【正文】 中人的策略。這樣，每個局中人的收益都是局勢集合上的實值函數。用表示局中人的收益函數，則當局中人采取策略，而其他人采取策略(時，局中人的收益為 。作了這些說明之后，這個人博弈便可簡便地表示成：從各個局中人的收益函數可以得到博弈的收益映射，其定義為：于是，人博弈也可表示成為：。如果對任何，都有，則稱為人零和博弈。當然，也有人常和博弈、非常和博弈的概念，其含義是明顯的。當人博弈的局勢集合有限集合時，則稱為有限博弈；否則，稱為無限博弈。本節(jié)討論人有限博弈。對于無限博弈，待留第九節(jié)中討論。設為人有限博弈，其中。當局中人1采取策略，局中人2采取策略，…，局中人采取策略時，我們把局中人的收益簡記作，即。于是，收益函數可用矩陣(維陣)表示，這個維陣也稱為局中人的收益表。同二人博弈情形一樣，局中人為了使自己的行動具有隱秘性，可采取混合策略，即以一定的概率來選擇某種純策略，這就引出了人博弈的混合擴充概念。局中人以概率選擇純策略，則概率分布表示著局中人的一種混合策略。所有可能的混合策略構成了局中人的混合策略集合： 是歐氏空間的非空有界閉凸子集。純策略可看作局中人以概率1選擇，以概率0選擇其他策略的這么一種混合策略，因此。當局中人1選擇了混合策略，局中人2選擇了混合策略，…，局中人選擇了混合策略時，構成博弈的一個混合局勢。由所有這些混合局勢組成的集合：稱為博弈的混合局勢集合。顯然，混合局勢集合擴大了原來的局勢集合，即，并且是歐氏空間中的非空有界閉凸子集。在混合局勢下下，局中人的預期收益為：可見預期收益是混合局勢集合上的一個實值連續(xù)函數，并且具有重線性性，即關于每個都是線性的：對任何及任何實數，都有在混合策略的意義下，局中人追求的是預期收益的最大化，因此代表著一個人博弈，稱為純策略博弈的混合擴充。作了上面一般性描述之后，表面上看似乎人博弈只是局中人數的增加。其實，事實并非如此。一方面，人博弈繼承了二人博弈的一些性質，因而是二人博弈的推廣。另一方面，人博弈絕不是簡單地增加局中人數，它與二人博弈有著本質的不同。這種質的區(qū)別，表現為局中人之間的合作與非合作。人非合作博弈是矩陣博弈的推廣，但人合作博弈則表現出十分復雜的性態(tài)。下面我們來討論人非合作博弈中局中人的最優(yōu)選擇問題。二．納什均衡在人博弈中，如果局中人之間沒有形成任何的合作聯盟，每個局中人都是獨立地選擇自己的策略，那么這樣的博弈就稱為人非合作博弈。前節(jié)討論的矩陣博弈是典型的非合作博弈，其特點是參加博弈的局中人雙方利害沖突，不是你輸，就是你贏，沒有任何調和的余地。矩陣博弈中局中人之間不會產生聯盟，因為一旦出現聯盟，就不能成為博弈。人非合作博弈，繼承了矩陣博弈的這一特點，即局中人獨立行動，獨自決策，但每個人的收益都與各個局中人的行動有關，每個人的目標都是要在其他局中人行動已定的情況下使自己的收益達到最大。這樣，人非合作博弈的最優(yōu)解就是矩陣博弈最優(yōu)解概念的推廣。設是人純策略博弈的混合擴充，其中 。博弈是非合作的，即的各個局中人獨自行動，獨自選擇自己的純策略和混合策略。對于的任何一個混合局勢以及局中人的任何一個混合策略，在混合局勢中把局中人的策略用替代，其他局中人的策略不變，這樣就得到一個新的混合局勢：顯然的含義是說，在其他局中人選擇策略的情況下，局中人選擇了策略。局中人作出這種選擇的預期收益為?；旌暇謩萁凶鲈诨旌喜呗砸饬x下的最優(yōu)解（即的最優(yōu)解），是指對每個局中人以及對任何混合策略，都有。