【正文】 （）用一個普通的公式來表示單位載荷法則有 （）式中 為滿足平衡條件的單位狀態(tài)i的廣義內力； 為與載荷狀態(tài)p的真實廣義內力相對應的廣義位移； (a)所示四緣條自由盒段在扭矩MT作用下：（1）兩端肋的相對扭角；（2）支柱14和23的相對轉角（又稱橫剖面1234的扭翹角）。假設兩端肋在自身平面內絕對剛硬，板的厚度為t，桿截面面積為A，材料的彈性系數(shù)為E、G。[解] （1）首先求《P》狀態(tài)的內力。由零力桿端的判斷原則可知，盒段內各桿軸力均為零。由各縱向桿的平衡，可得各縱向板剪流大小相等。(c)所示。切出端肋作分離體，(b)所示，由力矩平衡得所以 （2）為求兩端肋的相對扭角，必須在盒段兩端肋上加一對方向相反的單位扭矩作《1》狀態(tài)。顯然，只要在《P》狀態(tài)中，令MT=1，即得《1》狀態(tài)，因此得《1》狀態(tài)內力 根據(jù)位移公式，可求得相對扭角因為求得的為正值，表示扭角的方向與MT方向一致。 （3）為求支柱14和23的相對轉角，必須在兩個支柱上加一對單位力矩，即在結點4和3上各加的力，作為單位狀態(tài)《1》。由于各桿12143的軸力為零，可知縱向各板剪流相等，用q1表示。由縱向桿22’的平衡，得 根據(jù)位移公式，可得由的表達式可看出，當H=B時，即端面為正方形的盒段時沒有翹曲。 (a)所示一端固支的四緣條盒段，上表面無壁板，在端肋上作用扭矩MT時所產(chǎn)生的扭角，并求支柱14和23的相對扭角。假設端肋在自身平面內絕對剛硬。板厚度為t，桿截面積為f，材料的彈性系數(shù)為E、G。[解] （1）首先求《P》狀態(tài)下的內力。取端肋作分離體，(b)所示，由平衡條件得由縱向桿的平衡，得桿端軸力《P》(c)所示。 （2）為求端肋的扭角，在端肋上加單位扭矩，作為《1》狀態(tài)。顯然，只要在《P》狀態(tài)中令MT=1,即得《1》狀態(tài)，其內力為根據(jù)位移公式，扭角為 (3)為求支柱14和23的相對扭角，其單位狀態(tài)《1》。由位移公式，得相對扭角為 為了把上例與本例的結構變形進行比較，我們假設MT=1000Nm，L=300 cm，B=100 cm, H=20 cm, f=5 cm2，t= cm， E=106 N/cm2, G=106 N/cm2。由兩例題計算結果如下表。 通過對以上兩例計算的扭角進行比較，可得出如下結論： （1）空間薄壁結構在扭矩作用下，橫剖面一般會發(fā)生翹曲。即原來的平面截面，在扭轉后，截面上的點會產(chǎn)生垂直于截面方面的位移。當各壁板厚度相同，且B=H(正方形截面)的情況下，翹曲角才等于零。 （2）自由的封閉盒段靠縱向壁板的剪流來承受扭矩，與緣條面積無關。因此，增加縱向壁板的厚度可提高結構的抗扭能力。而開口盒段是靠緣條和復板組成的兩個側梁的相反方向彎曲（又稱參差彎曲）來承受扭矩。因此，增加緣條面積和腹板厚度可提高開口盒段的抗扭能力，且緣條的作用比復板的作用顯著。（3）開口盒段比封閉盒段的抗扭能力小得多。自由盒段開口固定盒段扭轉角176。176。扭轉角ψ176。176。第四章 靜不定結構的內力及彈性位移 靜不定系統(tǒng)的特性實際工程結構為了增加剛度和可靠性，經(jīng)常增加一些構件。這樣，使系統(tǒng)增加了“多余”約束，而變成靜不定系統(tǒng)。所謂靜不定系統(tǒng)，在組成上是指具有多余約束的幾何不變系統(tǒng)，在求解內力上是指只用靜力平衡條件無法求解的系統(tǒng)。