【正文】 ．解：設(shè)該二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函數(shù)圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－2x2＋12x－8．通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點式、交點式來求二次函數(shù)的表達式？ 練 習(xí)1．選擇題:（1）函數(shù)y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點個數(shù)是 （ ） （A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）無法確定 （2）函數(shù)y＝－(x＋1)2＋2的頂點坐標是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(－1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a (a≠0) ．（2）二次函數(shù)y＝－x2+2x＋1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為 ．3．根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式．（1）圖象經(jīng)過點(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）當x＝3時，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(1，11)；（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1－，0)和(1＋，0)，并與y軸交于(0，－2)． 二次函數(shù)的簡單應(yīng)用 一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換 1．平移變換 問題1 在把二次函數(shù)的圖象進行平移時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？ 我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可． 例1 求把二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式： （1）向右平移2個單位，向下平移1個單位； （2）向上平移3個單位，向左平移2個單位． 分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點位置（即只改變一次項和常數(shù)項），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點位置求出平移后函數(shù)圖像所對應(yīng)的解析式． 解：二次函數(shù)y＝2x2－4x－3的解析式可變?yōu)? y＝2(x－1)2－1， 其頂點坐標為(1，－1)． （1）把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(3，－2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式就為 y＝2(x－3)2－2． （2）把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式就為 y＝2(x＋1)2＋2． 2．對稱變換 問題2 在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)－7 我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點——只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對稱變換問題時，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點位置和開口方向來解決問題． 例2 求把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于下列直線對稱后所得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式： （1）直線x＝－1； （2）直線y＝1． 解：（1）如圖2．2－7，把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線x＝－1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置，不改變其形狀． 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖象的頂點為A(1,－1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為A1(－3，1)，所以，二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．（2）如圖2．2－8，把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線x＝－1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置和開口方向，不改變其形狀．xyOy＝1A(1,－1)B(1，3)－8 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖象的頂點為A(1,－1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為B(1，3)，且開口向下，所以，二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線y＝1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．二、分段函數(shù) 一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)． 例3 在國內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0＜x≤100)的信應(yīng)付多少郵資（單位：分）？寫出函數(shù)表達式，作出函數(shù)圖象． 分析：由于當自變量x在各個不同的范圍內(nèi)時，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的．所以，可以用分段函數(shù)給出其對應(yīng)的函數(shù)解析式．在解題時，需要注意的是，當x在各個小范圍內(nèi)（如20＜x≤40）變化時，它所對應(yīng)的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160分）． 解：設(shè)每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數(shù)．這個函數(shù)的解析式為 由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖2．2－9所示．ACBDP－10例4如圖9－2所示，在邊長為2的正方形ABCD的邊上有一個動點P，從點A出發(fā)沿折線ABCD移動一周后，回到A點．設(shè)點A移動的路程為x，ΔPAC的面積為y．（1）求函數(shù)y的解析式；（2）畫出函數(shù)y的圖像； （3）求函數(shù)y的取值范圍．分析：要對點P所在的位置進行分類討論． 解：（1）①當點P在線段AB上移動（如圖2．2－10①），即0＜x≤2時，y＝＝x； ②當點P在線段BC上移動（如圖2．2－10②），即2＜x＜4時，y＝＝＝4－x； ③當點P在線段CD上移動（如圖2．2－10③），即4＜x≤6時，y＝＝＝x－4； ④當點P在線段DA上移動（如圖2．2－10④），即6＜x＜8時， 方程與不等式 二元二次方程組解法方程 是一個含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程．其中,叫做這個方程的二次項,叫做一次項,6叫做常數(shù)項．我們看下面的兩個方程組： 第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法．一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解．①②例1 解方程組 分析：二元二次方程組對我們來說較為生疏，在解此方程組時，可以將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式．注意到方程②是一個一元一次方程，于是，可以利用該方程消去一個元，再代入到方程①，得到一個一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問題．解：由②,得 x＝2y＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0，即 y(y＋1)＝0． 解得 y1＝0，y2＝－1． 把y1＝0代入③, 得 x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0． 所以原方程組的解是 說明：在解類似于本例的二元二次方程組時，通常采用本例所介紹的代入消元法來求解．①②例2 解方程組 解法一：由①，得　　　　　　　　　　　 ③把③代入②，整理，得　　　　　　　　解這個方程，得　　　　　　?。“汛擘?，得；把代入③，得．所以原方程的解是　　　　　　　　 　解法二：對這個方程組，也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把看作一個一元二次方程的兩個根，通過解這個一元二次方程來求．這個方程組的是一元二次方程　　　　　　　　的兩個根，解這個方程，得　　　　　　　　，或．所以原方程組的解是　　　　　　　　　　　　練 習(xí)1．下列各組中的值是不是方程組的解?　（1） （2） （3） （4）　 2．解下列方程組:（1）　　　 （2）?。?）　 （4） 一元二次不等式解法二次函數(shù)y＝x2－x－6的對應(yīng)值表與圖象如下：x－3－2－101234y60－4－6－6－406由對應(yīng)值表及函數(shù)圖象(－1)可知當x＝－2，或x＝3時，y＝0，即x2－x＝6＝0；當x＜－2，或x＞3時，y＞0，即x2－x－6＞0；當－2＜x＜3時，y＜0，即x2－x－6＜0．這就是說，如果拋物線y= x2－x－6與x軸的交點是(－2，0)與(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；同樣，結(jié)合拋物線與x軸的相關(guān)位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是 x＜－2，或x＞3；一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是 －2＜x＜3．上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應(yīng)的一元二次方程的解和對應(yīng)的一元二次不等式的解集． 那么，怎樣解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象來解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． 為了方便起見，我們先來研究二次項系數(shù)a＞0時的一元二次不等式的解．我們知道，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，設(shè)△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分別為下列三種情況——有兩個不相等的實數(shù)解、有兩個相等的實數(shù)解和沒有實數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸分別有兩個公共點、一個公共點和沒有公共點(－2所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對應(yīng)的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）與ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1） （1）當Δ＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有兩個公共點(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2(x1＜x2)，－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解為 x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解為 x1＜x＜x2． （2）當Δ＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有且僅有一個公共點，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－，－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解為 x≠－； 不等式ax2＋bx＋c＜0無解． （3）如果△＜0，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸沒有公共點，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數(shù)根，－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解為一切實數(shù)；不等式ax2＋bx＋c＜0無解． 今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以－1，將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式． 例3 解不等式： （1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0． 解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是 x1＝－3，x2＝1． ∴不等式的解為 －3≤x≤1． （2）整理，得 x2－x－6＞0． ∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解為 x1＝－2，x2＝3．∴所以，原不等式的解為 x＜－2，或x＜3．（3）整理，得 (2x＋1)2≥0.由于上式對任意實數(shù)x都成立，∴原不等式的解為一切實數(shù)．（4）整理，得 (x－3)2≤0.由于當x＝3時，(x－3)2＝0成立；而對任意的實數(shù)x，(x－3)2＜0都不成立，∴原不等式的解為 x＝3．（5）整理，得 x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解為一切實數(shù)．例4 已知不等式的解是求不等式的解．解：由不等式的解為，可知，且方程的兩根分別為2和3，∴，即 ．由