當是博弈在混合策略意義下的最優(yōu)解時，也稱是的最優(yōu)混合解或混合均衡或混合納什均衡或混合古諾納什均衡，或者叫做的均衡或納什均衡或古諾納什均衡。均衡中的策略，就叫做局中人的最優(yōu)混合策略。顯然，混合局勢是的混合均衡當且僅當對一切成立。這正是博弈均衡的含義之所在，用通俗的話來說就是，在均衡點處，任何局中人都不能從單方面改變策略來提高自己的收益。納什均衡存在嗎？對此，我們作一分析。對于任何混合局勢，令即表示在其他局中人選擇策略的情況下，使局中人的收益達到最大的策略的全體。顯然，只與局勢中其他局中人的策略有關，而與局中人的策略無關。稱為局中人對其他局中人的行動的反應集合。由于是的連續(xù)函數，且是的非空有界閉子集，因此函數在上必有最大值，這就保證了反應集合是非空集合，而且還是閉集合。記這實際上給出了一個從混合局勢集合到的集值映射。稱這個集值映射為博弈的反應集值映射。容易看出，混合局勢是博弈的混合納什均衡當且僅當，即當且僅當是反應集值映射的不動點。可見，納什均衡的存在性問題，歸結為集值映射的不動點問題。下面的角古定理給出了集值映射不動點存在的條件。角古不動點定理(Kakutani39。s Fixed Point Theorem)．設是有限維歐氏空間的非空有界凸閉子集，是集值映射。如果上半連續(xù)，并且對任何，都是非空凸閉集，那么必有不動點，即存在使得。這條定理是角古靜夫(Kakutani)在1941年證明的，它是對Brouwer不動點定理(1911)的推廣。從該定理可知，為了說明納什均衡的存在性，只需驗證上面定義的集值映射滿足角古不動點定理的條件。首先，前面已經指出，混合局勢集合是歐氏空間的非空有界凸閉子集，并且是非空閉集，因此也是非空閉集。其次，預期收益函數的重線性性保證了是凸集，因而也是凸集。最后，應用第四章第一節(jié)關于集值映射上半連續(xù)性的定理來說明的上半連續(xù)性，即來證明下述事實：對于任何和，以及序列和，如果收斂于并且收斂于，則。記,，, ?，F在，已知，且。就是說，也即對每個局中人以及任何，都有。令，則從的連續(xù)性可知，對一切局中人和一切成立。這說明，即。的上半連續(xù)性得證。至此，反應集值映射滿足角不動點古定理的全部條件，所以有不動點。這就得到下面的納什均衡存在性定理。納什均衡存在定理(Nash,1950)．任何人有限純策略博弈在混合策略意義下必有最優(yōu)解，即混合納什均衡必然存在。下面，我們給出用純策略來判斷混合納什均衡的一個簡便辦法。納什均衡的簡化．設是人純策略博弈博弈的混合擴充，其中。是的混合納什均衡當且僅當對每個局中人及任何策略都成立。證明：必要性是顯然的，以下證明充分性。為此，設對每個局中人及任何純策略都成立。注意，因此，對每個局中人以及對任何混合策略，都有這就證明了是的混合納什均衡。證完。從以上討論可以看出，對于非合作博弈而言，人博弈和二人博弈的情況差不多。進一步，同二人博弈一樣，由于均衡的不唯一，人博弈也有相應的占優(yōu)策略、半占優(yōu)策略和被占優(yōu)策略這些相應的概念，也要對被占優(yōu)策略進行剔除，最好是能夠找到占優(yōu)均衡，最后使納什均衡得以精化，使均衡數目得以減少。然而在尋找人非合作博弈最優(yōu)解問題的研究上，迄今為止取得的實質性進展并不很大，遇到的困難主要是概念性的，因而還不能完全拋棄納什均衡的基本思想，去從一個新的角度來研究非合作博弈。