【正文】 合肥包河三模 ,19)如圖 ,?ABCD中 ,點(diǎn) E為邊 CD的中點(diǎn) ,連接 AE,并延長(zhǎng)交 BC的延長(zhǎng) 線于點(diǎn) F,連接 BD、 DF. (1)求證 :BC=CF。 (2)若 ∠ BDF=90176。,試判斷 ?ABCD是什么特殊的平行四邊形 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AD∥ BF,AD=BC, ∴∠ ADE=∠ FCE,∠ DAE=∠ CFE. 又 ∵ 點(diǎn) E為邊 CD的中點(diǎn) , ∴ DE=CE, ∴ △ ADE≌ △ FCE,? (3分 ) ∴ AD=CF, ∴ BC=CF.? (5分 ) (2)?ABCD為菱形 .理由如下 :? (6分 ) 由 (1)知 BC=CF,當(dāng) ∠ BDF=90176。時(shí) ,BC=CD,? (8分 ) ∴ ?ABCD為菱形 .? (10分 ) 1.(2022安徽合肥包河一模 ,9)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AC,BD為對(duì)角線 ,AB=BC=AC=BD,則 ∠ ADC的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :20分鐘 分值 :30分 ) 一、選擇題 (共 3分 ) 答案 D 因?yàn)?AB=BC=AC,所以三角形 ABC為等邊三角形 ,所以 ∠ ABC=60176。,由 AB=BD可得 ∠ ADB=? (180176?！?ABD)=90176。? ∠ ABD,由 BC=BD可得 ∠ BDC=? (180176?！?DBC)=90176。? ∠ DBC,所 以 ∠ ADC=∠ BDC+∠ ADB=180176。? (∠ DBC+∠ ABD)=180176。? 60176。=150176。. 12 12 12 1212 122.(2022安徽一模 ,14)如圖 ,?ABCD的對(duì)角線 AC、 BD交于點(diǎn) O,CE平分 ∠ BCD交 AB于點(diǎn) E,交 BD于點(diǎn) F,且 ∠ ABC=60176。,AB=2BC,連接 :① ∠ ACD=30176。② S△ AOE=2S△ OEF。③ S?ABCD=ACAD。④ OE∶ OA=1∶ ? ,其中正確的結(jié)論是 .(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上 ) ? 3二、填空題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 答案 ①③④ 解析 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴∠ ADC=∠ ABC=60176。,∴∠ BCD=∠ BAD=120176。, 又 ∵ CE平分 ∠ BCD, ∴∠ DCE=∠ BCE=60176。, ∴ △ CBE是等邊三角形 , ∴ BE=BC=CE, 又 ∵ AB=2BC,∴ AE=BE=CE,∴∠ ACB=90176。, ∴∠ ACD=∠ CAB=30176。,故①正確 。 易知△ AOE≌ △ COE,又△ OEF與△ OFC的面積顯然不相等 ,所以 S△ AOE與 2S△ OEF不相等 ,故②錯(cuò)誤 。 由①知 AC⊥ BC,又 AD∥ BC,∴ AD⊥ AC,∴ S?ABCD=ACAD,故③正確 。 在 Rt△ ACB中 ,∠ ACB=90176。,∠ CAB=30176。,∴ AC=? BC, 又 ∵ AO=OC,AE=BE,∴ OE=? BC,OA=? BC, 312 32∴ OE∶ OA=? =1∶ ? ,故④正確 . 1232BCBC3解題關(guān)鍵 得出△ BCE是等邊三角形和 OE是△ ABC的中位線是解題的關(guān)鍵 . 3.(2022安徽合肥十校聯(lián)考 ,14)如圖 ,點(diǎn) E是平行四邊形 ABCD的邊 AB上的任意一點(diǎn) (不包含端點(diǎn) A,B),連接 AC、 CE,以 CE為邊作菱形 ECFG,再連接 BG,已知 AB=AC,∠ CEG=∠ CAB,則下列結(jié)論 ① EG⊥ BC,② ∠ EGB=∠ F,③ ∠ CBG=∠ CAB,④ ∠ GEB=∠ ACE中 ,一定成立的有 (填 序號(hào) ). ? 答案 ②③④ 解析 連接 CG,∵ 四邊形 ECFG是菱形 , ∴ EC=EG,EG∥ CF, ∴∠ ECG=∠ EGC,∠ EGB=∠ F,故②正確 。 ∵ AC=AB,∴∠ ACB=∠ ABC, ∴∠ BAC+2∠ ACB=180176。. 又 ∵∠ CEG=∠ CAB,∠ CEG+2∠ ECG=180176。, ∴∠ ACB=∠ ECG, ∴∠ ACE=∠ BCG, 又 ∵∠ BEC=∠ CAB+∠ ACE,∠ CEG=∠ BAC, ∴∠ BEG=∠ ACE,故④正確 。 ∵∠ BCG=∠ ACE=∠ BEG, ∴ C,G,B,E四點(diǎn)共圓 , ∴∠ CBG=∠ CEG=∠ CAB,故③正確 。 易知 ∠ ECB=∠ EGB=∠ CEG, 只有當(dāng) ∠ ECB=∠ CEG=45176。時(shí) ,EG⊥ BC才成立 ,故①錯(cuò)誤 . 4.(2022安徽十校第四次聯(lián)考 ,23)學(xué)校某班成立了數(shù)學(xué)興趣小組 ,愛思考的小聰想要探究?jī)蓷l 直線的位置關(guān)系 ,查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形” (兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂 三角形” ).