【正文】 代數(shù)，那我們首先看一下線性向量場的定義：　　　　設X=()為n階實矩陣。假設t可以連續(xù)地取一切實數(shù)值，則有無限多個變換，它們構(gòu)成一個連續(xù)群，稱為由(1)式所確定的變換群。 對變換群未來應用的預測 變換群是一個陌生的數(shù)學名詞，但經(jīng)過前面從誕生、發(fā)展到與各個學科的聯(lián)系的介紹，我相信對變換群有了一個大體的了解。h）。這個群的每個變換有偶對（A，）決定，其中A為非奇異矩陣，為平面向量。令ad a(b)=[a,b],雅可比恒等式表明映射ad a就像在代數(shù)中所說的那樣，是李代數(shù)V的“導子”（即滿足萊布尼茨公式）ad a([b,c])=[ad a(b),c]+[b,ad a(c)].群的單位元處的切空間就是這個李代數(shù)的空間，下面我們來了解一下最重要的矩陣群和它們在單位元的切空間：（1）特殊線性群SL（n,R）為行列式為1的n階實矩陣群，在單位的切空間sl（n,R）為其跡等于零的矩陣空間。 以上內(nèi)容就是關(guān)于變換群在李代數(shù)中的應用，我們看到李代數(shù)其實就是建立在變換群的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，由此我們應該看到變換群的重要性，既然它這么重要，那數(shù)學家們會不在此基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展嗎？在通過自己變換群與李代數(shù)的理解和查閱相關(guān)資料，我對它的發(fā)展前景進行了預測，主要從以下幾個方面進行：（1）在定義李代數(shù)時，我們給出了一個反稱的雙線性算子[,],那我們可不可以給定一個[.]來定義出李代數(shù)呢？又能引出哪些李代數(shù)性質(zhì)呢？這些都是我們未來會解決的問題；（2）既然有了變換群上的左不變向量場，那有沒有變換群上的右不變向量場呢？ 變換群在幾何中的應用很廣，但是不可能做到面面俱到，還有很多地方需要進一步的發(fā)展，也還需要更廣的應用，上面根據(jù)我的理解對未來發(fā)展的預測只是一小部分，還有很多方面會在未來數(shù)學家們的努力下繼續(xù)完善與發(fā)展。 　　特別，在平移群x1=x+t，y1=y（此時ζ=1，η=0,由(8)可解出F=?(y))之下為不變的方程(5)取 的形式，其通解x=φ(y)+C在此群之下不變是明顯的。以上就是變換群的發(fā)展歷程.信息來源：1.《群概念的演變與發(fā)展》馮進； .。 　　利用(8)，對已給的 ζ、η，亦即已給的群 (2)，可以決定最一般的F（x,y），使方程(5)在群(2)之下不變。設X為一個固定的n階矩陣。二、變換群與李代數(shù)通過前面的考察，我們知道每個線性變換群都關(guān)聯(lián)了矩陣李代數(shù)，那我們下面來看一下李代數(shù)的定義： 在向量空間V中給出了一個反稱的雙線性算子[,]，如果它滿足雅可比恒等式[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0,則稱其為李代數(shù)。 該變換群經(jīng)過平移、伸縮和平移連同伸縮的一系列運動后，得到了其他的群，下面就簡單的介紹兩個在變換群的基礎(chǔ)上演變出來的群。h=f。又由(9)知此時上述齊次方程有積分因子 這和初等常微分方程中所得到的結(jié)論是完全一致的。利用原來學過的方法可以求解一些簡單的常微分方程，但遇到難點的就不能運用那些方法求解出來，是學生老師一直頭疼的一件事情，現(xiàn)在我們介紹一種能輕松地解決常微分方程的方法——變換群理論。(4)酉群U(n)。（B,h）=（AB,f+Ah）.（2）n維旋轉(zhuǎn)群：以O（n）記n維歐式空間的保持坐標原點不動的運動群，O（n）中的每一個元由n階正交矩陣A給出：x=Az,A=1,detA=177。g=g。當然，變換群絕不會停留在現(xiàn)在的應用而不向前發(fā)展，通過對變換群在現(xiàn)在的幾個方面的應用，分析它將在這些領(lǐng)域的進一步發(fā)展和預測它的發(fā)展軌跡。它可以把棘手問題轉(zhuǎn)化到相對簡單的方面。例如：證明具有給定階n的互不同構(gòu)的有限群只有有限個。這種圖形變換屬于翻折變換。其實在我們以前所做的高考試題中就已經(jīng)用到了變換群的思想。由于時間緊迫以及我們對于知識的理解程度問題，只能將變換群與其他學科的聯(lián)系和應用了解到這里。