考題型． 1【答案】（1）解：如圖1中，作CM⊥OA垂足為M，∵∠AOB=∠BAC=90176。，∴∠BAO+∠CAM=90176。，∠BAO+∠ABO=90176。，∴∠ABO=∠CAM，在△ABO和△CAM中，∴△ABO≌△CAM，∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO﹣AM=2，∴點C坐標(biāo)（4，2）（2）證明：如圖2，延長CE，BA相交于點F，∵∠EBF+∠F=90176。，∠ACF+∠F=90176。，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中 ，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，在△BCE和△BFE中， ，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∴CE= BD（3）解：結(jié)論：點Q恒在射線BD上，理由如下：如圖3中作QE⊥PF，QG⊥FC，QH⊥PC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分別為E、G、H、M、N．在四邊形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90176。，∴∠MQN=180176。﹣∠ABC=135176。，同理可證：∠HQG=135176。，∴∠MQN=∠HQG，∴∠MQH=∠GQN，∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QH⊥PC，QG⊥FC，∴QE=QH=QG，∠QPH= ∠CPF=176。，∵∠PMQ=∠PHQ=90176。，∴M、H、Q、P四點共圓，∴∠HMP=∠HPQ=176。，同理∠QNG=176。，∴∠FMQ=∠QNG，在△MHQ和△NGQ中，∴△MHQ≌△NGQ，∴QM=QN，∵QM⊥BP，QN⊥BC，∴BQ平分∠ABC，∴點Q恒在射線BD上 【考點】全等三角形的性質(zhì) 【解析】【分析】（1）要求點C坐標(biāo)，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性質(zhì)求出OM、CM即可；（2）延長CE、BA相交于點F．可以證明Rt△ABD≌Rt△ACF，再證明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出結(jié)論；（3）點Q是否恒在射線BD上，只要證明QM=QN，只要證明△M，HQ≌△NGQ即可． 1【答案】（1）解：①全等，理由如下： ∵t=1秒，∴BP=CQ=11=1厘米，∵AB=6cm，點D為AB的中點，∴BD=3cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，∴PC=4﹣1=3cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP；②假設(shè)△BPD≌△CQP，∵vP≠vQ ， ∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，則BP=CP=2，BD=CQ=3，∴點P，點Q運動的時間t= =2秒，∴vQ= = =（2）24秒；AC 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇， 由題意，得 =x+26，解得x=24，∴點P共運動了24s1cm/s=24cm．∵24=212，∴點P、點Q在AC邊上相遇，∴經(jīng)過24秒點P與點Q第一次在邊AC上相遇．【分析】（1）①根據(jù)時間和速度分別求得兩個三角形中BP、CQ和BD、PC邊的長，根據(jù)SAS判定兩個三角形全等．②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點P多走等腰三角形的兩個邊長． 1【答案】（1）垂直；相等（2）45176。 【考點】全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定 【解析】【解答】解：（1）①CF與BD位置關(guān)系是垂直，數(shù)量關(guān)系是相等，理由是：如圖2，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90176。，∴∠DAC+∠CAF=90176。，∵AB=AC，∠BAC=90176。，∴∠BAD+∠DAC=90176。，且∠B=∠ACB=45176。，∴∠CAF=∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∠B=∠ACF=45176。，∴∠ACB+∠ACF=45176。+45176。=90176。，即∠BCF=90176。，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；故答案為：垂直，相等；②當(dāng)點D在BC的延長線上時，①的結(jié)論仍成立，理由是：如圖3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90176。，∵∠BAC=90176。，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，∵∠BAC=90176。，AB=AC，∴∠ABC=45176。，∴∠ACF=∠ABC=45176?！唷螧CF=∠ACB+∠ACF=90176。，即CF⊥BD；（2）當(dāng)∠BCA=45176。時，CF⊥BD，理由是：如圖4，過點A作AQ⊥AC，交BC于點Q，∵∠BCA=45176。，∴∠AQC=45176。，∴∠AQC=∠BCA，∴AC=AQ，∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90176。，∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠QAD=∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AQD=45176。，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90176。，即CF⊥BD．【分析】（1）①證明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45176。，則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90176。，所以BD與CF相等且垂直；②①的結(jié)論仍成立，同理證明△DAB≌△FAC，可得結(jié)論：垂直且相等；（2）當(dāng)∠ACB滿足45176。時，CF⊥BC；如圖4，作輔助線，證明△QAD≌△CAF，即可得出結(jié)論． 1【答案】（1）證明：如圖1， ∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵點M為DE的中點，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∴ ．