對(duì)變換群的認(rèn)識(shí)整合論文-資料下載頁
2025-06-18 12:59本頁面
【正文】 1,…,n,那么就說給出了從區(qū)域到上的一個(gè)變換。若給定一個(gè)區(qū)域，（1）對(duì)中的任意三個(gè)元素g,h,f滿足：(f。g)。h=f。（g。h）。（2）對(duì)中任意的元素g，存在元1∈，使得1。g=g。1=g（群的單位元）；（3）對(duì)中任意的元素g, g。（）=1,。則稱所給的區(qū)域上的所有變換構(gòu)成一個(gè)群，稱為變換群。 該變換群經(jīng)過平移、伸縮和平移連同伸縮的一系列運(yùn)動(dòng)后，得到了其他的群，下面就簡(jiǎn)單的介紹兩個(gè)在變換群的基礎(chǔ)上演變出來的群。（1）仿射群 ：由線性變換群與平移組合而成。這個(gè)群的每個(gè)變換有偶對(duì)（A，）決定，其中A為非奇異矩陣，為平面向量。仿射變換的形式為=a+b+,=c+d+ 或者 x=Az+,其中 △=adbc≠0,仿射群中的乘法規(guī)則是（A,）。（B，）=（AB,+A）.（2）n維旋轉(zhuǎn)群：以O(shè)（n）記n維歐式空間的保持坐標(biāo)原點(diǎn)不動(dòng)的運(yùn)動(dòng)群，O（n）中的每一個(gè)元由n階正交矩陣A給出：x=Az,A=1,detA=177。=1的變換構(gòu)成子群SO（n），我們把這個(gè)子群叫做n維旋轉(zhuǎn)群。 在初步了解變換群在歐式空間的應(yīng)用后，我們雖然知道變換群現(xiàn)在的應(yīng)用的范圍已經(jīng)較寬了，但是它的發(fā)展永遠(yuǎn)不會(huì)停止腳步。在通過對(duì)大量資料的查詢及分析，我們預(yù)測(cè)變換群未來將在以下幾個(gè)方面在歐式空間的進(jìn)一步發(fā)展：（1）將會(huì)從上面所講的n維空間的兩個(gè)區(qū)域進(jìn)一步發(fā)展，發(fā)展到n個(gè)區(qū)域，即在n維空間中找出n個(gè)區(qū)域,，…,，在n個(gè)區(qū)域來討論他們之間的變換；（2）從平面變換的平移、伸縮和平移連同伸縮上升到；空間中的平移、伸縮，再加上旋轉(zhuǎn)；（3）未來會(huì)在平面的線性變換的基礎(chǔ)上，繼續(xù)發(fā)展，會(huì)在大家的共同努力下發(fā)展成在平面的非線性的變換，同時(shí)也將在這基礎(chǔ)上繼續(xù)研究各種由變換群延伸出來的各種群。二、變換群與李代數(shù)通過前面的考察，我們知道每個(gè)線性變換群都關(guān)聯(lián)了矩陣?yán)畲鷶?shù)，那我們下面來看一下李代數(shù)的定義： 在向量空間V中給出了一個(gè)反稱的雙線性算子[,]，如果它滿足雅可比恒等式[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0,則稱其為李代數(shù)。對(duì)任意的a∈V我們引進(jìn)算子ad a,這是個(gè)線性映射ad a:V→V。令ad a(b)=[a,b],雅可比恒等式表明映射ad a就像在代數(shù)中所說的那樣，是李代數(shù)V的“導(dǎo)子”（即滿足萊布尼茨公式）ad a([b,c])=[ad a(b),c]+[b,ad a(c)].群的單位元處的切空間就是這個(gè)李代數(shù)的空間，下面我們來了解一下最重要的矩陣群和它們?cè)趩挝辉那锌臻g：（1）特殊線性群SL（n,R）為行列式為1的n階實(shí)矩陣群，在單位的切空間sl（n,R）為其跡等于零的矩陣空間。（2）旋轉(zhuǎn)群SO(n,R)為行列式為1的實(shí)的正交矩陣的群：A=1，detA=1,A∈SO(n,R).那么so(n,R)為反稱矩陣的代數(shù)=X,X∈so(n,R).(3)偽正交群SO(p,q)。(4)酉群U(n)。(5)特殊酉群SU(n)；（6）偽酉群U(p,q)；（7）群SU（p,q）. 現(xiàn)在設(shè)G為（1）（7）的變換群中的一個(gè)，在群G的單位元處的切空間及其上賦予了矩陣的換位子運(yùn)算，則稱其為群G的李代數(shù)。線性向量場(chǎng)在通常的換位子下組成了有限維李代數(shù)，它同構(gòu)于所有n階矩陣的李代數(shù)，那我們首先看一下線性向量場(chǎng)的定義：設(shè)X=()為n階實(shí)矩陣。我們?cè)诳臻g中構(gòu)造一個(gè)向量場(chǎng)：令在點(diǎn)x∈的值等于(x)=Xx,則稱該向量場(chǎng)為線性向量場(chǎng)。設(shè)X為一個(gè)固定的n階矩陣。向量場(chǎng)在點(diǎn)A上的值等于(A)=，其中X∈g為這個(gè)群的李代數(shù)中元。 