【正文】 求得模型參數(shù)。修正協(xié)方差法使用前向和后向預(yù)測誤差平均值最小的方法，估計(jì) AR 模型的參數(shù)，又稱為前向——后向法。其預(yù)測誤差的平均功率為基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)25()ppfb????式中， 和 分表表示前向和后向預(yù)測誤差功率。pf?b由數(shù)字濾波器的相關(guān)理論可知，前向線性預(yù)測誤差濾波器的系數(shù)和后向線性預(yù)測誤差濾波器的系數(shù)互為共軛。再根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則可求得修正協(xié)方差方法中的模型參數(shù)。 burg 遞推法在 YuleWalker 中需要先由信號的觀測數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，這是它的缺點(diǎn)。伯格遞推法則由信號的觀測數(shù)據(jù)直接計(jì)算 AR 模型的參數(shù)。設(shè)信號 觀測數(shù)據(jù)區(qū)間為： ，前向，后向預(yù)測誤差功率分別[]Xn01nN??用 和 表示，公式分別為：pf?b (49) 12[]Nfpf pneP???? (410)12[]bpbpn?? ()ppfb????我們已經(jīng)知道，前向，后向預(yù)測誤差公式分別為式(47)和式(48)。在這兩個公式中，信號項(xiàng)的自變量最大的是 ，最小的是 。未來保證計(jì)算范圍不超出給nn?定的數(shù)據(jù)范圍，在(49)和(410)中，選擇的求和范圍為 。1pN??為了求出 最小時的模型參數(shù)，可先求出參數(shù) ，再根據(jù)解 YuleWalke 方程p?a中導(dǎo)出的遞推公式，進(jìn)一步解出其他參數(shù)，從而可根據(jù)觀測數(shù)據(jù)直接計(jì)算 AR 模型的參數(shù)。 AR 模型法的仿真 YuleWalker 方法YuleWalker 方法的仿真程序如下：fs=200。n=0:1/fs:1?；?MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)26xn =cos (2*pi*40*n)+3*cos (2*pi*90*n)+*randn(size(n))。nfft=512。pyulear(xn,10,nfft,fs)如前所述，對于YuleWalker方法，當(dāng)數(shù)據(jù)很長，估計(jì)較準(zhǔn)確，但是當(dāng)估計(jì)數(shù)據(jù)較短時，估計(jì)誤差較大，會出現(xiàn)譜峰頻率偏移與虛假譜線的問題。YuleWalker方法的仿真圖如下：0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1003025201510505Frequency (Hz)Power/frequency (dB/Hz)Power Spectral Density Estimate via YuleWalker 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002520151050510Frequency (Hz)Power/frequency (dB/Hz)Power Spectral Density Estimate via YuleWalker 圖 41（采樣點(diǎn)為 50） 圖 42（采樣點(diǎn)為 200）從圖 41 可以看出，當(dāng)采樣點(diǎn)為 50 時，在頻率為 40Hz 處的譜峰明顯向左偏移，且在頻率為 6070Hz 之間出現(xiàn)了虛假譜峰。當(dāng)采樣點(diǎn)位 200 時，如圖 42 所示，雖然頻率為 40Hz 處的譜峰偏移不明顯，但是依然存在虛假譜峰。 協(xié)方差方法與修正協(xié)方差方法協(xié)方差方法和修正協(xié)方差方法克服了 YuleWalker 方法中存在的頻率偏移的問題且在分辨率方面有良好的性能，但虛假譜峰的問題依然沒有較好的解決。仿真程序如下：fs=200。n=0:1/fs:1。xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*41*n)+3*cos(2*pi*90*n)+*randn(size(n))。nfft=512。order=50。subplot(211)。pcov(xn,order,nfft,fs)。%AR模型協(xié)方差算法subplot(212)。pmcov(xn,order,nfft,fs)%AR模型改進(jìn)協(xié)方差算法基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)27仿真圖如下：0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10040302010010Frequency (Hz)Power/frequency (dB/Hz)Power Spectral Density Estimate via Covariance0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10040302010010Frequency (Hz)Power/frequency (dB/Hz)Power Spectral Density Estimate via Modified Covariance圖 43從上圖可以看出，協(xié)方差方法和修正協(xié)方差方法在分辨率方面的性能甚至比加窗周期圖的分辨率還要好。所以這兩種方法適合于估計(jì)正弦波的頻率，但產(chǎn)生的虛假譜峰也比較多。 burg 遞推法如前所述，burg 遞推法由于避免了由有限個數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算，因此基于 burg 遞推法的譜估計(jì)要比自相關(guān)函數(shù)法準(zhǔn)確。burg遞推法的仿真程序如下:fs=200。n=0:1/fs:1。xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*41*n)+3*cos(2*pi*90*n)+*randn(size(n))。window=boxcar(length(xn))。nfft=512。order1=50。%order1就是AR模型數(shù)學(xué)公式中的Pfigure(1)pburg(xn,order1,nfft,fs,39。half39。)%half表示單邊譜基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)280 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1004035302520151050Frequency (Hz)Power/frequency (dB/Hz)Power Spectral Density Estimate via Burg圖 44從圖 44 可以看出，burg 遞推法估計(jì)出的譜線在寬度和幅度上面的性能都要優(yōu)于 YuleWalker 方法。 AR 模型階的選擇在 AR 模型中，模型階次 的選擇是一個關(guān)鍵問題。一般模型的最好選擇是先p驗(yàn)未知的，實(shí)際中需預(yù)先選定模型的階次。選擇模型階次 時，將產(chǎn)生對譜的平kp?滑作用，降低譜的分辨率。當(dāng)選擇的模型階次較大時會出現(xiàn)虛假的頻率成分。這一點(diǎn)可由下圖說明。如圖 45，估計(jì)選擇的是階數(shù)為 50，估計(jì)的信號接近真實(shí)信號，可以分辨出頻率為 40Hz 和 41Hz 的兩個譜峰。如圖 46，估計(jì)選擇的階數(shù)是 30，此時，估計(jì)的結(jié)果對頻率為 40Hz 和 41Hz 的兩個譜峰產(chǎn)生了平滑，降低了估計(jì)的分辨率。