系統(tǒng)的靜不定度K就等于該系統(tǒng)的多余約束數(shù)，即K=C－N。應該指出，所謂“多余約束”是從保證系統(tǒng)成為幾何不變的觀點來說它是多余的，但對于發(fā)揮結構的性能，增加系統(tǒng)的剛度和可靠性來說，這些“多余約束”有時是很必要的。靜不定系統(tǒng)和靜定系統(tǒng)比較，具有如下重要特性：1．靜不定系統(tǒng)是具有多余約束的幾何不變系統(tǒng)。其多余約束的數(shù)目就是系統(tǒng)的靜不定度。2．靜不定系統(tǒng)的內力只滿足靜力平衡條件的解可以有無窮多組，而同時又滿足變形一致條件的解則只有一個，這是唯一的解，也就是系統(tǒng)的真實解。所以，求解靜不定系統(tǒng)的內力除了應用靜力平衡條件外，還要利用系統(tǒng)的變形一致條件，這樣才能求得系統(tǒng)的真實解。3．因為要利用變形條件，所以，靜不定系統(tǒng)的內力不僅與載荷有關，而且與變形有關，即與結構的材料性能、元件截面及其幾何尺寸有關。4．靜不定系統(tǒng)具有多余約束，即使多余約束破壞后，系統(tǒng)仍舊是幾何不變的，仍能繼續(xù)承載。所以，一般情況下，靜不定系統(tǒng)比靜定系統(tǒng)有較大的生存力，有較大的強度和剛度。 靜不定系統(tǒng)的解法——力法求解靜不定結構的內力，必須依據(jù)結構力學的三條基本原則，即結構在給定的外力作用下，其內力必須同時滿足平衡條件、變形協(xié)調條件和物理條件。靜不定系統(tǒng)的解法，按照基本未知數(shù)的選取方法不同，一般可分為三種：（1）力法——選取多余約束的內力（或反力）為基本未知數(shù)，利用平衡條件和變形協(xié)調條件，首先求出這些基本未知力，然后再求出結構的其它內力。（2）位移法——選取系統(tǒng)的滿足變形連續(xù)條件的某些位移（線位移、角位移）為基本未知數(shù)，利用平衡條件先求出這些基本位移，然后再求出結構的內力。（3）混合法——在選取的基本未知數(shù)中，一部分取多余的約束力，另一部分取結構的某些位移，利用平衡條件和變形協(xié)調條件混合求解。本節(jié)只研究力法的基本原理和解題的主要過程。一、力法的基本原理（1）首先分析并確定系統(tǒng)的靜不定度，即確定系統(tǒng)所具有的多余約束數(shù)K值。，其K值為2。（2）選取基本系統(tǒng)和基本未知數(shù)根據(jù)系統(tǒng)的靜不定度數(shù)，切斷系統(tǒng)中多余的約束（相當于解除多余約束），這樣便得到一個幾何不變的靜定系統(tǒng)。我們把這個除去多余約束后的靜定系統(tǒng)稱為“基本系統(tǒng)”。由于多余約束可以有不同的取法，因此，對于同一靜不定系統(tǒng)，可以選取不同形式的基本系統(tǒng)。，解題時可選取其中任何一種。選取基本系統(tǒng)的原則：(a)基本系統(tǒng)必須是幾何不變的靜定系統(tǒng)，對于K度靜不定結構，必須切斷K個多余約束，而且必須在確定“多余”的地方切斷；(b)選取的基本系統(tǒng)必須使計算盡可能簡單。在選好基本系統(tǒng)之后，用多余約束未知內力代替多余約束的作用。對于K度靜不定結構，其多余約束未知內力用XX2…XK表示。這些多余約束未知內力就是力法的基本未知數(shù)。這樣，原來在外載P作用下的靜不定系統(tǒng)已轉化為在外載P和多余未知力XX2…XK共同作用下的靜定系統(tǒng)。