【正文】 的遠近不同，故在時間上有滯后時間。這時就必須討論在時延域中的兩個信號相似問題——自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)。定義為 （273）當(dāng)考慮信號與其自身經(jīng)過時移后的信號之間的相似性問題時，便成為的自相關(guān)函數(shù)。定義為 （274）當(dāng)時延時間時。當(dāng)表示加速度函數(shù)時，則均方根加速度為 （275）3　隨機振動的頻率域統(tǒng)計描述 功率譜密度函數(shù)隨機信號在頻率域內(nèi)的基本統(tǒng)計特性是用功率譜密度函數(shù)來描述的。a) 自動率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)可由自相關(guān)函數(shù)導(dǎo)出。當(dāng)自相關(guān)函數(shù)在區(qū)間的積分是有限時，則定義自功率譜密度函數(shù)為 （276）式中的表示頻率，式（276）表明和是一對傅里葉變換對。它們之間的關(guān)系一般稱為維納一辛欽關(guān)系，因此有 （277）由于，故在工程中僅計算穩(wěn)態(tài)隨機過程的正頻率部分 （278）因此，如果定義函數(shù)，使其滿足 （279）則有 （280）由上式可見，是的單邊譜，而是雙邊譜。當(dāng)時，有，并且根據(jù)自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)2應(yīng)有，故有 （281）式（281）表明，在時域計算得到的能量，等于頻域計算得到的能量，故稱它為能量等式或Parseval等式。b) 互動率譜密度函數(shù)互動率譜密度函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)互為富氏變換對。圖226 圖227由于是一個隨機變量，因此用解析函數(shù)進行傅里葉積分來求或是十分困難的。在振動分析中，隨機振動信號的或是直接用頻譜分析儀測量獲得的。以上介紹了隨機振動信號的統(tǒng)計參量。這些統(tǒng)計參量不僅可以定量地描述隨機振動的某些特性，而且都有其相對應(yīng)的明確的物理意義。歸納起來，這些統(tǒng)計參量是：1．幅值域描述：包括概率密度函數(shù)，均值；均方值、均方根值；方差和標(biāo)準(zhǔn)差。2．時延域描述：包括自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。3．頻率域描述：包括自功率譜密度函數(shù)和互功率譜密度函數(shù)。這些統(tǒng)計參量都可以通過試驗儀器測量獲得。從這個含義上講，討論隨機振動分析問題，離開了試驗分析儀器和試驗分析便無法得出確切結(jié)果。２．５．２　非平衡隨機振動隨機振動信號的統(tǒng)計特性隨時間而變化時，則稱其為非平穩(wěn)隨機振動。例如，當(dāng)均值、均方值、頻率成分等統(tǒng)計參數(shù)中，一個或一個以上的參數(shù)隨時間而變化時，都稱其為非平穩(wěn)隨機振動。由于非平穩(wěn)機振動信號不再是各態(tài)歷經(jīng)的，故它們的統(tǒng)計特性不能再用一次記錄或一段記錄得到的樣本函數(shù)通過對時間的平均來獲得，而只能通過對多次記錄或多段記錄的樣本信號函數(shù)進行總體平均（集總平均或系集平均）來獲得。對于有N個樣本函數(shù)或N段記錄的信號樣本函數(shù)的非平穩(wěn)隨機過程，在任何指定時刻的均值可用下式定義： （282）均方值在工程實際中,和的計算是非常困難的。這不僅因為它需要個樣本數(shù)，而且還必須在樣本函數(shù)的整個時間長度（）時域內(nèi)（）進行無窮多個時間點的運算。如果要獲得火箭在發(fā)射時的隨機激勵和響應(yīng)特性，那么就要求火箭發(fā)射次。這種要求無疑是無法實現(xiàn)的。從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念出發(fā)，工程中實際的隨機振動信號都存在著一定的非平穩(wěn)性。因此，在處理隨機振動信號時，首先必須進行平穩(wěn)性檢查，如果隨機振動信號的統(tǒng)計特性參數(shù)隨時間的變化很緩慢時，則可將其視為平穩(wěn)隨機振動來處理。這如同在工程中常將弱非線性系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)處理一樣。平穩(wěn)性檢驗通常只對方差進行。將一個時間記錄分成若干個短的小段，若每一時間小段信號的方差間只有百分之幾的分散度時，就可以認為它是平穩(wěn)的．由于隨機振動的信號的均值通常趨于零，故不對均值進行檢驗。此外，由前面的討論可知，隨機振動信號的方差在平穩(wěn)性檢查時只有百分之幾的分散度，那么其均方值隨時間的變化也不會很大，故一般也不對其相關(guān)函數(shù)進行平穩(wěn)性檢查。