【正文】 需求函數(shù)。那么，需求弱公理也能夠從個(gè)人需求傳遞給總需求嗎？我們來在有收入分配法則的情況下討論這個(gè)問題。為了更加具體和討論上方便起見，設(shè)收入分配的具體法則為：，其中為非負(fù)常數(shù)，且，即為消費(fèi)者得到的收入占經(jīng)濟(jì)的總收入的比例，并且假定了這個(gè)比例與價(jià)格體系無(wú)關(guān)。在這種收入分配法則下，總需求映射僅僅是關(guān)于價(jià)格和總收入的映射：其中為消費(fèi)者的需求映射。總需求映射滿足需求弱公理，就是說對(duì)任何和，如果且，則。我們指出，即使在這樣簡(jiǎn)單和具體的收入分配法則下，總需求也不一定滿足需求弱公理。下面的事例說明了這一點(diǎn)。 ? ? ? ? ? ? 圖44 不滿足需求弱公理的總需求例1. 不滿足需求弱公理的總需求假定只有兩種商品和兩個(gè)消費(fèi)者，并且總收入在這兩個(gè)消費(fèi)者之間平均分配，即收入分配法則為。設(shè)價(jià)格體系從變到，而經(jīng)濟(jì)的總收入未變。在價(jià)格體系下,消費(fèi)者1和2的需求向量分別為和,總需求為；在價(jià)格體系下，消費(fèi)者1和2的需求向量分別為和，總需求為。如圖44所示，消費(fèi)者1和2的需求映射和都服從需求弱公理，并且，。于是，且。圖44顯示的結(jié)果是：,且。因此，,且。這說明總需求不滿足需求弱公理。此例中的總需求不滿足需求弱公理的原因，在于收入變動(dòng)效應(yīng)。根據(jù)上一節(jié)命題3(2)，總需求滿足弱公理當(dāng)且僅當(dāng)需求滿足需求補(bǔ)償法則，即當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何和，只要且，就有。既然各個(gè)消費(fèi)者的需求都滿足弱公理，因此對(duì)于價(jià)格和總收入從到的變化，只要每個(gè)消費(fèi)者都能得到補(bǔ)償,即只要,就有，且該嚴(yán)格不等式在時(shí)成立，從而，且該嚴(yán)格不等式在某個(gè)時(shí)成立。由此可見，總需求能否滿足需求補(bǔ)償法則，關(guān)鍵在于對(duì)于價(jià)格和總收入的補(bǔ)償變化來說，補(bǔ)償?shù)仁侥懿荒鼙ＷC各個(gè)消費(fèi)者的補(bǔ)償?shù)仁匠闪?。顯然，這是不能保證的，即總量上得到補(bǔ)償并不意味著各個(gè)消費(fèi)者都得到補(bǔ)償。因此，未必能夠成立。這就是總需求未必滿足弱公理的原因所在。找到了原因，我們是否可以對(duì)總需求施加一些限制條件，使得需求弱公理能夠從個(gè)人需求傳遞到受限制的總需求？答案是肯定的。我們從對(duì)需求補(bǔ)償法則的分析著手，把該則的使用范圍擴(kuò)大，即提出如下的需求無(wú)補(bǔ)償法則。定義(需求無(wú)補(bǔ)償法則). 需求映射叫做服從需求無(wú)補(bǔ)償法則(unpensated law of demand, ULD)，是指對(duì)任何價(jià)格體系和以及任何收入，只要,就有。就像上一節(jié)對(duì)需求弱公理的討論一樣，下面命題對(duì)讀者來說應(yīng)該能夠想到。命題2. 設(shè)為可微的需求映射,。則(1) 如果服從需求無(wú)補(bǔ)償法則，則對(duì)任何價(jià)格體系及收入，矩陣半負(fù)定。(2) 如果對(duì)任何，矩陣都負(fù)定，則服從需求無(wú)補(bǔ)償法則，并且只要，就有。(1)的證明：對(duì)于任何,以及對(duì)于價(jià)格體系的任意微小變動(dòng),設(shè)是需求發(fā)生的相應(yīng)變動(dòng)。