如圖 47，估計(jì)選擇的階數(shù)是 80，雖然頻率為 40Hz 和 41Hz 的兩個譜峰較為明顯，但是其他頻率譜峰的起伏性也明顯增加，因此，增加了虛假的頻率成分。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100302520151050510Frequency (Hz)Power/frequency (dB/Hz)Power Spectral Density Estimate via YuleWalker圖 45（階數(shù)為 50）基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)290 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10035302520151050510Frequency (Hz)Power/frequency (dB/Hz)Power Spectral Density Estimate via YuleWalker0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10035302520151050510Frequency (Hz)Power/frequency (dB/Hz)Power Spectral Density Estimate via YuleWalker 圖 46（階數(shù)為 30） 圖 47（階數(shù)為 80） 在 MATLAB 的 hosa 工具箱中給出了 AR 模型的定階函數(shù)：arorder。但遺憾的是這個函數(shù)往往不能給出理想的 AR 模型的階數(shù)。一些文獻(xiàn)介紹的基于使預(yù)測誤差功率最小化的幾種選擇階數(shù)的方法也不能給出理想的階數(shù)，有時，由這幾種方法算出的階數(shù)還互不相同。因此，在缺乏先驗(yàn)信息的情況下，可以試著用不同方法確定模型的階，并對最終的譜估計(jì)結(jié)果進(jìn)行分析和選擇?；?MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)305 結(jié)論本篇論文介紹了功率譜估計(jì)的幾種常用方法，包括周期圖及其修正，BT 法，AR 模型法，給出了詳細(xì)的估計(jì)步驟和估計(jì)性能，對每一種方法及相應(yīng)的改進(jìn)方法進(jìn)行了基于 MATLAB 的仿真，并結(jié)合仿真圖進(jìn)一步討論了每種方法的估計(jì)質(zhì)量。從本篇論文可以看出，BT 法先利用觀測數(shù)據(jù)求出信號自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)量，然后對其進(jìn)行傅里葉變換，得出功率譜估計(jì)。它是功率譜密度的一致估計(jì)量，但是效率較低。周期圖法直接對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，從而求得功率譜估計(jì)，雖然效率較高，但它不是功率譜密度的一致估計(jì)，且估計(jì)性能較差，所以需要進(jìn)行平均修正。此外，為了提高譜分辨率，還進(jìn)行了加窗修正。AR 模型法有效地避免了經(jīng)典譜估計(jì)的缺點(diǎn)，且在分辨率等性能上能夠獲得較好效果。所以在實(shí)際應(yīng)用中，AR模型法被廣泛采用。基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)31致謝我要感謝邢老師和我的同學(xué)們，他們在一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)以及 MATLAB 的仿真上給我提供了有力幫助?；?MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)32參考文獻(xiàn)(1)張旭東等，離散隨機(jī)信號處理[M].北京:清華大學(xué)出版社，2022.(2)景占榮等，信號檢測與估計(jì)[M]。北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2022.(3)丁玉美等，數(shù)字信號處理——時域離散信號處理[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2022.(4)盛驟等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社，2022.(5)姚武川，姚天任，經(jīng)典譜估計(jì)方法的 MATLAB 分析[J] .華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2022，28(4).(6)黃志宇等，隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)及 MATLAB 的實(shí)現(xiàn)[J] .現(xiàn)代電子技術(shù)，2022，3(134).基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)33畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計(jì)）不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說明本論文（設(shè)計(jì)）作者完全了解**學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版和紙質(zhì)版。有 權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。學(xué)校可以公布論文（設(shè)計(jì)）的全部或部分內(nèi)容。保密的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 日期： 基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn)34注 意 事 項(xiàng)（論文）的內(nèi)容包括：1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）中文摘要（300 字左右） 、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論） 、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對論文支持必要時）：理工類設(shè)計(jì)（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于 1 萬字（不包括圖紙、程序清單等） ，文科類論文正文字?jǐn)?shù)不少于 萬字。：任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件） 。、圖表要求：1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯別字，不準(zhǔn)請他人代寫2）工程設(shè)計(jì)類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計(jì)算機(jī)繪制，所有圖紙應(yīng)符合國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準(zhǔn)用徒手畫3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁以上的雙面打印4）圖表應(yīng)繪制于無格子的頁面上5）軟件工程類課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔1）設(shè)計(jì)（論文）2）附件：按照任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂3）其它