工程高等代數(shù)答案習題六-資料下載頁
2025-06-23 01:07本頁面
【正文】 ，得．于是．對于，解方程組得特征向量，單位化得．對于，解方程組得特征向量，?。畬τ冢夥匠探M得特征向量，單位化得．故所用的正交變換矩陣為．13．判斷二次型是否正定．解 二次型的矩陣為．計算得到的任意階順序主子式，因此，二次型是正定的．14．設二次型，其中二次型的矩陣的特征值之和為，特征值之積為．（1）求的值；（2）利用正交變換把二次型化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣．解 （1）二次型對應的矩陣為．設的特征值為，則，．解得．（2）由，得，于是的特征值為．對于，由，求得兩個線性無關的特征向量．對于，由，求得特征向量．由于已是正交，單位化后得到正交矩陣．于是有．在正交變換下，有．15．證明二次型在時的最大（小）值為矩陣的最大（?。┨卣髦担C明 設存在正交變換，將化為標準形．不妨設是的特征值中的最大值，則．由于正交變換不改變向量的長度，而，所以，故．并且，可以達到上限，只要取即可．故二次型在時的最大值為矩陣的最大特征值．最小值的情形同理可證．16．設為可逆矩陣，證明是正定二次型．證明 設，由為可逆矩陣知，于是，故是正定二次型．17．設對稱矩陣為正定矩陣，證明存在可逆矩陣，使得．證明 若為正定陣，則存在正交矩陣，使得，其中，每個．而，．令，則．而均可逆，所以可逆．18．設都是階正定矩陣，證明也是階正定矩陣．證明 由于，所以，即是對稱矩陣． 又都是階正定矩陣，即對任意的非零向量，有，因此，故是階正定矩陣．19．設分別是矩陣的屬于特征值的特征向量，且，試證不可能是的特征向量．證明 由條件有．設是的某個特征值的特征向量，則．另一方面，．因此，．由于線性無關，故，矛盾．故不可能是的特征向量．20． 已知二次型的秩為2．（1）求的值；（2）求正交變換，把化成標準形；（3）求方程的解.解 （1）二次型對應矩陣為．由二次型的秩為2知，得．（2）這里，可求出其特征值為．由，求得特征向量．由，求得特征向量．由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得．令，即為所求的正交變換矩陣．由，可化原二次型為標準形．（3）由=0，得（為任意常數(shù)）．從而所求解為，其中為任意常數(shù)．21．設是階實對稱矩陣，且，證明存在正交矩陣使得．證明 根據(jù)定理，對于階實對稱矩陣，存在正交矩陣使得，其中是的個特征值．由于，故的特征值滿足，即．設，則這個數(shù)中有個，個．調(diào)整的順序使得前個數(shù)為，后個為，相應地調(diào)整的列，得到，仍為正交矩陣，且．22．設是階實對稱矩陣，且，證明存在正交矩陣使得．證明 根據(jù)定理，對于階實對稱矩陣，存在正交矩陣使得，其中是的個特征值．由于，故的特征值滿足，即．設，則這個數(shù)中有個，個．調(diào)整的順序使得前個數(shù)為，后個為，相應地，調(diào)整的列得到，仍為正交矩陣，且．23．設是一個階實對稱矩陣，若對于任一維列向量都有，則．證明 設，?。ǖ牡趥€坐標為，其余都是），則有， ．再?。ǖ牡趥€坐標為，其余都是，），則有，所以．綜合可得．24． 設為正定矩陣，其中,分別為階，階對稱矩陣，為矩陣．（1）計算，其中；（2）利用（1）的結(jié)果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論．解 （1）由，有．（2）矩陣是正定矩陣．由（1）的結(jié)果可知，矩陣合同于矩陣．由為正定矩陣可知，矩陣為正定矩陣．因矩陣為對稱矩陣，故為對稱矩陣．對及任意的，有，故為正定矩陣．32
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