二次型的有定性及其應用本科畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-23 13:57本頁面
【正文】 的特征值就為, 由已知條件知是正定的, 那么,對于，可得,由我們上面介紹的定理: 如果矩陣是半正定的的所有特征值大于等于零。因此我們可以得到是半正定的。對于半正定矩陣，有下列性質：性質1 如果是半正定矩陣，則有任意的，也是半正定矩陣。證：設，已知是半正定矩陣，所以對于任意的維實向量,有，如果，所以也是半正定的。性質2 如果是半正定矩陣，那么為半正定矩陣。性質3 如果是半正定矩陣，那么。性質4 如果是半正定矩陣，那么對于任意也是半正定矩陣。證明：由于半正定，并有，那么，并有是實矩陣，則由定理知半正定。性質5 半正定矩陣的主子式都大于等于0。（證明見定理）性質6 對稱陣A為半正定則有。證明：：從以上的論述中，我們對于半正定已經有了初步的了解，知道了它的一系列的等價定義性質等，并且了解了半正定二次型也是二次型的一個分支，并與正定二次型在研究方法上有類似之處，下面我將重點論述半正定二次型的應用，著重介紹在數學學習中，用半正定性來證明不等式。接下來我們將用所學的二次型的半正定性方面的知識來解決不等式的證明這一系列比較復雜的問題，用該方法證明會簡化證明，而且易于理解，便于掌握，我們要根據題目的具體要求，利用半正定的性質去解題，步驟如下：先把不等式化為的形式，然后在根據半正定二次型的性質，得到所證結論。.證明分以下幾步：先把不等式轉化為的形式，再由半正定二次型的定義性質等，得到該二次型是半正定的，由此證明不等式。 的三邊為面積為,證：利用余弦定理及面積公式把所證結論轉為二次型（不等式）若,那么得到證明：由于,就有, , 即 證明：證明：記 ,其中,對于該矩陣，先分別用第2,3,…,行減去第1行，再用第2,3,…,列依次加到第一列,那么矩陣變?yōu)椤? 由此可以得出的特征值是0,，、由特征值大于等于零,得出為半正定矩陣, 所以要證明的二次型為半正定的,那么就有，則證畢。 設三角形的三角分別為, 證明,存在證明： 記，把的第一行乘以加到第二行，再把第二行除以，再以此方法進行初等行變換得: ～, 得到0,1, 為的特征值, 由上面的定理可知是半正定的, 那么,都有, 證畢。 設為階半正定矩陣, 且, 證明。證明 設的全部特征值為, 則的全部特征值為， 因為為實對稱矩陣, 所以存在正交矩陣, 使得 由于為半正定矩陣, 且,則是半正定的, 且其中至少有一個, 同時至少有一個等于零。 故, 結論得證。 參考文獻[1] 工程數學. 《線性代數》[M]. 北京：高等教育出版社，. [2] 劉萬霞. 二次型的有定性[J]. 內蒙古電大學刊. 2008, (5):5758.[3] 王繼成. 半正定二次型的性質及其應[J]. 綏化師專學報. 2004, 24(2):143146.[4] 張淑娜. 半正定二次型及半正定矩陣[J]. 通化師范學報. 2003, 24 (6):1011.[5] 李宏偉等. 《線性代數學習輔導與習題解析》[M]. 北京： .[6] 鄭華盛. 二次型半正定性在不等式證明中的應用.[J]. , 18(3):229230.[7] 楊文杰. 實二次型的半正定及應用[J]. 渤海大學學報(自然科學版).2004,25(2):229230.[8] 王萼方. 《高等代數》（第三版）[M]. 北京：. .[9] 陳公寧. 《矩陣理論與應用》 北京: 高等教育出版社, .[10] 魏慧敏. 實二次型中半正定二次型的判定及應用[J]. 學科研究 2001,:156157.[11] 呂風等編. 高等數學在中學數學中的應用1000例[M]. 東北： :8598.[12] 楊文杰. 實二次型的半正定及其應用[J]. （2）：128129.
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