【正文】 的遠(yuǎn)近不同，故在時(shí)間上有滯后時(shí)間。這時(shí)就必須討論在時(shí)延域中的兩個(gè)信號(hào)相似問題——自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)。定義為 （273）當(dāng)考慮信號(hào)與其自身經(jīng)過時(shí)移后的信號(hào)之間的相似性問題時(shí)，便成為的自相關(guān)函數(shù)。定義為 （274）當(dāng)時(shí)延時(shí)間時(shí)。當(dāng)表示加速度函數(shù)時(shí)，則均方根加速度為 （275）3　隨機(jī)振動(dòng)的頻率域統(tǒng)計(jì)描述 功率譜密度函數(shù)隨機(jī)信號(hào)在頻率域內(nèi)的基本統(tǒng)計(jì)特性是用功率譜密度函數(shù)來描述的。a) 自動(dòng)率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)可由自相關(guān)函數(shù)導(dǎo)出。當(dāng)自相關(guān)函數(shù)在區(qū)間的積分是有限時(shí)，則定義自功率譜密度函數(shù)為 （276）式中的表示頻率，式（276）表明和是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。它們之間的關(guān)系一般稱為維納一辛欽關(guān)系，因此有 （277）由于，故在工程中僅計(jì)算穩(wěn)態(tài)隨機(jī)過程的正頻率部分 （278）因此，如果定義函數(shù)，使其滿足 （279）則有 （280）由上式可見，是的單邊譜，而是雙邊譜。當(dāng)時(shí)，有，并且根據(jù)自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)2應(yīng)有，故有 （281）式（281）表明，在時(shí)域計(jì)算得到的能量，等于頻域計(jì)算得到的能量，故稱它為能量等式或Parseval等式。b) 互動(dòng)率譜密度函數(shù)互動(dòng)率譜密度函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)互為富氏變換對(duì)。圖226 圖227由于是一個(gè)隨機(jī)變量，因此用解析函數(shù)進(jìn)行傅里葉積分來求或是十分困難的。在振動(dòng)分析中，隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的或是直接用頻譜分析儀測量獲得的。以上介紹了隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)參量。這些統(tǒng)計(jì)參量不僅可以定量地描述隨機(jī)振動(dòng)的某些特性，而且都有其相對(duì)應(yīng)的明確的物理意義。歸納起來，這些統(tǒng)計(jì)參量是：1．幅值域描述：包括概率密度函數(shù)，均值；均方值、均方根值；方差和標(biāo)準(zhǔn)差。2．時(shí)延域描述：包括自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。3．頻率域描述：包括自功率譜密度函數(shù)和互功率譜密度函數(shù)。這些統(tǒng)計(jì)參量都可以通過試驗(yàn)儀器測量獲得。從這個(gè)含義上講，討論隨機(jī)振動(dòng)分析問題，離開了試驗(yàn)分析儀器和試驗(yàn)分析便無法得出確切結(jié)果。２．５．２　非平衡隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間而變化時(shí)，則稱其為非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)。例如，當(dāng)均值、均方值、頻率成分等統(tǒng)計(jì)參數(shù)中，一個(gè)或一個(gè)以上的參數(shù)隨時(shí)間而變化時(shí)，都稱其為非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)。由于非平穩(wěn)機(jī)振動(dòng)信號(hào)不再是各態(tài)歷經(jīng)的，故它們的統(tǒng)計(jì)特性不能再用一次記錄或一段記錄得到的樣本函數(shù)通過對(duì)時(shí)間的平均來獲得，而只能通過對(duì)多次記錄或多段記錄的樣本信號(hào)函數(shù)進(jìn)行總體平均（集總平均或系集平均）來獲得。對(duì)于有N個(gè)樣本函數(shù)或N段記錄的信號(hào)樣本函數(shù)的非平穩(wěn)隨機(jī)過程，在任何指定時(shí)刻的均值可用下式定義： （282）均方值在工程實(shí)際中,和的計(jì)算是非常困難的。這不僅因?yàn)樗枰獋€(gè)樣本數(shù)，而且還必須在樣本函數(shù)的整個(gè)時(shí)間長度（）時(shí)域內(nèi)（）進(jìn)行無窮多個(gè)時(shí)間點(diǎn)的運(yùn)算。如果要獲得火箭在發(fā)射時(shí)的隨機(jī)激勵(lì)和響應(yīng)特性，那么就要求火箭發(fā)射次。這種要求無疑是無法實(shí)現(xiàn)的。從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念出發(fā)，工程中實(shí)際的隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)都存在著一定的非平穩(wěn)性。因此，在處理隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)時(shí)，首先必須進(jìn)行平穩(wěn)性檢查，如果隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)隨時(shí)間的變化很緩慢時(shí)，則可將其視為平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)來處理。這如同在工程中常將弱非線性系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)處理一樣。平穩(wěn)性檢驗(yàn)通常只對(duì)方差進(jìn)行。將一個(gè)時(shí)間記錄分成若干個(gè)短的小段，若每一時(shí)間小段信號(hào)的方差間只有百分之幾的分散度時(shí)，就可以認(rèn)為它是平穩(wěn)的．由于隨機(jī)振動(dòng)的信號(hào)的均值通常趨于零，故不對(duì)均值進(jìn)行檢驗(yàn)。