則根據(jù)需求無(wú)補(bǔ)償法則。注意，收入沒有變動(dòng)，即。于是，我們有：從而，這說明是半負(fù)定的矩陣(因?yàn)槭侨我饨o出的微小變動(dòng))。(2)的證明：對(duì)任何，及任何，令則,。注意，在上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可微。根據(jù)微分中值定理，存在滿足。計(jì)算可得：其中是在處計(jì)算的。根據(jù)題設(shè)，是負(fù)定的。于是從便知。這說明并且服從需求無(wú)補(bǔ)償法則。證完。下一命題說明了需求無(wú)不長(zhǎng)發(fā)則與需求弱公理之間的關(guān)系。命題3. 設(shè)為需求映射，并且滿足零階齊次性和瓦爾拉法則。如果服從需求無(wú)補(bǔ)償法則，則滿足需求弱公理。證明：任意給定和,欲證。為此，令。根據(jù)的零階齊次性。既然服從需求無(wú)額補(bǔ)償法則，所以對(duì)于來說。根據(jù)瓦爾拉法則，且；再根據(jù)題設(shè)。于是，我們有這就證明了。證完。把命題3的結(jié)論應(yīng)用于總需求映射，我們得到下一個(gè)命題，從而解決總需求與弱公理之間的關(guān)系問題。命題4. 設(shè)為消費(fèi)者的需求映射，并且服從收入分配法則，其中表示總收入。如果各個(gè)消費(fèi)者的需求映射都滿足需求無(wú)補(bǔ)償法則，則總需求映射也滿足需求無(wú)補(bǔ)償法則。進(jìn)而如果各個(gè)消費(fèi)者的需求映射還滿足零階齊次性和瓦爾拉法則，則總需求滿足需求弱公理。證明：首先證明總需求滿足需求無(wú)補(bǔ)償法則。為此，設(shè)和是任意給定的價(jià)格體系，是任意給定的總收入，滿足條件。欲證：。當(dāng)價(jià)格從變到時(shí)，總收入沒有變動(dòng)，從而各個(gè)消費(fèi)者的收入也沒有變。既然服從需求無(wú)補(bǔ)償法則，我們有。再?gòu)目芍?，存在使得。?duì)于這個(gè)消費(fèi)者來說，我們有嚴(yán)格不等式：。這就說明：所以，總需求滿足需求無(wú)補(bǔ)償法則。進(jìn)而由各個(gè)的零階齊次性和瓦爾拉法則可知，總需求映射也是零階奇次的，并且滿足瓦爾拉法則。于是根據(jù)命題3，總需求滿足需求弱公理。證完。需求無(wú)補(bǔ)償法則的要求究竟有多強(qiáng)？顯然，效用最大化法則并不能保證消費(fèi)者個(gè)人需求服從這個(gè)法則，從而不能保證經(jīng)濟(jì)的總需求滿足需求弱公理。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)消費(fèi)者的偏好具有同比性質(zhì)時(shí), 基于偏好的消費(fèi)者需求就服從需求無(wú)補(bǔ)償法則。所謂偏好具有同比性(homothetic property)，是指對(duì)于任何及任何實(shí)數(shù)，若，則。什么樣的偏好才能具有同比性呢？容易看到，當(dāng)偏好關(guān)系能夠用(階)齊次效用函數(shù)來表示時(shí)，該偏好就是同比偏好?？梢姡ＷC消費(fèi)者需求服從需求無(wú)補(bǔ)償法則，進(jìn)而保證總需求滿足弱公理的偏好同比性要求，對(duì)消費(fèi)者個(gè)人來說并不算過強(qiáng)。三. 消費(fèi)者代表討論了在什么條件下總需求能夠表達(dá)成價(jià)格和總收入的函數(shù)這個(gè)問題，接著要問：作為價(jià)格和總收入的函數(shù)的總需求，能否看成是某個(gè)虛構(gòu)的消費(fèi)者的需求？