如圖 圖 圖 3中 ,AF、 BE是△ ABC的中線 ,AF⊥ BE于點(diǎn) P,像△ ABC這樣的三角 形均為“中垂三角形” .設(shè) BC=a,AC=b,AB=c. 【 特例探究 】 (1)如圖 1,當(dāng) tan∠ PAB=1,c=4? 時(shí) ,a= ,b= 。 如圖 2,當(dāng) ∠ PBA=30176。,c=2時(shí) ,a= ,b= 。 【 歸納證明 】 (2)請(qǐng)觀察 (1)中的計(jì)算結(jié)果 ,猜想 a b c2三者之間的關(guān)系 ,請(qǐng)利用圖 3證明你的結(jié)論 。 【 拓展證明 】 (3)如圖 4,?ABCD中 ,E、 F分別是 AD、 BC的三等分點(diǎn) ,且 AD=3AE,BC=3BF,連接 AF、 BE、 CE, 且 BE⊥ CE,AF與 BE交于點(diǎn) G,AD=3? ,AB=3,求 AF的長(zhǎng) . 25三、解答題 (共 21分 ) 解析 (1)當(dāng) tan∠ PAB=1,c=4? 時(shí) ,a=4? ,b=4? . 當(dāng) ∠ PBA=30176。,c=2時(shí) ,a=? ,b=? . (2)猜想 :a2+b2=5c2. 證明 :如圖 ,連接 EF. ? ∵ AF、 BE是中線 ,∴ EF∥ AB,EF=? AB, ∴ △ FPE∽ △ APB,∴ ? =? =? =? , 設(shè) FP=x,EP=y,則 AP=2x,BP=2y, ∴ a2=BC2=4BF2=4(FP2+BP2)=4x2+16y2, b2=AC2=4AE2=4(PE2+AP2)=4y2+16x2, c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2, ∴ a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2. 2 5 513 712FPAP PEPB EFAB 12(3)在△ AGE和△ FGB中 ,? ∴ △ AGE≌ △ FGB, ∴ BG=EG,AG=GF,∴ BG為△ ABF的中線 , 如圖 ,取 AB的中點(diǎn) H,連接 FH并延長(zhǎng) ,交 DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P, ? 在△ APH和△ BFH中 ,? ∴ △ APH≌ △ BFH, ∴ AP=BF,∴ PE=CF=2BF, ,A G E F G BA E G F B GA E F B? ? ???? ? ??? ??,P B F PA H P B H FA H B H? ? ???? ? ??? ??又 PE∥ CF, ∴ 四邊形 CEPF是平行四邊形 ,∴ FP∥ CE, ∵ BE⊥ CE,∴ FP⊥ BE,∴ FH⊥ BG, ∴ △ ABF是中垂三角形 , 由 (2)可知 AB2+AF2=5BF2, 又 AB=3,BF=? AD=? , ∴ 9+AF2=5(? )2,∴ AF=4. 1355思路分析 (1)由特殊角解直角三角形即可 。(2)先根據(jù) (1)的結(jié)果猜想 ,然后連接 EF,可證△ FPE ∽ △ APB,設(shè) FP=x,EP=y,分別計(jì)算出 a2,b2,c2即可驗(yàn)證猜想 。(3)先證△ AGE≌ △ FGB,可知 BG為△ ABF的中線 ,取 AB的中點(diǎn) H,連接 FH并延長(zhǎng)交 DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P,然后證明△ APH≌ △ BFH,從 而得出四邊形 CEPF是平行四邊形 ,最后利用 (2)的結(jié)論列出關(guān)于 AF的等式即可求出 AF. 5.(2022安徽合肥瑤海一模 ,23)已知六邊形 ABCDEF各內(nèi)角均為 120176。. (1)如圖 (1),證明 :AF∥ CD。 (2)如圖 (2),連接 EA、 DB,若 AE∥ BD,證明 :AF=CD。 (3)如圖 (3),證明 :AB+AF=DC+DE. ? 證明 (1)連接 AC,∵ 六邊形 ABCDEF各內(nèi)角均為 120176。, ∴∠ FAB+∠ B+∠ BCD=360176。. ∵ △ ABC的內(nèi)角和為 180176。, ∴∠ FAC+∠ DCA=180176。, ∴ AF∥ CD.? (4分 ) (2)易證 DE∥ AB,∴ 四邊形 ABDE為平行四邊形 ,∴ AE=DB. ∵∠ FEA+∠ AED=120176。,∠ ABD+∠ CBD=120176。, 且 ∠ AED=∠ ABD,∴∠ FEA=∠ CBD. 又 ∵∠ F=∠ C,∴ △ AFE≌ △ DCB,∴ AF=CD.? (8分 ) (3)如圖 ,延長(zhǎng) EF、 BA交于點(diǎn) G,延長(zhǎng) BC、 ED交于點(diǎn) H, 易證△ AFG和△ DCH均為等邊三角形 , ∴ AF=AG,DC=DH, ∴ AB+AF=GB,DE+DC=EH, ∠ E+∠ G=180176。,∠ B+∠ G=180176。, ∴ EH∥ BG,EG∥ BH, ∴ 四邊形 BGEH為平行四邊形 , ∴ BG=EH,∴ AB+AF=DC+DE.? (14分 ) 思路分析 (1)連接 AC,易得 ∠ FAC+∠ DCA=180176。,故可得 AF∥ CD。(2)先證四邊形 ABDE是平行 四邊形 ,再證△ AFE≌ △ DCB即可 。(3)延長(zhǎng) EF、 BA交于點(diǎn) G,延長(zhǎng) BC、 ED交于點(diǎn) H,可證△ AFG 和△ DCH均為等邊三角形 ,進(jìn)一步證明四邊形 BGEH為平行四邊形 ,可得 BG=EH,問題解決 .