當(dāng)確定某隨機信號為非平穩(wěn)隨機振動后，目前最常用的方法是將一次長時間的記錄樣本分成著干個短時間段，然后再對這些短時間段樣本進行平均，從而得到有用的結(jié)果，這種把連續(xù)信號分割成若干小段的做法，稱為“時間窗”處理．因為每一個小段可看作是通過時間的一個“窗口”看到的。用時間窗技術(shù)處理非平穩(wěn)隨機振動的方法，也可以用于頻率域中的分析。非平穩(wěn)信號可以理解為時變功率譜信號。由于工程上對信號頻譜結(jié)構(gòu)隨時間的變化情況，以及譜發(fā)生的時刻和頻率非常感興趣，因此，在現(xiàn)代信號處理機中已具有這種功能，即“時間譜陣”功能。２．５．３　單自由度線性系統(tǒng)受隨機激勵的響應(yīng)1）系統(tǒng)受單位脈沖激勵的響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)在靜平衡狀態(tài)受單位脈沖激勵，則其響應(yīng)為脈沖響應(yīng)函數(shù)的特點： （284）2）脈沖響應(yīng)函數(shù)：a),系統(tǒng)靜止；b) ，系統(tǒng)受激勵；c)系統(tǒng)的強迫振動微分方程為； （285）初始條件如情況1，時由于： （286）有 （287a） （287b）由式（287b）可知，系統(tǒng)在作用下，在時，獲得速度增量，那么在后，系統(tǒng)以為初始條件作有阻尼自由振動，這種振動稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。d)脈沖響應(yīng)函數(shù) （288）e)當(dāng)系統(tǒng)在時，受作用時，系統(tǒng)響應(yīng)： （289）f)當(dāng)為任意激勵時，則卷積積分可得系統(tǒng)響應(yīng)； （290）g)系統(tǒng)響應(yīng)的特點1）單位脈沖在任何時刻為0，所以在時，故改變積分限不影響其結(jié)果，即 （291）因為在處，把作為隨機激勵，則可把視為系統(tǒng)響應(yīng)。2）單自由度線性系統(tǒng)受單位諧波激勵的響應(yīng)設(shè)單位諧波激勵作用到振動系統(tǒng)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為， 則有系統(tǒng)響應(yīng) （292）在式（291）中；中的代替，則有 （293）若設(shè)代入291，則有： （294）系統(tǒng)受作用時，響應(yīng)與受相同，設(shè)傳遞函數(shù)有 （295）所以294式等同與295式 （296）由此可見和是一對傅里葉變換對3）線性系統(tǒng)受隨機激勵的響應(yīng)（1）響應(yīng)的均值設(shè)平穩(wěn)隨機激勵的均值，按定義有：則響應(yīng)的均值為： （297）a）積分求和可以互相換順序,b）常數(shù),c）傳遞函數(shù),d） ,e）通常：。（2）響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)由定義有設(shè)所以有 （298）由激勵的自相關(guān)函數(shù)與計時的時間無關(guān)，因而，響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)也與無關(guān)，而僅與時間差有關(guān)，即：（3）響應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)由定義有： （299） （2100）由：（a）（b）（c）有 （2101） （2102）當(dāng)系統(tǒng)K、M、C已知，則為已知時，則很方便可求得。4）響應(yīng)的均方值和方差由于，在時，有，所以有由定義所以可視為在時的， （2103）由于所以（2103）式可改寫為： （2104）5）響應(yīng)與激勵的互相關(guān)函數(shù)由定義有： （2105）輸出的互相關(guān)函數(shù)等于輸入的自相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)的卷積積分。6）響應(yīng)的互功率譜密度函數(shù)由定義有： （2106）7）譜相干函數(shù)由（2102）式知響應(yīng)的自譜由（2106）式知響應(yīng)的自譜定義譜相干函數(shù) （2107）將（2102）式和（2106）式代入（2107）式有 （2108）的應(yīng)用1），則系統(tǒng)為線性，偏離“1”的程度，反映了系統(tǒng)非線性特性的程度；2）判斷系統(tǒng)受噪聲信號干擾的影響程度。設(shè)噪聲信號與互不相關(guān)，則： (a)并且 (b) (c)設(shè)： （d） （e）有： （2109）由于分母多了一項，故，偏離程度反映了系統(tǒng)受噪聲信號影響的程度。4．常見隨機振動激勵譜如下所示：（參考文獻[3]） 圖230安裝在螺旋漿式飛機和發(fā)動機上設(shè)備的振動譜曲 圖232履帶車環(huán)境（垂直軸） 圖231安裝在直升飛機上設(shè)備的振動譜 圖233噴氣飛機振動譜 42 /