∴△ADM≌△NEM．∴AM=MN．∴M為AN的中點（2）證明：如圖2， ∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45176。．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180176。．∵∠DAE=90176。，∴∠NEA=90176。．∴∠NEC=135176。．∵A，B，E三點在同一直線上，∴∠ABC=180176。﹣∠CBE=135176。．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90176。．∴△ACN為等腰直角三角形（3）△ACN仍為等腰直角三角形． 證明：如圖3，延長AB交NE于點F，∵AD∥NE，M為中點，∴易得△ADM≌△NEM，∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．∵AD∥NE，∴AF⊥NE，在四邊形BCEF中，∵∠BCE=∠BFE=90176?！唷螰BC+∠FEC=360176。﹣180176。=180176?！摺螰BC+∠ABC=180176?！唷螦BC=∠FEC在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90176。．∴△ACN為等腰直角三角形． 【考點】平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，多邊形內(nèi)角與外角，等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）由EN∥AD和點M為DE的中點可以證到△ADM≌△NEM，從而證到M為AN的中點．（2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135176。，從而可以證到△ABC≌△NEC，進而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90176。，則有△ACN為等腰直角三角形．（3）延長AB交NE于點F，易得△ADM≌△NEM，根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和，可得∠ABC=∠FEC，從而可以證到△ABC≌△NEC，進而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90176。，則有△ACN為等腰直角三角形． 1【答案】（1）證明：如圖1， ∵AF平分∠CAE，∴∠EAF=∠CAF，∵AB=AC，AB=AE，∴AE=AC，在△ACF和△AEF中，∴△ACF≌△AEF（SAS），∴∠E=∠ACF，∵AB=AE，∴∠E=∠ABE，∴∠ABE=∠ACF（2）證明：在FB上截取BM=CF，連接AM，如圖2， ∵△ACF≌△AEF，∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，在△ABM和△ACF中，∴△ABM≌△ACF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，∵AB=AC，∠ABC=60176。，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60176。，∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60176。，∵AM=AF，∴△AMF為等邊三角形，∴AF=AM=MF，∴AF+EF=BM+MF=FB，即AF+EF=FB（3）證明：①線段AF、EF、FB不是（2）中的結(jié)論，線段AF、EF、FB的數(shù)量關(guān)系為 AF+EF=FB，理由如下： 在FB上截取BM=CF，連接AM，如圖3，∵△ACF≌△AEF，∴EF=CF=BM，∠E=∠ACF=∠ABM，在△ABM和△ACF中，∴△ABM≌△ACF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，∵AB=AC，∠ABC=45176。，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90176。，∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=90176。，∵AM=AF，∴△AMF為等腰直角三角形，∴MF= AF，∴FB=BM+MF=EF+ AF，即 AF+EF=FB；②如圖4，在CF上截取CG=BF，連接AG，在△AFE和△AFC中，∴△AFE≌△AFC（SAS），∴FE=FC，∠FEA=∠FCA，∵AB=AE，∴∠ABF=∠AEF=∠ACF，在△ABF和△ACG中，∴△ABF≌△ACG（SAS），∴AG=AF，∠FAB=∠GAC，∵AB=AC，∠ABC=45176。，∴∠BAC=90176。，∴FAG=90176。，∴△AFG是等腰直角三角形，∴FG= AF，∵CF=CG+GF，∴CF=BF+ AF，∴EF=BF+ AF 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì) 【解析】【分析】（1）證△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠E=∠ABE，即可得出答案；（2）在FB上截取BM=CF，連接AM，證△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等邊三角形，推出MF=AF，即可得出答案；（3）①在FB上截取BM=CF，連接AM，證△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等腰直角三角形，推出MF= AF，即可得出答案； ②只需在CF上截取CG=BF，先證△AFE≌△AFC，得出CF=EF，再證△ABF≌△ACG，得出△AFG是等腰直角三角形，然后結(jié)論顯然． 1【答案】（1）解：如圖1，過點E作EH⊥OA于點H，EF與y軸的交點為M．∵OE=OA，α=60176。，∴△AEO為正三角形，∴OH=3，EH= =3 ．∴E（﹣3，3 ）．∵∠AOM=90176。，∴∠EOM=30176。．在Rt△EOM中，∵cos∠EOM= ，即 = ，∴OM=4 ．∴M（0，4 ）．設(shè)直線EF的函數(shù)表達式為y=kx+4 ，∵該直線過點E（﹣3，3 ），∴﹣3k+4 =3 ，解得k= ，所以，直線EF的函數(shù)表達式為y= x+4 （2）解：如圖2，射線OQ與OA的夾角為α（ α為銳角，tanα ）．無論正方形邊長為多少，繞點O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方形OEFG的頂點E在射線OQ上，∴當(dāng)AE⊥OQ時，線段AE的長最小．在Rt△AOE中，設(shè)AE=a，則OE=2a，∴a2+（2a）2=62 ， 解得a1= ，a2=﹣ （舍去），∴OE=2a= ， ∴S正方形OEFG=OE2=（3）解