此外，由前面的討論可知，隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的方差在平穩(wěn)性檢查時(shí)只有百分之幾的分散度，那么其均方值隨時(shí)間的變化也不會(huì)很大，故一般也不對(duì)其相關(guān)函數(shù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢查。當(dāng)確定某隨機(jī)信號(hào)為非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)后，目前最常用的方法是將一次長時(shí)間的記錄樣本分成著干個(gè)短時(shí)間段，然后再對(duì)這些短時(shí)間段樣本進(jìn)行平均，從而得到有用的結(jié)果，這種把連續(xù)信號(hào)分割成若干小段的做法，稱為“時(shí)間窗”處理．因?yàn)槊恳粋€(gè)小段可看作是通過時(shí)間的一個(gè)“窗口”看到的。用時(shí)間窗技術(shù)處理非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的方法，也可以用于頻率域中的分析。非平穩(wěn)信號(hào)可以理解為時(shí)變功率譜信號(hào)。由于工程上對(duì)信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)隨時(shí)間的變化情況，以及譜發(fā)生的時(shí)刻和頻率非常感興趣，因此，在現(xiàn)代信號(hào)處理機(jī)中已具有這種功能，即“時(shí)間譜陣”功能。２．５．３　單自由度線性系統(tǒng)受隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)1）系統(tǒng)受單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)在靜平衡狀態(tài)受單位脈沖激勵(lì)，則其響應(yīng)為脈沖響應(yīng)函數(shù)的特點(diǎn)： （284）2）脈沖響應(yīng)函數(shù)：a),系統(tǒng)靜止；b) ，系統(tǒng)受激勵(lì)；c)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為； （285）初始條件如情況1，時(shí)由于： （286）有 （287a） （287b）由式（287b）可知，系統(tǒng)在作用下，在時(shí)，獲得速度增量，那么在后，系統(tǒng)以為初始條件作有阻尼自由振動(dòng)，這種振動(dòng)稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。d)脈沖響應(yīng)函數(shù) （288）e)當(dāng)系統(tǒng)在時(shí)，受作用時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)： （289）f)當(dāng)為任意激勵(lì)時(shí)，則卷積積分可得系統(tǒng)響應(yīng)； （290）g)系統(tǒng)響應(yīng)的特點(diǎn)1）單位脈沖在任何時(shí)刻為0，所以在時(shí)，故改變積分限不影響其結(jié)果，即 （291）因?yàn)樵谔?，把作為隨機(jī)激勵(lì)，則可把視為系統(tǒng)響應(yīng)。2）單自由度線性系統(tǒng)受單位諧波激勵(lì)的響應(yīng)設(shè)單位諧波激勵(lì)作用到振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為， 則有系統(tǒng)響應(yīng) （292）在式（291）中；中的代替，則有 （293）若設(shè)代入291，則有： （294）系統(tǒng)受作用時(shí)，響應(yīng)與受相同，設(shè)傳遞函數(shù)有 （295）所以294式等同與295式 （296）由此可見和是一對(duì)傅里葉變換對(duì)3）線性系統(tǒng)受隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng)（1）響應(yīng)的均值設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的均值，按定義有：則響應(yīng)的均值為： （297）a）積分求和可以互相換順序,b）常數(shù),c）傳遞函數(shù),d） ,e）通常：。（2）響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)由定義有設(shè)所以有 （298）由激勵(lì)的自相關(guān)函數(shù)與計(jì)時(shí)的時(shí)間無關(guān)，因而，響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)也與無關(guān)，而僅與時(shí)間差有關(guān)，即：（3）響應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)由定義有： （299） （2100）由：（a）（b）（c）有 （2101） （2102）當(dāng)系統(tǒng)K、M、C已知，則為已知時(shí)，則很方便可求得。4）響應(yīng)的均方值和方差由于，在時(shí)，有，所以有由定義所以可視為在時(shí)的， （2103）由于所以（2103）式可改寫為： （2104）5）響應(yīng)與激勵(lì)的互相關(guān)函數(shù)由定義有： （2105）輸出的互相關(guān)函數(shù)等于輸入的自相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)的卷積積分。6）響應(yīng)的互功率譜密度函數(shù)由定義有： （2106）7）譜相干函數(shù)由（2102）式知響應(yīng)的自譜由（2106）式知響應(yīng)的自譜定義譜相干函數(shù) （2107）將（2102）式和（2106）式代入（2107）式有 （2108）的應(yīng)用1），則系統(tǒng)為線性，偏離“1”的程度，反映了系統(tǒng)非線性特性的程度；2）判斷系統(tǒng)受噪聲信號(hào)干擾的影響程度。設(shè)噪聲信號(hào)與互不相關(guān)，則： (a)并且 (b) (c)設(shè)： （d） （e）有： （2109）由于分母多了一項(xiàng)，故，偏離程度反映了系統(tǒng)受噪聲信號(hào)影響的程度。4．常見隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)譜如下所示：（參考文獻(xiàn)[3]） 圖230安裝在螺旋漿式飛機(jī)和發(fā)動(dòng)機(jī)上設(shè)備的振動(dòng)譜曲 圖232履帶車環(huán)境（垂直軸） 圖231安裝在直升飛機(jī)上設(shè)備的振動(dòng)譜 圖233噴氣飛機(jī)振動(dòng)譜 42 /