【正文】 以上就是變換群的發(fā)展歷程.信息來源：1.《群概念的演變與發(fā)展》馮進(jìn)； .。參考文獻(xiàn)： Waerden。又由(9)知此時(shí)上述齊次方程有積分因子 這和初等常微分方程中所得到的結(jié)論是完全一致的。 　　特別，在平移群x1=x+t，y1=y（此時(shí)ζ=1，η=0,由(8)可解出F=?(y))之下為不變的方程(5)取 的形式，其通解x=φ(y)+C在此群之下不變是明顯的。 　　利用(8)，對(duì)已給的 ζ、η，亦即已給的群 (2)，可以決定最一般的F（x,y），使方程(5)在群(2)之下不變。假設(shè)t可以連續(xù)地取一切實(shí)數(shù)值，則有無限多個(gè)變換，它們構(gòu)成一個(gè)連續(xù)群，稱為由(1)式所確定的變換群。利用原來學(xué)過的方法可以求解一些簡(jiǎn)單的常微分方程，但遇到難點(diǎn)的就不能運(yùn)用那些方法求解出來，是學(xué)生老師一直頭疼的一件事情，現(xiàn)在我們介紹一種能輕松地解決常微分方程的方法——變換群理論。 以上內(nèi)容就是關(guān)于變換群在李代數(shù)中的應(yīng)用，我們看到李代數(shù)其實(shí)就是建立在變換群的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，由此我們應(yīng)該看到變換群的重要性，既然它這么重要，那數(shù)學(xué)家們會(huì)不在此基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展嗎？在通過自己變換群與李代數(shù)的理解和查閱相關(guān)資料，我對(duì)它的發(fā)展前景進(jìn)行了預(yù)測(cè)，主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：（1）在定義李代數(shù)時(shí)，我們給出了一個(gè)反稱的雙線性算子[,],那我們可不可以給定一個(gè)[.]來定義出李代數(shù)呢？又能引出哪些李代數(shù)性質(zhì)呢？這些都是我們未來會(huì)解決的問題；（2）既然有了變換群上的左不變向量場(chǎng)，那有沒有變換群上的右不變向量場(chǎng)呢？ 變換群在幾何中的應(yīng)用很廣，但是不可能做到面面俱到，還有很多地方需要進(jìn)一步的發(fā)展，也還需要更廣的應(yīng)用，上面根據(jù)我的理解對(duì)未來發(fā)展的預(yù)測(cè)只是一小部分，還有很多方面會(huì)在未來數(shù)學(xué)家們的努力下繼續(xù)完善與發(fā)展。設(shè)X為一個(gè)固定的n階矩陣。線性向量場(chǎng)在通常的換位子下組成了有限維李代數(shù)，它同構(gòu)于所有n階矩陣的李代數(shù)，那我們首先看一下線性向量場(chǎng)的定義：設(shè)X=()為n階實(shí)矩陣。(4)酉群U(n)。令ad a(b)=[a,b],雅可比恒等式表明映射ad a就像在代數(shù)中所說的那樣，是李代數(shù)V的“導(dǎo)子”（即滿足萊布尼茨公式）ad a([b,c])=[ad a(b),c]+[b,ad a(c)].群的單位元處的切空間就是這個(gè)李代數(shù)的空間，下面我們來了解一下最重要的矩陣群和它們?cè)趩挝辉那锌臻g：（1）特殊線性群SL（n,R）為行列式為1的n階實(shí)矩陣群，在單位的切空間sl（n,R）為其跡等于零的矩陣空間。二、變換群與李代數(shù)通過前面的考察，我們知道每個(gè)線性變換群都關(guān)聯(lián)了矩陣?yán)畲鷶?shù)，那我們下面來看一下李代數(shù)的定義： 在向量空間V中給出了一個(gè)反稱的雙線性算子[,]，如果它滿足雅可比恒等式[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0,則稱其為李代數(shù)。 在初步了解變換群在歐式空間的應(yīng)用后，我們雖然知道變換群現(xiàn)在的應(yīng)用的范圍已經(jīng)較寬了，但是它的發(fā)展永遠(yuǎn)不會(huì)停止腳步。（B，）=（AB,+A）.（2）n維旋轉(zhuǎn)群：以O(shè)（n）記n維歐式空間的保持坐標(biāo)原點(diǎn)不動(dòng)的運(yùn)動(dòng)群，O（n）中的每一個(gè)元由n階正交矩陣A給出：x=Az,A=1,detA=177。這個(gè)群的每個(gè)變換有偶對(duì)（A，）決定，其中A為非奇異矩陣，為平面向量。 