第八節(jié) 多人合作博弈現實生活中，多人博弈常常出現于這樣的情況下：局中人之間具有合作的動機或行動，他們彼此交換情報，互換信息，協調行動，事先商量如何選擇策略，以便取得對自己有利的結果。這種相互配合，團結一致，彼此協作的現象，就是合作博弈的原型。由于存在合作的動機或行動，因此一部分局中人會結成聯盟，在博弈中采取一致行動，并且最終把聯盟所得的收益重新分配給聯盟的各個成員。那么，在一個博弈中，哪些人結成聯盟？如何聯盟？聯盟中各個局中人采取什么行動才是恰當的，什么行動是有害的？諸如此類的這些問題，都是博弈論中應研究的問題。博弈論的近期發(fā)展中，對合作博弈的研究是一個十分豐富和活躍的領域。本節(jié)討論人合作博弈，重點介紹馮諾伊曼(von Neumann)建立的理論。一．特征函數在人合作博弈中，各個局中人如何選擇策略已不是主要考慮的問題，應當強調的乃是聯盟的形成。在現實生活中，結成聯盟的形式是多種多樣的，因而也是十分復雜的。聯盟的形成可能是由局中人的收支情況決定的，也可能是由某些政治的、感情的、心理的因素等來決定的?？傊?，如要討論形成聯盟的原因，那這就是一個相當復雜的問題。這里，我們的重點不應放在形成聯盟的原因討論上，而應強調聯盟的形成。我們認為，在一個聯盟內，既然這些局中人已經結盟，他們之間就可以充分交換意見，傳遞信息，采取彼此協調的行動。關于合作博弈與聯盟問題，馮諾伊曼建立的理論，尤其是他提出的特征函數概念，成為這方面研究的基石。馮諾伊曼理論包含了一些有發(fā)展前途的、合理的內容，在此基礎上進一步討論和發(fā)展新的理論，無疑是相當有作用的。對于具體的博弈現象而言，馮諾伊曼理論可用來指導各個局中人的行動，并對博弈現象進行解釋。而馮諾伊曼的特征函數的重要性，正如馮諾伊曼所說：“我們希望把人零和競賽的全部理論建立在這個函數的基礎之上”，這里所說的競賽，就是我們所講的博弈。下面我們將會看到，通過特征函數可以把有關局中人之間的聯盟，每一個聯盟之內局中人之間進行的補償，以及兩個聯盟之間的合并與斗爭等問題，都能確定下來。(一) 聯盟設是人純策略有限博弈的混合擴充。用表示博弈的局中人集合。局中人之間的相互合作，表現為局中人的結盟，也即一部分局中人形成聯盟。當然，這個聯盟就是局中人集合的一個子集。經濟學分析局中人的結盟時，著眼點并不放在分析這個聯盟是出于何種原因形成的。聯盟的特征在于它表現為的子集，因此可以把的任何一個子集都叫做聯盟。這就給出下面的定義：定義．博弈中的一個聯盟是指局中人集合的一個子集。在這個定義中，以下三點值得注意：第一，如果是聯盟，那么的余集也是聯盟，稱為聯盟的余聯盟。因此，任何一個聯盟都把局中人分成了兩個聯盟，一個是，另一個是余聯盟。第二，全部局中人的集合和空集都可看作聯盟，并且和互為余聯盟。我們把空集稱為空聯盟。第三，只含一個局中人的集合(即的單點子集)也是聯盟，叫做單人聯盟。這是聯盟的特殊情形，實際上單人聯盟并沒有真正的結盟意義?，F在，設是博弈中的一個聯盟。為了書寫上的方便，記，即用表示的余聯盟。把局中人分成兩個聯盟和，聯盟中各個局中人在選擇策略時互通信息，彼此合作，協調行動。同樣，聯盟中各個局中人也是如此。這樣一來，我們可把當做博弈的局中人甲，而把當做博弈的局中人乙來看待。按照這種觀點，原來的人博弈就變成了一個只有兩個局中人甲和乙的二人純策略博弈：，其中。博弈的局勢集合可看成的局勢集合，之所以可以這樣看待，是因為。的局勢可看成是的局勢，其中是由聯盟的各個成員在局勢中采取的策略構成的，是由的各個成員在局勢中采取的策略構成的。