變換群不僅只在物理化學方面有重要地位，在經(jīng)濟學方面也含有較高的分量，在2003年內(nèi)蒙古自治區(qū)科技信息研究所發(fā)表的《內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟》一書中曾談到Lie變換群理論在微分方程中的應用很廣泛 ,延拓是Lie變換群很重要的特征。俗話說:數(shù)理化是一家。現(xiàn)在的問題是能否構(gòu)造一個和這個群同構(gòu)的群，把幾何問題轉(zhuǎn)化為非幾何問題，比如利用矩陣等來加以解決，總之，在幾何中運用變換群來幫助解決幾何問題，使幾何得到了空前的又一次飛越。在幾何中，把平面變到自身的映射稱作變換。群論的重要性還體現(xiàn)在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結(jié)構(gòu)，如晶體結(jié)構(gòu)和氫原子結(jié)構(gòu)可以用群論方法來進行建模。 . 變換群概念的初始形成時期： 非歐幾何與群概念的誕生，是19世紀乃至整個數(shù)學史上重要的大事，它使人們重新認識了數(shù)學與客觀世界的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)自歐幾里得以來長期被認可的空間觀念與算術(shù)理論，并非物質(zhì)世界的惟一描述，現(xiàn)實世界的數(shù)學描述可以是豐富多彩的；此外，還認識到數(shù)學發(fā)展的動力并不惟一來自自然界，數(shù)學可以從自身獲得發(fā)展動力．這對19世紀的人來說，確實是一個從未有過的革命性觀念轉(zhuǎn)變，從對數(shù)學本質(zhì)的理解上說，數(shù)學概念與物質(zhì)世界關(guān)系形式上的分離，在某種意義上是近兩個世紀數(shù)學蓬勃發(fā)展的必要前提．這種“分離”，使數(shù)學家獲得了“自由”．從而使數(shù)學步入一個“自由”創(chuàng)造時期．而這促使19世紀出現(xiàn)了非歐幾何、群以及變換群等全新的數(shù)學概念． 變換群思想的演變與發(fā)展時期： 隨后出現(xiàn)的各種稀奇古怪的數(shù)學“自由”創(chuàng)造物，迫使人們認識到數(shù)學“人為性”的一面，并直接沖擊著人們固有的空間觀、數(shù)量觀，以及整個數(shù)學觀．越來越多脫離直觀、遠離現(xiàn)實的“任意”對象的出現(xiàn)，也不斷引起數(shù)學家的擔心：數(shù)學源泉是否會因此干枯，濫用“自由”是否會使數(shù)學學科走向死亡．但數(shù)學自由創(chuàng)造、形式化、抽象化的趨勢，并未因為這種擔心而受到遏制，相反，以更快的速度朝著自己應有的發(fā)展方向，走向新的未來．變換群的概念也隨著這樣的思想慢慢發(fā)生轉(zhuǎn)變，并且得到了一定得發(fā)展，而數(shù)學由此進入現(xiàn)代發(fā)展時期． 變換群的研究方法以及現(xiàn)今的定義：任何一個重要的數(shù)學概念與方法的產(chǎn)生，都不會是某個數(shù)學家一時突然的發(fā)明，總會有一定的歷史背景與相應的知識積累，往往都是許多數(shù)學家經(jīng)過幾十年、甚至成百上千年的努力，才逐步提煉發(fā)展而成．變換群，就概念的提出歸功于伽羅瓦(Galois，1811—1832，法國)，但其思想的產(chǎn)生與發(fā)展，與其他重要數(shù)學概念一樣，歷經(jīng)了曲折與艱難，更由于其思想的超前而不能被當時數(shù)學家所認識．因此，考察變換群概念發(fā)展的歷史，認識變換群的研究方法在數(shù)學發(fā)展中的作用，具有一定現(xiàn)實意義．對于變換群，凱萊定理告訴我們，如果將所有變換群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，無論是否如此簡單，但至少從理論上知道變換群的重要性： 集合A的變換和表示形式、變換群的定義 定義1 設是一個非空集合，若是到的任一子映射那就稱是的一個變換（注：這個定義在第一章中曾出現(xiàn)過）.在表示形式方面，若，在變換的合成方面，尤其要注意：如果都是的變換，那么也顯然是的變換，并且這時要注意：應該是（而過去是寫成：在合成的表示形式上，要習慣這種改變.例1． 設｛１，２｝．現(xiàn)取出的幾個變換　　?。础。　　。础。　　。础。　　。础。┛梢钥闯觯堑娜孔儞Q．其中和是雙射．并且是恒等變換．習慣上記　?。ɑ颉。├美保梢該Q算一下它們的合成（乘積）：２；２２．　即　這表明　　群作為現(xiàn)代數(shù)學最基本的結(jié)構(gòu)，最后是在純粹的思維領(lǐng)域內(nèi)用抽象化方法得到的。1854年， 他把“合成” 抽象為一種一般的函數(shù)符號，使之脫離諸如“置換的合成”的這樣的具體狀態(tài), 成