求二面角的幾何法-資料下載頁
2025-06-20 01:46本頁面
【正文】 個面和射影面的面積，利用求出二面角的大小。解法2：依題意知：平面，：，所以，而，設二面角的大小為，則，故所求二面角的大小為。 雙高比值法設法分別求出點到平面和到棱的距離和，并設二面角的大小為，則由可求二面角的大小，這種方法我們稱之為“雙高比 值法”。解法3：由解法1知：；又由解法2知：，設點到平面的距離為，則由得：，設二面角的大小為，則，故所求二面角的大小為。 公式法利用下（）教材例2的結論：可以求二面角的大小。解法4：如圖，過作于，則由解法1知：，由得：；過作于，在中，由解法2知：，則，所以,故將,代入得:，解得，故所求二面角的大小為。 三面角余弦定理法如圖，在三面角中，有如下定理：若，二面角的平面角大小為，則（證明略）。利用該公式可求二面角的大小。 解法5：如圖，由解法1知：，則=，在中，由余弦定理得：，將之值代入得：，故所求二面角的大小為。2 向量法分別求出構成二面角的兩個面的法向量，然后利用求出二面角的大小，這種方法我們稱之為“面法法”。解法6：如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則相關點的坐標為，設，由與共線的充要條件知：存在，使得：=，即，有此得：3，同理，則，設是平面的一個法向量，則由得，令，則有，又是平面的一個法向量，所以=，故所求二面角的大小為。 棱法法我們把通過二面角棱上任意兩點（可重合）在二面角的棱上且垂直于棱的兩個向量，叫做二面角棱的法向量，利用可求出二面角的大小，這種方法我們稱之為“棱法法”。解法7：如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則相關點的坐標為，由解法6知：，設點，且，則，即，所以 ①，又由得：，所以 ②，解①②得，故。設,且，同理可求得:所以：,故所求二面角的大小為。 非坐標向量法選擇不共面的三個向量作為基向量，然后用基向量來表示二面角所在的兩個面的法向量，由公式可以求出二面角的大小。解法8：記，且，由及，設平面的法向量為，因為，=，所以由得：，令得：，又是平面的法向量，所以，故所求二面角的大小為。11
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