如果這個(gè)問題能夠得到肯定的回答，那么這個(gè)虛構(gòu)的消費(fèi)者的偏好關(guān)系就可用于分析社會(huì)福利問題。我們還是從收入分配法則出發(fā)來做分析。在這個(gè)法則下，總需求是價(jià)格和總收入的函數(shù)，即其中是消費(fèi)者的需求映射。值得牢記的是，總需求映射同收入分配法則有關(guān)。消費(fèi)者代表是一個(gè)虛構(gòu)的消費(fèi)者，實(shí)際上并不存在這個(gè)人，但經(jīng)濟(jì)的總消費(fèi)就好像發(fā)生在了這個(gè)虛構(gòu)的人身上，即總消費(fèi)活動(dòng)就好像是虛構(gòu)的消費(fèi)者代表在活動(dòng)。從這個(gè)意義上講，消費(fèi)者代表是從對(duì)整體經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的分析出發(fā)而虛構(gòu)出來的，是從實(shí)證意義上虛構(gòu)的消費(fèi)者。虛構(gòu)消費(fèi)者代表的作用主要是分析經(jīng)濟(jì)福利問題，而經(jīng)濟(jì)福利屬于規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)的范疇。這樣，我們還需要討論實(shí)證意義上的消費(fèi)者代表的規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。把消費(fèi)者代表從實(shí)證意義和規(guī)范意義上加以區(qū)分，這對(duì)于正確理解消費(fèi)者的概念是很有幫助的。我們把消費(fèi)集合限制成商品空間的第一掛限，即。如果存在上的偏好關(guān)系，使得總需求映射稱為基于偏好的需求映射，則稱存在著實(shí)證意義上的消費(fèi)者代表。這個(gè)消費(fèi)者代表的消費(fèi)集合就是，偏好關(guān)系就是。因此，可用或來表示這個(gè)消費(fèi)者代表。消費(fèi)者代表的預(yù)算集合為。為了討論消費(fèi)者代表的社會(huì)福利意義，需要首先對(duì)社會(huì)福利這一術(shù)語(yǔ)的具體含義作出解釋。為此，我們引入社會(huì)福利函數(shù)的概念。直觀上講，社會(huì)福利函數(shù)是一個(gè)把所有消費(fèi)者個(gè)人獲得的效用水平綜合成為社會(huì)福利指標(biāo)的函數(shù)。嚴(yán)格地講，即下面的定義。定義(社會(huì)福利函數(shù)). 社會(huì)福利函數(shù)是這樣的函數(shù)，它給全部個(gè)消費(fèi)者的每一種可能的效用水平向量都指定了相應(yīng)的一個(gè)效用值(效用指標(biāo))。社會(huì)福利函數(shù)準(zhǔn)確表達(dá)了社會(huì)根據(jù)個(gè)人消費(fèi)水平所作出的社會(huì)福利水平評(píng)價(jià)。下面，我們講假定社會(huì)福利函數(shù)是可微的遞增凹函數(shù)。政府實(shí)施收入再分配政策的目的，是要提高社會(huì)福利。收入再分配，就是把既定的總收入按照另外一種收入分配法則分配給各個(gè)消費(fèi)者。因此，既定總收入下的社會(huì)福利最大化問題，就成為確定一種收入分配法則，使得達(dá)到最大。準(zhǔn)確地講，設(shè)消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為，為社會(huì)福利函數(shù)，為既定的總收入，為既定的價(jià)格體系，則社會(huì)福利最大化問題成為選擇一種收入分配，使得在約束條件下使達(dá)到最大值。