【正文】 生的收益將、分別對p、q求偏導(dǎo)，令值為0，有故，即該博弈的混合策略納什均衡是男生以的概率、女生以的概率分別選擇看足球賽和演唱會。，其生產(chǎn)函數(shù)為Q=2L，其中L為生產(chǎn)中使用的勞動力數(shù)量。若該企業(yè)的需求函數(shù)為Q=110P，勞動的供給函數(shù)為L=。求生產(chǎn)者的產(chǎn)量為多少？在此產(chǎn)量下，勞動使用量L，商品價格P和工資W各為多少？（第十二章，題7）解：,；， 時，利潤達到最大時利潤達到最大。她的效用來自于休閑時間R和收入I，她工作一小時的工資率為，她一天的效用函數(shù)為。（1）給出這個消費者的勞動供給函數(shù)。（第十二章，題9）（2）她工作的時間會隨著工資率的增加而增加嗎？（3）不管工資率有多高，她的工作時間有一個極限嗎？解：（1）消費者的目標是效用最大化，即 所以，令得消費者的勞動供給函數(shù)為(2)因為所以該消費者工作的時間會隨著工資率的增加而增加。(3) 由于可得不管工資率有多高，她的工作時間不會超過12小時。，乙有200單位y，兩人的效用函數(shù)都是。請推導(dǎo)出所有滿足帕累托有效的配置。兩人通過交換達到帕累托有效配置，求出兩人進行交換的價格體系，并求出交換結(jié)果。（第十三章，題2）解：（1）設(shè)甲乙兩人的消費束為：甲（x1，y1），乙（x2，y2）。約束條件為： （1）帕累托有效配置的條件是甲乙兩人的無差異曲線相切，即即于是我們有 （2）聯(lián)立（1）、（2）得：因此，所有滿足怕累托有效配置的契約線為（2）令x價格為1，y的價格為p，先求甲的效用最大化條件： 解得：，再求乙的效用最大化條件： 解得：，由第（1）問中的契約線方程可求解出此時，。消費者的初始稟賦。消費者A的初始稟賦和效用函數(shù)分別為和；消費者B的初始稟賦和效用函數(shù)分別為和。商品1和2的價格分別用和來表示。（1）求競爭均衡（提示：在計算競爭均衡時可把商品1的價格標準化為1）。（2）假設(shè)，使市場出清的價格水平和均衡消費量分別為多少？（第十三章，題4）解：（1）消費者A的效用最大化問題為：解得 （1）消費者B的效用最大化問題為：解得 （2）市場出清的條件為 （3） （4）令，由（1）、（2）、（3）、（4）可得：，，（2）當，時，市場出清的價格水平為（A）和小李（B）的效用函數(shù)分別為： （1）請針對兩人分別寫出x對y的邊際替代率公式。（2）如果交易通過價格體系來實施，請寫出均衡時的（可行的）價格比率。（3）假定共有100單位的x和200單位的y。最初，小王有25單位的x和75單位的y，而小李有75單位的x和125單位的y。請說明經(jīng)過市場交易后，均衡時兩人分別擁有的兩種商品的數(shù)量。（第十三章，題5）解：(1)小王(A)的對的邊際替代率公式為小李(B)的對的邊際替代率公式為(2)如果交易通過價格體系來實施，均衡時的價格比率必須滿足條件： 所以均衡時的價格比為(3)小王的初始稟賦配置為：，小李的初始稟賦配置為：。假設(shè)經(jīng)過市場交易后，均衡時兩人擁有的商品的數(shù)量組合分別為。均衡時，即， ①由（1）可得，均衡時，所以 ②同時，小王和小李必須滿足各自的預(yù)算約束： ③ ④由(2)得，所以③、④兩式可化簡為 ⑤ ⑥綜合①、②、⑤、⑥四式可得均衡時兩人分別擁有的商品數(shù)量為：，(4)圖略。，他們的效用來自看電視的時間x與所吃的零食量y。效用函數(shù)由下式給出 （i=1, 2）又假定每個人要花30元，元，元，并且假定兩人是一起看電視的（禁止單獨收看電視）。問：這兩個人該如何配置自己的收入，才符合薩繆爾森規(guī)則？（第十四章，題5）解：由已知的效用函數(shù)可得， 式中，x為公共品（看電視的時間），yi為私人品（個人i的小吃量）。