正態(tài)分布的若干理論知識及其應(yīng)用畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-19 03:13本頁面
【正文】 對稱性得.由以上一個例子，我們可以將一般概率密度函數(shù)改寫為正態(tài)概率密度函數(shù)，以便利用正態(tài)概率密度的性質(zhì)快速解答問題。正態(tài)分布密度函數(shù)的曲線為單峰曲線，在處達(dá)到最大值，其最大值為.,如果,則恒有. A. B. C. D.解：當(dāng)時，,B兩項中, 的最大值為,所以有,即A,B兩項正確。而在C,D兩項中的值并不固定,不能保證，所以不正確。所以本題的答案是A，B.從本題我們可以看出恰當(dāng)?shù)乩谜龖B(tài)分布密度函數(shù)最值性質(zhì)可以很簡便地解決問題。設(shè)，則=,=,=.以上的三個式子在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中會經(jīng)常見到，將它們表示為圖2. 圖2正態(tài)分布的規(guī)則在圖2中我們可以看到的取值大部分都落到了區(qū)間上,，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的取值范圍為,但是在實際上，隨機(jī)變量 在區(qū)間以外取值的可能性是非常小的。因此常常把區(qū)間稱為3倍標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間，也把這個性質(zhì)叫規(guī)則。規(guī)則與正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差大小無關(guān)，其數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差僅是滿足的關(guān)系。,則隨著的增大，概率的大小. 解：是個定值,，并不隨的變化而變化，所以本題選D.我們知道服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量和它的數(shù)學(xué)期望的差值小于其標(biāo)準(zhǔn)差的概率是個定值，利用這個特性可以快速解答題目。正態(tài)分布隨機(jī)變量線性函數(shù)有以下性質(zhì)：假如,則。假如,則。假如,則的線性函數(shù)服從正態(tài)分布，并且有。假如隨機(jī)變量相互獨立，且,則對任意不全為零的兩實數(shù)有.因而，=,=.有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍是正態(tài)隨機(jī)變量，并且這個正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和方差也都是各個正態(tài)隨機(jī)變量的相同線性組合，其中方差的組合系數(shù)是組合系數(shù)的平方。特別的，有限個相互獨立且同分布的正態(tài)隨機(jī)變量之和仍是正態(tài)隨機(jī)變量,而且其系數(shù)是相應(yīng)系數(shù)之和。,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差。解1:因為,所以,則.所以服從正態(tài)分布,則的數(shù)學(xué)期望為5,方差為9.解2:因為為相互獨立的的正態(tài)隨機(jī)變量,所以也是正態(tài)隨機(jī)變量。而為其線性函數(shù)，則服從正態(tài)分布。所以的數(shù)學(xué)期望和方差為:,.我們可以看出解法二比解法一的要簡便一些,計算量也較少。我們對于同一問題從不同度進(jìn)行分析，利用不同性質(zhì)，得到較簡便方法。正態(tài)分布不僅是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的一種基本研究工具，也可以將它應(yīng)用到解決一些現(xiàn)實生活問題當(dāng)中。醫(yī)學(xué)遺傳分析、考試成績與學(xué)生綜合素質(zhì)研究以及質(zhì)量管理和控制等諸多領(lǐng)域都可以利用正態(tài)分布進(jìn)行研究。，該廠的數(shù)據(jù)研究人員從自動包裝線上統(tǒng)計了大量數(shù)據(jù)。為了保證奶粉質(zhì)量符合標(biāo)準(zhǔn)，要使凈含量少于1千克的產(chǎn)品不多于總量的，從而要調(diào)節(jié)包裝線控制的期望。應(yīng)該把期望調(diào)節(jié)到什么數(shù)值上才能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)？該乳制品廠準(zhǔn)備購買一條新的自動包裝線，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)新包裝線價格是10萬元，如果使用新自動包裝線包裝奶粉，則應(yīng)該把包裝線的期望調(diào)節(jié)到什么數(shù)值才能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)？該乳制品廠是否應(yīng)該購買新的自動包裝線？解：設(shè)原自動包裝線上包裝的一罐奶粉的凈含量為,%,應(yīng)把自動包裝線的期望控制在比1千克大的位置上，而且期望應(yīng)該滿足概率方程,也就是指，,通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表得=，,。設(shè)新自動包裝線上每罐奶粉的凈含量為,則,為了使凈含量少于1千克的奶粉所占的比例不多于,應(yīng)把自動包裝線的期望控制在比1千克大的位置上，其中必須滿足概率方程，即，則=1=,所以=。假設(shè)該乳制品廠每日可生產(chǎn)5000罐奶粉，則每日就可節(jié)約5000=480千克奶粉。如果每千克奶粉的成本是50元，則工廠每日可增加利潤24000元，5天就能賺回購買新機(jī)器的成本。所以該乳制品廠應(yīng)該購買新的自動包裝線。在企業(yè)生產(chǎn)控制的過程中，產(chǎn)品的質(zhì)量規(guī)格對企業(yè)效益有著非常重大的影響，而產(chǎn)品的質(zhì)量分布可以近似成正態(tài)分布，因此正態(tài)分布的期望反映了生產(chǎn)控制的設(shè)定值，而方差反映了生產(chǎn)控制的精度，它影響到了生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，緊密關(guān)聯(lián)著企業(yè)的利潤收入。因此，在對產(chǎn)品規(guī)格要求較高的生產(chǎn)質(zhì)量控制過程中，比起調(diào)節(jié)期望，更重要的是要控制方差的大小。，其中正式職員270名，臨時職員30名，報考的人數(shù)是1660人，考試滿分是400分?？荚嚭蠼?jīng)公司統(tǒng)計分析：考試的平均成績?yōu)?66分，而考試分?jǐn)?shù)在360分以上的有32人。小李在這次考試中得到257分，他能否被錄??？能否被聘為正式職員？ 解：因為有1660人參加考試，而且他們的考試成績是相互獨立的，所以可以將考試成績X的分布近似為正態(tài)分布，且平均分即考試成績的數(shù)學(xué)期望=166分,則.由題意得=1==,利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表得到=,即,=1==.1660≈271，所以小李排在第272位。小李可以被錄取，但只是臨時職員。通過以上分析，我們可以看出正態(tài)分布擁有很多良好的性質(zhì)，很多概率分布都可以用它來近似，還有一些概率分布是由它直接推導(dǎo)而來的。因此正態(tài)分布的有關(guān)性質(zhì)在很多方面都可以當(dāng)做解決問題的工具，幫助我們更加簡便地、有效地解決問題。參考文獻(xiàn)：[1][M].北京：清華大學(xué)出版社；廣州：暨南大學(xué)出版社，2005.[2][M].北京：科學(xué)出版社，1998.[3][M].北京：科學(xué)出版社，2003.[4][M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1996.[5][M].北京：科學(xué)出版社，2005.[6][M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1997.
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