正態(tài)分布的若干理論知識及其應用畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-19 03:13本頁面
【正文】 對稱性得.由以上一個例子，我們可以將一般概率密度函數改寫為正態(tài)概率密度函數，以便利用正態(tài)概率密度的性質快速解答問題。正態(tài)分布密度函數的曲線為單峰曲線，在處達到最大值，其最大值為.,如果,則恒有. A. B. C. D.解：當時，,B兩項中, 的最大值為,所以有,即A,B兩項正確。而在C,D兩項中的值并不固定,不能保證，所以不正確。所以本題的答案是A，B.從本題我們可以看出恰當地利用正態(tài)分布密度函數最值性質可以很簡便地解決問題。設，則=,=,=.以上的三個式子在概率論與數理統計中會經常見到，將它們表示為圖2. 圖2正態(tài)分布的規(guī)則在圖2中我們可以看到的取值大部分都落到了區(qū)間上,，服從正態(tài)分布的隨機變量的取值范圍為,但是在實際上，隨機變量 在區(qū)間以外取值的可能性是非常小的。因此常常把區(qū)間稱為3倍標準差區(qū)間，也把這個性質叫規(guī)則。規(guī)則與正態(tài)分布的數學期望和標準差大小無關，其數學期望和標準差僅是滿足的關系。,則隨著的增大，概率的大小. 解：是個定值,，并不隨的變化而變化，所以本題選D.我們知道服從正態(tài)分布的隨機變量和它的數學期望的差值小于其標準差的概率是個定值，利用這個特性可以快速解答題目。正態(tài)分布隨機變量線性函數有以下性質：假如,則。假如,則。假如,則的線性函數服從正態(tài)分布，并且有。假如隨機變量相互獨立，且,則對任意不全為零的兩實數有.因而，=,=.有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍是正態(tài)隨機變量，并且這個正態(tài)變量的數學期望和方差也都是各個正態(tài)隨機變量的相同線性組合，其中方差的組合系數是組合系數的平方。特別的，有限個相互獨立且同分布的正態(tài)隨機變量之和仍是正態(tài)隨機變量,而且其系數是相應系數之和。,求隨機變量的數學期望和方差。解1:因為,所以,則.所以服從正態(tài)分布,則的數學期望為5,方差為9.解2:因為為相互獨立的的正態(tài)隨機變量,所以也是正態(tài)隨機變量。而為其線性函數，則服從正態(tài)分布。所以的數學期望和方差為:,.我們可以看出解法二比解法一的要簡便一些,計算量也較少。我們對于同一問題從不同度進行分析，利用不同性質，得到較簡便方法。正態(tài)分布不僅是概率論與數理統計的一種基本研究工具，也可以將它應用到解決一些現實生活問題當中。醫(yī)學遺傳分析、考試成績與學生綜合素質研究以及質量管理和控制等諸多領域都可以利用正態(tài)分布進行研究。，該廠的數據研究人員從自動包裝線上統計了大量數據。為了保證奶粉質量符合標準，要使凈含量少于1千克的產品不多于總量的，從而要調節(jié)包裝線控制的期望。應該把期望調節(jié)到什么數值上才能達到標準？該乳制品廠準備購買一條新的自動包裝線，經市場調研發(fā)現新包裝線價格是10萬元，如果使用新自動包裝線包裝奶粉，則應該把包裝線的期望調節(jié)到什么數值才能達到標準？該乳制品廠是否應該購買新的自動包裝線？解：設原自動包裝線上包裝的一罐奶粉的凈含量為,%,應把自動包裝線的期望控制在比1千克大的位置上，而且期望應該滿足概率方程,也就是指，,通過查標準正態(tài)分布函數表得=，,。設新自動包裝線上每罐奶粉的凈含量為,則,為了使凈含量少于1千克的奶粉所占的比例不多于,應把自動包裝線的期望控制在比1千克大的位置上，其中必須滿足概率方程，即，則=1=,所以=。假設該乳制品廠每日可生產5000罐奶粉，則每日就可節(jié)約5000=480千克奶粉。如果每千克奶粉的成本是50元，則工廠每日可增加利潤24000元，5天就能賺回購買新機器的成本。所以該乳制品廠應該購買新的自動包裝線。在企業(yè)生產控制的過程中，產品的質量規(guī)格對企業(yè)效益有著非常重大的影響，而產品的質量分布可以近似成正態(tài)分布，因此正態(tài)分布的期望反映了生產控制的設定值，而方差反映了生產控制的精度，它影響到了生產產品的質量，緊密關聯著企業(yè)的利潤收入。因此，在對產品規(guī)格要求較高的生產質量控制過程中，比起調節(jié)期望，更重要的是要控制方差的大小。，其中正式職員270名，臨時職員30名，報考的人數是1660人，考試滿分是400分?？荚嚭蠼浌窘y計分析：考試的平均成績?yōu)?66分，而考試分數在360分以上的有32人。小李在這次考試中得到257分，他能否被錄?。磕芊癖黄笧檎铰殕T？ 解：因為有1660人參加考試，而且他們的考試成績是相互獨立的，所以可以將考試成績X的分布近似為正態(tài)分布，且平均分即考試成績的數學期望=166分,則.由題意得=1==,利用標準正態(tài)分布函數表得到=,即,=1==.1660≈271，所以小李排在第272位。小李可以被錄取，但只是臨時職員。通過以上分析，我們可以看出正態(tài)分布擁有很多良好的性質，很多概率分布都可以用它來近似，還有一些概率分布是由它直接推導而來的。因此正態(tài)分布的有關性質在很多方面都可以當做解決問題的工具，幫助我們更加簡便地、有效地解決問題。參考文獻：[1][M].北京：清華大學出版社；廣州：暨南大學出版社，2005.[2][M].北京：科學出版社，1998.[3][M].北京：科學出版社，2003.[4][M].北京：北京師范大學出版社，1996.[5][M].北京：科學出版社，2005.[6][M].西安：西北工業(yè)大學出版社，1997.
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