按照薩繆爾森規(guī)則有的值已由兩種商品的價格顯示出來，即由于兩人偏好相同，在最優(yōu)解時；又由于x（看電視）是兩人一起享受的，所以即但由預(yù)算約束可知， 求解出，四、證明題，為產(chǎn)出，為投入的第種要素的數(shù)量。（第六章，題5）（1）用數(shù)學方法給出該企業(yè)處于規(guī)模報酬遞增的表達；（2）證明：把該規(guī)模報酬遞增的企業(yè)一分為二，產(chǎn)出之和小于原來產(chǎn)出證明：（1）生產(chǎn)函數(shù)為滿足規(guī)模報酬遞增的條件是：設(shè)t為任一大于1的數(shù)值，有。（2）根據(jù)規(guī)模報酬遞增函數(shù)的性質(zhì)有所以，這表明把規(guī)模報酬遞增的企業(yè)一分為二，產(chǎn)出之和小于原來產(chǎn)出。，如果一個企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)具有規(guī)模報酬不變的特性，那么如果最大利潤存在，它一定是零。（第七章，題11）證明：采用反證法。在完全競爭市場上，假設(shè)一個具有規(guī)模報酬不變的廠商可以獲得正的最大利潤，則。其中，p是產(chǎn)品的價格，和是生產(chǎn)要素的價格，和是最優(yōu)投入要素。那么，當廠商的生產(chǎn)規(guī)模擴大為原來的倍時，廠商的利潤為： 這就和是最大利潤相矛盾，所以廠商的最大利潤只能是零。：在完全競爭的市場經(jīng)濟當中，存在滿足生產(chǎn)和交換同時實現(xiàn)帕累托最優(yōu)的條件。(第十三章，題6)證明：生產(chǎn)和交換的帕累托最優(yōu)條件是，即產(chǎn)品的邊際替代率等于邊際轉(zhuǎn)換率?，F(xiàn)在證明在完全競爭的市場經(jīng)濟條件下，存在滿足生產(chǎn)和交換同時實現(xiàn)帕累托最優(yōu)的條件。(1)在完全競爭條件下，對產(chǎn)品X、Y的消費者A來說，效用最大化的條件是兩種產(chǎn)品的邊際替代率等于其價格比，即：對消費者B來說，也有因此，產(chǎn)品X、Y的均衡價格達到了交換的帕累托最優(yōu)狀態(tài)，即(2)在完全競爭條件下，對產(chǎn)品X、Y的生產(chǎn)者A來說，利潤最大化的條件是投入要素L，K的邊際技術(shù)替代率等于價格比，即對生產(chǎn)者B來說，也有因此，要素L，K的均衡價格達到了生產(chǎn)的帕累托最優(yōu)狀態(tài)，即(3)生產(chǎn)可能性曲線，即產(chǎn)品轉(zhuǎn)換率曲線上任何一點的邊際轉(zhuǎn)換率是曲線在這一點切線的斜率的量值，即而在完全競爭條件下，企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量滿足，所以因此，產(chǎn)品X、Y的均衡價格達到了生產(chǎn)和交換的帕累托最優(yōu)狀態(tài)。，兩個人（a，b）有如下的效用函數(shù)：，假定a最初的資源稟賦，即a擁有9個和3個；而b最初的資源稟賦為，即b擁有12個和6個。定義兩種商品和的價格之比，并標準化商品2的價格。證明：均衡的價格水平。（第十三章，題7）證明：對消費者a來說，應(yīng)滿足如下目標函數(shù)：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為：由一階條件可得：聯(lián)立解得：，對消費者b來說，應(yīng)滿足如下目標函數(shù)：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為：由一階條件可得：聯(lián)立解得：，市場出清時應(yīng)有：解得故均衡的價格水平39