用數(shù)學(xué)公式表示社會(huì)福利最大化問題，即社會(huì)福利最大化問題的解，定義了一個(gè)社會(huì)件間接效用函數(shù)，即下面命題說明，這個(gè)社會(huì)間接效用函數(shù)保證了存在著消費(fèi)者代表。命題5. 設(shè)收入分配法則解決了社會(huì)福利最大化問題，即對(duì)任何價(jià)格體系和任何總收入，該收入分配法則確定的收入分配都是社會(huì)福利最大化問題的解。則由該解所確定的函數(shù)是總需求的消費(fèi)者代表的間接效用函數(shù)。我們就不證明這個(gè)命題了，下面對(duì)這個(gè)命題的意義進(jìn)行說明。該命題說明，只有當(dāng)收入分配法則能夠解決社會(huì)福利最大化問題時(shí)，消費(fèi)者代表所代表的社會(huì)福利水平才達(dá)到最高，因而這樣的消費(fèi)者代表才具有社會(huì)福利意義。一般的消費(fèi)者代表，不能真正反映經(jīng)濟(jì)社會(huì)的福利水平，因而意義平淡?？磥恚覀儜?yīng)該對(duì)這種代表最高社會(huì)福利水平的消費(fèi)者代表給予充分的重視。鑒于此，我們把這種消費(fèi)者代表稱為規(guī)范意義上的消費(fèi)者代表。這也再次告訴我們，只有那些“最優(yōu)”的收入分配才有意義，只有最高社會(huì)福利水平才能代表社會(huì)福利水平。另外，規(guī)范意義上的消費(fèi)者代表寓所用的社會(huì)福利函數(shù)有密切關(guān)系。如果社會(huì)福利函數(shù)改變了，那么規(guī)范意義上的消費(fèi)者代表也就要改變。例2. 同比性偏好與消費(fèi)者規(guī)范代表設(shè)各個(gè)消費(fèi)者偏好都有用一階齊次效用函數(shù)表示的同比性偏好，而且社會(huì)福利函數(shù)具有如下形式：其中,。則可以證明，最優(yōu)的收入分配法正是我們?cè)谇懊娌捎玫哪欠N與價(jià)格無(wú)關(guān)的收入分配法則：。因此，在同比偏好的情況下，總需求可看成是這種社會(huì)福利函數(shù)下的消費(fèi)者規(guī)范代表的需求。例3．戈?duì)柭问脚c消費(fèi)者規(guī)范代表設(shè)各個(gè)消費(fèi)者具有戈?duì)柭问降拈g接效用函數(shù)。則從命題1可知，總需求僅僅是價(jià)格和總收入的函數(shù)，而且函數(shù)形式與收入分配無(wú)關(guān)。假定社會(huì)福利函數(shù)具有可加形式，即，也即社會(huì)效用是各個(gè)消費(fèi)者獲得的效用之總和。則可以證明，任何收入分配都是社會(huì)福利最大化問題的解，并且社會(huì)間接效用函數(shù)為。因此，總需求總可以看成是消費(fèi)者代表的需求，而且這個(gè)消費(fèi)者代表總是規(guī)范意義上的消費(fèi)者代表。更為值得一提的是，可以證明，當(dāng)各個(gè)消費(fèi)者具有戈?duì)柭问降男в煤瘮?shù)并擁有共同的收入系數(shù)時(shí)，消費(fèi)者代表的偏好與社會(huì)福利函數(shù)無(wú)關(guān)。而這在一般情況下并不成立。我們知道，一般情況下消費(fèi)者代表的偏好依賴于具體給定的社會(huì)福利函數(shù)?？梢?，戈?duì)柭问綄?duì)于消費(fèi)者代表具有重要意義。最后，我們?cè)購(gòu)?qiáng)調(diào)一下消費(fèi)者代表的實(shí)證意義和規(guī)范意義的區(qū)別。規(guī)范意義上的消費(fèi)者代表必然是實(shí)證意義上的消費(fèi)者代表，但是并非任何實(shí)證意義上的消費(fèi)者代表都具有規(guī)范意義。