111-位移分量與應變分量-幾何方程-資料下載頁
2025-06-24 18:38本頁面
【正文】 是或?qū)懽? 同理討論w y和w z 的單值連續(xù)條件可得出類似的四個公式。將單值連續(xù)的w x,w y和w z 代入位移計算公式，則可得到單值連續(xù)的位移u，v，w。 由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件。如果彈性體中的一條封閉曲線，若收縮至一點必須越出域外，則為:多連通域物體。 一個多連通域物體，可用若干個截面將物體部分的截開，使之成為單連通域。如果所需的截面數(shù)為n，則物體為n+1連域。 平面為有兩個環(huán)形孔的物體，兩個截面即可使其成為單連通域，所以為三連域。 對于多連通域問題，應變滿足變形協(xié)調(diào)方程并不能確保位移在分割后的單連通域內(nèi)單值連續(xù)。因為當位移分別從截面兩側(cè)趨近于截面上的某一點時，一般的說其將趨于不同的值。 分別用u+，v+，w+和u，v，w表示截面兩側(cè)的位移，則多連通域的位移單值連續(xù)條件還需要 補充條件， u+=u， v+=v， w+=w 因此，對于多連通域問題，應變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)的必要條件，只有加上上述補充條件后，條件才是充分的。第十六節(jié) 彈性應變能函數(shù)
彈性體受外力作用后，不可避免地要產(chǎn)生變形，同時外力的勢能也要發(fā)生變化。當外力緩慢地(不致引起物體產(chǎn)生加速運動)加到物體上時，視作靜力，便可略而不計系統(tǒng)的動能，同時也略去其他能量(如熱能等)的消耗，則外力勢能的變化就全部轉(zhuǎn)化為應變能(一種勢能)儲存于物體的內(nèi)部。我們給出單位體積應變能的表達式。為此，以作用在微小單元ABCD兩對邊為例來說明()。 由圖可知，作用在ABCD單元上的外力為AD與CB邊的。而在AD邊單位應變上所做的功為,在CB邊單位應變上所做的功為。所以，外力在ABCD變形上所做的總功為 ()而y方向雖有變形，但沒有外力作用，所以沒有做功。上述所做的功，將全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的應變能。如令總應變能為U，則應有 ()此處，U。為單位體積的應變能 () 上述討論，不難推廣到一般情況，即物體的總應變能為 ()其中 ()或簡寫為 ()在上式中引入廣義胡克定律可得 ()及 ()由上式看出，U。恒為正。 由式()、()可知下式成立 () 及 () 此處分別為用應力分量及應變分量表示的單位體積應變能(應變能密度)，統(tǒng)稱為應變能函數(shù)。對于理想彈性體，則在每一確定的應變狀態(tài)下，都具有確定的應變能。應變能函數(shù)是正定的勢函數(shù)，所以彈性變形能又叫彈性勢。式(), ()表示，彈性應變能對任一應變分量的改變率等于相應的應力分量；而彈性應變能對任一應力分量的改變率，就等于相應的應變分量。 前已敘及，物體的變形可以分解為兩部分，一部分為體積的變化，一部分為形狀的變化。因而應變能也應可以分解為相應的兩部分。容易理解，引起體積變化的各向同性的平均正應力(稱為靜水應力)為，而與之相應的平均正應變?yōu)?，就是說，下列應力狀態(tài)不引起微小單元體的形狀改變： 因而，由于體積變化所儲存在單位體積內(nèi)的應變能(簡稱為體變能)為 () 引起形狀改變的應力狀態(tài)為應力偏量
如令由于形狀變化所儲存在單位體積內(nèi)的應變能(簡稱為畸變能)為 ()此處，為應力偏量，為應變偏量。為簡便計，我們給出用主應力表示的的表達式， ()從而總應變能密度為 ()由上式看出，系統(tǒng)的總應變能密度與坐標的選擇無關，U。是一個不變量。18
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