以上內(nèi)容就是關(guān)于變換群在李代數(shù)中的應(yīng)用，我們看到李代數(shù)其實(shí)就是建立在變換群的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，由此我們應(yīng)該看到變換群的重要性，既然它這么重要，那數(shù)學(xué)家們會(huì)不在此基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展嗎？在通過自己變換群與李代數(shù)的理解和查閱相關(guān)資料，我對(duì)它的發(fā)展前景進(jìn)行了預(yù)測(cè)，主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：（1）在定義李代數(shù)時(shí)，我們給出了一個(gè)反稱的雙線性算子[,],那我們可不可以給定一個(gè)[.]來定義出李代數(shù)呢？又能引出哪些李代數(shù)性質(zhì)呢？這些都是我們未來會(huì)解決的問題；（2）既然有了變換群上的左不變向量場(chǎng)，那有沒有變換群上的右不變向量場(chǎng)呢？ 變換群在幾何中的應(yīng)用很廣，但是不可能做到面面俱到，還有很多地方需要進(jìn)一步的發(fā)展，也還需要更廣的應(yīng)用，上面根據(jù)我的理解對(duì)未來發(fā)展的預(yù)測(cè)只是一小部分，還有很多方面會(huì)在未來數(shù)學(xué)家們的努力下繼續(xù)完善與發(fā)展。 變換群在常微分方程中的應(yīng)用前景分析 “常微分方程”是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課，而能求解常微分方程又是“常微分方程”的基礎(chǔ)技能，所以求解常微分方程就成了一個(gè)非常重要的部分。利用原來學(xué)過的方法可以求解一些簡(jiǎn)單的常微分方程，但遇到難點(diǎn)的就不能運(yùn)用那些方法求解出來，是學(xué)生老師一直頭疼的一件事情，現(xiàn)在我們介紹一種能輕松地解決常微分方程的方法——變換群理論。 設(shè)動(dòng)力體系為 (1)它滿足初值條件t= 0，x1(0)=x,y1(0)=y 的解為 （2）把它看成是將(x,y)平面變到它自己（把點(diǎn)(x,y)變?yōu)辄c(diǎn)(x1，y1)）的一個(gè)依賴于參數(shù)t 的變換。假設(shè)t可以連續(xù)地取一切實(shí)數(shù)值，則有無限多個(gè)變換，它們構(gòu)成一個(gè)連續(xù)群，稱為由(1)式所確定的變換群。設(shè)方程 (5) 在變換群(2)之下不變(從而它的積分曲線族也不變),則有 (6)這里 (7)由(6)可得ζ，η，F(xiàn)應(yīng)滿足方程 (8)η＝Fζ總是(8)的解，換言之,由(1)消去dt所得的方程在群(2)之下總是不變的。 利用(8)，對(duì)已給的 ζ、η，亦即已給的群 (2)，可以決定最一般的F（x,y），使方程(5)在群(2)之下不變。當(dāng) ζ、η、F一起滿足(8)時(shí)，若令 則 (8)便可改寫為 (9)這表示μ是方程dyF(x,y)dx=0即（5）的一個(gè)積分因子，亦即μdyμF(x,y)dx=0是全微分方程（李的定理）, 從而使求解問題化為求積分。 特別，在平移群x1=x+t，y1=y（此時(shí)ζ=1，η=0,由(8)可解出F=?(y))之下為不變的方程(5)取 的形式，其通解x=φ(y)+C在此群之下不變是明顯的。 在均勻放大群x1=kx,y1=ky(令k=et即見ζ=x,η=y)之下為不變的方程(5)是齊次方程這一事實(shí)由齊次方程通解具有形式 也可清楚地看出。又由(9)知此時(shí)上述齊次方程有積分因子 這和初等常微分方程中所得到的結(jié)論是完全一致的。 以上內(nèi)容就是運(yùn)用變換群的只是去解常微分方程的步驟，看似復(fù)雜，其實(shí)它的實(shí)質(zhì)很簡(jiǎn)單，雖然很完美，但是每件事情都有著它的發(fā)展空間，那就我的理解，談?wù)勎业目捶ǎ海?）如果方程中有多個(gè)變量，那能不能用變換群的方法求解？怎么求？在未來，數(shù)學(xué)家們會(huì)繼續(xù)研究，以找到解決的辦法；（2）假如在做變換的時(shí)候，由平面的變換到了空間的變換，又會(huì)怎么求解？等等一系列在此基礎(chǔ)上提出的疑問與不斷的思索，這些問題都會(huì)在數(shù)學(xué)家們的努力之下成功的突破。參考文獻(xiàn)： Waerden。History of Algebra SprlinjgerVerlag，1985.，數(shù)學(xué)史譯文集續(xù)集。以上就是變換群的發(fā)展歷程.信息來源：1.《群概念的演變與發(fā)展》馮進(jìn)； .
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