（3）利用變形協(xié)調條件求出多余未知力基本系統(tǒng)在外載荷和多余未知力共同作用下，必須保證在切口處不產(chǎn)生相對位移，即在切口處兩個相鄰截面必須始終貼合在一起，相當于沒有開切口的連續(xù)系統(tǒng)一樣。這樣才能保證外載作用下的靜不定系統(tǒng)等效于外載和基本未知力共同作用下的靜定的基本系統(tǒng)。每一個切口的未知力，可列出一個和未知力相對應的相對位移等于零的協(xié)調方程。這樣可得到與多余未知力數(shù)目相等的協(xié)調方程，稱為力法典型方程。解此方程，即可求出多余未知力。（4）利用平衡條件求出系統(tǒng)中各構件內力由于基本系統(tǒng)是靜定的，利用平衡條件，可分別求出基本系統(tǒng)在外載荷和多余未知力作用下的內力。再利用疊加原理，即可求得靜不定結構的真實內力。對于桁架結構，其內力可表示為 ()式中NP為基本系統(tǒng)在外載作用下桿元件的內力，稱為《P》狀態(tài)下的內力。NN2……NK分別表示多余未知力X1=1,X2=1,……XK=1單獨作用在基本系統(tǒng)上所引起的內力，稱為單位狀態(tài)《1》、《2》……《K》的內力。二、力法典型方程及其系數(shù)這里以平面桁架為例說明力法典型方程的建立。，為K=2的靜不定系統(tǒng)。根據(jù)力法的基本原理。根據(jù)變形一致條件，在P、X1和X2共同作用下切口1和切口2的相對位移必須等于零，即 ()式中 表示Xj=1單獨作用下，在基本系統(tǒng)切口i處所引起的相對位移； 表示外載荷單位作用下，在基本系統(tǒng)切口i處所引起的相對位移。根據(jù)位移互等定理，可知。式()稱為力法的典型方程（或正則方程）。稱為影響系數(shù)，稱為載荷系數(shù)（或稱為常數(shù)項）。它們的計算公式可按第三章求彈性位移的公式求得如下：桁架 () 平面剛架 ()空間剛架 ()薄壁結構 ()對于不同的結構有不同的受力形式，對于典型方程中相對位移等于零的物理概念是各不相同的。若多余未知力是軸力，則表示切口處相對位移等于零，即表示切口處兩截面始終貼合在一起；若多余未知力為力矩，則表示多余約束切口處剖面的相對轉角等于零；若多余未知力是剪力，則表示多余約束處剖面沒有橫向相對位移（剪切位移），即表示剖面不錯開；對于桿板式薄壁結構，若把板的剪流作為多余未知力，則表示板四邊切口的相對剪切角等于零。三、用力法求解靜不定系統(tǒng)的步驟（1）分析系統(tǒng)的靜不定度并選取基本系統(tǒng)。（2）求出外載荷單獨作用下基本系統(tǒng)各元件的內力NP（或MP、QP、qP……），即求出《P》狀態(tài)下的內力，并作內力圖。（3）分別求出多余未知力Xi=1單獨作用下基本系統(tǒng)各元件的內力Ni（或Mi、Qi、qi……），即求出單位狀態(tài)《i》的內力（共有K個彼此獨立的內力狀態(tài)），并作內力圖。（4）求影響系數(shù)δii和δij，求載荷系數(shù)ΔiP。（5）解典型方程，求出多余未知力XX2……XK。（6）利用疊回原理，求出靜不定系統(tǒng)的真實內力。可用公式表示如下：軸力 彎矩 ()扭矩 剪力 剪流 在實際計算時，為便于檢查，可列表計算。在疊加時應按內力圖進行對應疊加。(a)所示靜不定桁架的內力。已知該桁架水平桿和垂直桿的截面面積均為f，斜桿的截面面積為。各桿材料相同，彈性模數(shù)為E。