工程高等代數(shù)答案習(xí)題六-資料下載頁
2025-06-23 01:07本頁面
【正文】 ，得．于是．對(duì)于，解方程組得特征向量，單位化得．對(duì)于，解方程組得特征向量，?。畬?duì)于，解方程組得特征向量，單位化得．故所用的正交變換矩陣為．13．判斷二次型是否正定．解 二次型的矩陣為．計(jì)算得到的任意階順序主子式，因此，二次型是正定的．14．設(shè)二次型，其中二次型的矩陣的特征值之和為，特征值之積為．（1）求的值；（2）利用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣．解?。?）二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為．設(shè)的特征值為，則，．解得．（2）由，得，于是的特征值為．對(duì)于，由，求得兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量．對(duì)于，由，求得特征向量．由于已是正交，單位化后得到正交矩陣．于是有．在正交變換下，有．15．證明二次型在時(shí)的最大（?。┲禐榫仃嚨淖畲螅ㄐ。┨卣髦担C明 設(shè)存在正交變換，將化為標(biāo)準(zhǔn)形．不妨設(shè)是的特征值中的最大值，則．由于正交變換不改變向量的長(zhǎng)度，而，所以，故．并且，可以達(dá)到上限，只要取即可．故二次型在時(shí)的最大值為矩陣的最大特征值．最小值的情形同理可證．16．設(shè)為可逆矩陣，證明是正定二次型．證明 設(shè)，由為可逆矩陣知，于是，故是正定二次型．17．設(shè)對(duì)稱矩陣為正定矩陣，證明存在可逆矩陣，使得．證明 若為正定陣，則存在正交矩陣，使得，其中，每個(gè)．而，．令，則．而均可逆，所以可逆．18．設(shè)都是階正定矩陣，證明也是階正定矩陣．證明 由于，所以，即是對(duì)稱矩陣． 又都是階正定矩陣，即對(duì)任意的非零向量，有，因此，故是階正定矩陣．19．設(shè)分別是矩陣的屬于特征值的特征向量，且，試證不可能是的特征向量．證明 由條件有．設(shè)是的某個(gè)特征值的特征向量，則．另一方面，．因此，．由于線性無關(guān)，故，矛盾．故不可能是的特征向量．20． 已知二次型的秩為2．（1）求的值；（2）求正交變換，把化成標(biāo)準(zhǔn)形；（3）求方程的解.解 （1）二次型對(duì)應(yīng)矩陣為．由二次型的秩為2知，得．（2）這里，可求出其特征值為．由，求得特征向量．由，求得特征向量．由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得．令，即為所求的正交變換矩陣．由，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．（3）由=0，得（為任意常數(shù)）．從而所求解為，其中為任意常數(shù)．21．設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且，證明存在正交矩陣使得．證明 根據(jù)定理，對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣，存在正交矩陣使得，其中是的個(gè)特征值．由于，故的特征值滿足，即．設(shè)，則這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè)．調(diào)整的順序使得前個(gè)數(shù)為，后個(gè)為，相應(yīng)地調(diào)整的列，得到，仍為正交矩陣，且．22．設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且，證明存在正交矩陣使得．證明 根據(jù)定理，對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣，存在正交矩陣使得，其中是的個(gè)特征值．由于，故的特征值滿足，即．設(shè)，則這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè)．調(diào)整的順序使得前個(gè)數(shù)為，后個(gè)為，相應(yīng)地，調(diào)整的列得到，仍為正交矩陣，且．23．設(shè)是一個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣，若對(duì)于任一維列向量都有，則．證明 設(shè)，?。ǖ牡趥€(gè)坐標(biāo)為，其余都是），則有，?。偃。ǖ牡趥€(gè)坐標(biāo)為，其余都是，），則有，所以．綜合可得．24． 設(shè)為正定矩陣，其中,分別為階，階對(duì)稱矩陣，為矩陣．（1）計(jì)算，其中；（2）利用（1）的結(jié)果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論．解 （1）由，有．（2）矩陣是正定矩陣．由（1）的結(jié)果可知，矩陣合同于矩陣．由為正定矩陣可知，矩陣為正定矩陣．因矩陣為對(duì)稱矩陣，故為對(duì)稱矩陣．對(duì)及任意的，有，故為正定矩陣．32
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