的收益函數可視為：；的收益函數可視為：。于是，我們得到如下事實：博弈的任何聯盟都把變成為一個可等同看待的二人博弈，其中為的余聯盟。聯盟能把博弈變成為二人博弈，同樣也能把的混合擴充變成為二人博弈。注意，二人博弈又有自己的混合擴充。因此，我們需要討論和之間的關系，主要是看和是否是同樣的博弈。為了書寫上的方便，不放設，其中。則我們有以下的表示：其中。由此可見，(1) 對于，令,則；(2) 對于，從下面方程組求解出所有的：則， ，從而；(3) 對于，令,則；(4) 對于，從下面方程組求解出所有的：則， ，從而。以上結論說明，與可等同看待，與可等同看待。下面再來看一下博弈和的收益情況。在變換下，的局勢可與的局勢等同看待。因此，對于任何，都有：這說明與可等同看待，與可等同看待。既然博弈和的局勢集合與收益函數都可等同看待，和就是同樣的博弈。這樣，我們就可把和統一寫成：。所以，聯盟在把人博弈變成為二人博弈的同時，也把的混合擴充變成為二人博弈的混合擴充。(二)特征函數的概念與性質通過聯盟，人博弈化簡為二人博弈，由此可引出博弈的特征函數概念。定義．設是人博弈的混合擴充，是的局中人集合，為的冪集，即由中的所有聯盟組成的集合。對于任一聯盟,，把看成由和構成的二人博弈，則。令則定義了集合上的一個實值函數，稱這個函數為博弈的特征函數。當為人零和博弈時，通過聯盟，變成為二人博弈?？梢钥闯?，和也都是零和博弈，并且就是的博弈值(參見上一節(jié)的內容)?？梢?，特征函數概念是博弈值概念的推廣。對于一般的人博弈而言，特征函數的值表達了聯盟在博弈中至少可以得到的收入，即不論聯盟外的局中人采取什么行動，聯盟得到的收入不會低于。下面，我們看一看特征函數的性質。性質1. 對于空聯盟來說。這是因為空聯盟中一個局中人也沒有，因而不會有收入或支出的發(fā)生，即。性質2. 若且，則。這是因為 表示和不合作時聯盟至少能得到的收入，而表示和合作時至少能得到的收入，從而必有。這里，我們應用有關特征函數的直接意義給出了性質2的證明，這種證明容易化為根據特征函數的精確定義進行的證明。從直接意義出發(fā)的證明，能讓我們更清楚地看到問題的本質所在，簡單明了，避免了繁雜的演算，而且不存在任何本質上的困難。如果把性質2中的不等式換為等式，即要求特征函數滿足：對任何不相交的，都有，那么就稱具有可加性。對于具有可加性的特征函數來說，由于單點集也是聯盟，并且，因此。這表明：當特征函數具有可加性時，局中人結盟與不結盟沒有什么差別?？梢?，在合作博弈研究中，特征函數的可加性不能揭示合作的意義，因而人們對可加性并不感興趣。鑒于此，凡是特征函數具有可加性的博弈，都稱為是非本質博弈。人們感興趣的是本質博弈。性質3. 當為零和博弈時，對任何，都有。特別是當時。這是因為，當為零和博弈時，通過聯盟所轉化成為的二人博弈及其混合擴充也都是零和博弈，故聯盟的收入就是余聯盟的支出，即。為什么把如上定義的函數叫做博弈的特征函數？一般來說，特征二字是不能隨便使用的。如果說一種性質是某個對象的特征，那么這種性質就要能夠完全刻劃這個對象。特征函數能夠完全刻劃博弈嗎？下面的性質4肯定地回答了這個問題。性質4. 設，滿足條件：且對一切不相交的成立，則存在一個人有限博弈使得正好是的特征函數。進一步，如果還滿足條件：對一切成立，那么必存在一個人有限零和博弈使得正好是的特征函數。這條性質的證明過于復雜，這里就不去證明了。本性質表明，我們可以不聯系任何具體的博弈，只從滿足這兩個或三