[解]（1）分析結構的靜不定度，用鉸接三角形組成法可判斷該結構為K=2的靜不定結構。切斷二根斜桿作基本系統(tǒng)，(b)所示。（2）求《P》狀態(tài)的內力NP、單位狀態(tài)《1》的內力N1和單位狀態(tài)《2》的內力N2,（b、c、d）所示。（3）求典型方程中的影響系數(shù)和載荷系數(shù)ΔiP。（4）將上式系數(shù)代入典型方程()，得解典型方程，得多余未知力式中X1為負號，表示X1的實際方向與所假設的方向相反，即X1為壓力。（5）用疊加原理求出各桿的內力例如，桿25的軸力為(e)所示。(a)所示平面剛架的內力。各桿抗彎剛度均為EJ。[解]（1）該平面剛架為K=3的靜不定結構。（2）選取基本系統(tǒng)并作各狀態(tài)的內力圖。將剛架沿對稱軸切開，即解除三個多余約束，得靜定的基本系統(tǒng)。在切口處用三個多余未知力(軸力X剪力X2和彎矩X3)代替切口的約束作用，則在P作用下的靜不定系統(tǒng)已轉化為P和多余未知力XXX3共同作用下的靜定系統(tǒng)，(a)、(b)所示。用平衡條件分別求出載荷狀態(tài)《P》和各單位狀態(tài)《1》、《2》、《3》的內力。(c)、(d)、(e)、(f)所示。彎矩圖畫在構件受壓一側，分別用MP、MMM3表示。（3）求影響系數(shù)和載荷系數(shù)ΔiP。（4）列典型方程，求解多余未知力。上述典型方程的物理意義是：第一式表示切口處的相鄰兩截面不分開，即軸向相對位移等于零；第二式表示切口處兩截面上下不錯開，即相對的剪切位移等于零；第三式表示切口處兩截面沒有相對轉角。將求得的系數(shù)代入典型方程，得解上述方程，求得多余未知力（5）用迭加原理求系統(tǒng)的內力。彎矩 剪力 軸力 計算得出的彎矩M、剪力Q、。 (a)所示平面薄壁結構的內力。已知各桿截面面積均為f，桿長為a，板厚為t，彈性系數(shù)E/G=，ta/f=。[解]（1）該結構有兩個“十”字形內部結點，因此是K=2的靜不定薄壁結構。選取中間水平桿為多余約束，在結點5和6處將水平桿切斷，得靜定的基本系統(tǒng)。（2）求載荷狀態(tài)《P》和單位狀態(tài)《1》、《2》的內力，(b)、(c)、(d)所示。（3）計算影響系數(shù)和載荷系數(shù)ΔiP，可用圖乘法求得：（4）將系數(shù)代入典型方程，得解典型方程，求得多余未知力為（5）利用疊加原理求結構元件內力桿軸力 板剪流 。 對稱系統(tǒng)的簡化計算在工程實際結構中，經(jīng)常遇到對稱結構。這時利用對稱條件，可使得計算簡化。所謂對稱結構，是指結構的幾何形狀、元件的截面尺寸和構件材料的彈性模量等均對稱于某一幾何軸線（或平面），此軸線（或平面）稱為對稱軸線（或對稱面）。對于平面結構，若將結構繞對稱軸對折后，處在對稱軸兩邊的結構將完全重合。在對稱結構上，如果所受的載荷，其大小、方向和作用點都對稱于系統(tǒng)的對稱軸（或對稱面），則稱這種載荷為對稱載荷，(a)所示。若所受的載荷，其大小和作用點對稱于系統(tǒng)的對稱軸（或對稱面），而其方向則相反，則稱這種載荷為反對載荷，(b)所示。對稱系統(tǒng)的受力特性：（1）對稱結構承受對稱載荷時，結構的內力和變形必然是對稱的。（2）對稱結構承受反對稱載荷時，結構的內力和變形也是反對稱的。（3）對稱結構承受對稱載荷時，在對稱軸的切口處只有對稱的內力，而反對稱的內力必為零。(a)所示的平面剛架，在對稱軸切口處，其內力只可能有軸