有可能出現(xiàn)這種情況：實(shí)證意義上的消費(fèi)者代表是存在的，但是沒有一個(gè)社會(huì)福利函數(shù)能夠使得這個(gè)消費(fèi)者代表成為該社會(huì)福利函數(shù)下具有規(guī)范意義的消費(fèi)者代表。第四章練習(xí)1. 設(shè)消費(fèi)者的消費(fèi)集合為，效用函數(shù)為，其中為常數(shù)，且。求該消費(fèi)者的替代矩陣，并證明不是負(fù)定的，而只能是半負(fù)定的矩陣。2. 解釋的經(jīng)濟(jì)含義，其中為需求映射。3. 設(shè)消費(fèi)集合滿足假設(shè)HC，效用函數(shù)滿足假設(shè)HP和HU，且強(qiáng)擬凹。為消費(fèi)者的馬歇爾需求映射，為?？怂剐枨笥成?，為消費(fèi)支出函數(shù)。假定消費(fèi)者均衡都在消費(fèi)集合內(nèi)部實(shí)現(xiàn)，即對(duì)任何，都有。證明：對(duì)任何及，(1) ；(2)處的替代效應(yīng)系數(shù)必然滿足：。4．設(shè)是基于選擇的需求集映。證明：(1) 如果對(duì)某個(gè)，有，那么。(2) 對(duì)于任何，如果，則存在使得且。5．設(shè)是基于選擇的需求集映，且滿足需求弱公理。證明：(1) 對(duì)任何及任何，若且，則。(2) 對(duì)于任何及任何，如果但，則。(3) 對(duì)任何，若，則不能成立。6．設(shè)為瓦爾拉需求映射。證明在任何點(diǎn)處的各種需求彈性之和為零。7．考慮如下定義的需求映射：(1) 當(dāng)時(shí)，是否滿足零階齊次性和瓦爾拉法則？當(dāng)時(shí)，情況又如何？(2) 設(shè)且。計(jì)算的替代效應(yīng)矩陣，并證明當(dāng)時(shí)時(shí)半負(fù)定的，但不是對(duì)稱的。8．設(shè)為瓦爾拉需求映射，且滿足需求弱公理。證明：具有對(duì)稱的替代矩陣。9．設(shè)為基于連續(xù)效用函數(shù)的需求映射，是這個(gè)需求系統(tǒng)下的支出函數(shù)，即。證明：(1) 是效用水平的嚴(yán)格遞增函數(shù)；(2) 是價(jià)格的遞增、凹、連續(xù)的函數(shù)；(3) 。10．設(shè)需求映射為：。(1) 是否滿足零階齊次性？(2) 是否滿足瓦爾拉法則？(3) 是否滿足需求弱公理？(4) 計(jì)算該需求映射的替代效應(yīng)矩陣。該矩陣是負(fù)定的嗎？正定嗎？對(duì)稱嗎？11．證明：對(duì)任何滿足條件的收入變動(dòng)成立的充分必要條件是：對(duì)任何商品任何兩個(gè)消費(fèi)者和，都有。這里代表總需求，為消費(fèi)者的需求映射，且。12．設(shè)經(jīng)濟(jì)中至少有兩個(gè)消費(fèi)者。證明：總需求只與價(jià)格體系和總收入有關(guān)的充分必要條件是：各個(gè)消費(fèi)者的需求映射都具有形式，其中是一個(gè)只與有關(guān)，且對(duì)每個(gè)消費(fèi)者都一樣的向量。13．設(shè)為消費(fèi)者的需求映射。假定各個(gè)消費(fèi)者都具有戈?duì)柭问降拈g接效用函數(shù)，其中是一個(gè)只與有關(guān)，且對(duì)每個(gè)消費(fèi)者都一樣的變量。證明：對(duì)于任何價(jià)格向量、任何商品、及任何消費(fèi)者和，都有。14．證明：如果各個(gè)消費(fèi)者的需求映射都服從瓦爾拉法則，則總需求映射也服從這個(gè)法則。15．解釋社會(huì)福利函數(shù)是遞增的凹函數(shù)這一假定的經(jīng)濟(jì)含義。