該變換群經(jīng)過平移、伸縮和平移連同伸縮的一系列運(yùn)動(dòng)后，得到了其他的群，下面就簡(jiǎn)單的介紹兩個(gè)在變換群的基礎(chǔ)上演變出來的群。（）=1,。g=g。h）。h=f。若給定一個(gè)區(qū)域，（1）對(duì)中的任意三個(gè)元素g,h,f滿足：(f。當(dāng)然，變換群絕不會(huì)停留在現(xiàn)在的應(yīng)用而不向前發(fā)展，通過對(duì)變換群在現(xiàn)在的幾個(gè)方面的應(yīng)用，分析它將在這些領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展和預(yù)測(cè)它的發(fā)展軌跡。 對(duì)變換群未來應(yīng)用的預(yù)測(cè) 變換群是一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)名詞，但經(jīng)過前面從誕生、發(fā)展到與各個(gè)學(xué)科的聯(lián)系的介紹，我相信對(duì)變換群有了一個(gè)大體的了解。又由(9)知此時(shí)上述齊次方程有積分因子 這和初等常微分方程中所得到的結(jié)論是完全一致的。 　　特別，在平移群x1=x+t，y1=y（此時(shí)ζ=1，η=0,由(8)可解出F=?(y))之下為不變的方程(5)取 的形式，其通解x=φ(y)+C在此群之下不變是明顯的。 　　利用(8)，對(duì)已給的 ζ、η，亦即已給的群 (2)，可以決定最一般的F（x,y），使方程(5)在群(2)之下不變。假設(shè)t可以連續(xù)地取一切實(shí)數(shù)值，則有無限多個(gè)變換，它們構(gòu)成一個(gè)連續(xù)群，稱為由(1)式所確定的變換群。利用原來學(xué)過的方法可以求解一些簡(jiǎn)單的常微分方程，但遇到難點(diǎn)的就不能運(yùn)用那些方法求解出來，是學(xué)生老師一直頭疼的一件事情，現(xiàn)在我們介紹一種能輕松地解決常微分方程的方法——變換群理論。 以上內(nèi)容就是關(guān)于變換群在李代數(shù)中的應(yīng)用，我們看到李代數(shù)其實(shí)就是建立在變換群的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，由此我們應(yīng)該看到變換群的重要性，既然它這么重要，那數(shù)學(xué)家們會(huì)不在此基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展嗎？在通過自己變換群與李代數(shù)的理解和查閱相關(guān)資料，我對(duì)它的發(fā)展前景進(jìn)行了預(yù)測(cè)，主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：（1）在定義李代數(shù)時(shí)，我們給出了一個(gè)反稱的雙線性算子[,],那我們可不可以給定一個(gè)[.]來定義出李代數(shù)呢？又能引出哪些李代數(shù)性質(zhì)呢？這些都是我們未來會(huì)解決的問題；（2）既然有了變換群上的左不變向量場(chǎng)，那有沒有變換群上的右不變向量場(chǎng)呢？ 變換群在幾何中的應(yīng)用很廣，但是不可能做到面面俱到，還有很多地方需要進(jìn)一步的發(fā)展，也還需要更廣的應(yīng)用，上面根據(jù)我的理解對(duì)未來發(fā)展的預(yù)測(cè)只是一小部分，還有很多方面會(huì)在未來數(shù)學(xué)家們的努力下繼續(xù)完善與發(fā)展。設(shè)X為一個(gè)固定的n階矩陣。線性向量場(chǎng)在通常的換位子下組成了有限維李代數(shù)，它同構(gòu)于所有n階矩陣的李代數(shù)，那我們首先看一下線性向量場(chǎng)的定義：　　　　設(shè)X=()為n階實(shí)矩陣。(4)酉群U(n)。令ad a(b)=[a,b],雅可比恒等式表明映射ad a就像在代數(shù)中所說的那樣，是李代數(shù)V的“導(dǎo)子”（即滿足萊布尼茨公式）ad a([b,c])=[ad a(b),c]+[b,ad a(c)].群的單位元處的切空間就是這個(gè)李代數(shù)的空間，下面我們來了解一下最重要的矩陣群和它們?cè)趩挝辉那锌臻g：（1）特殊線性群SL（n,R）為行列式為1的n階實(shí)矩陣群，在單位的切空間sl（n,R）為其跡等于零的矩陣空間。二、變換群與李代數(shù)　　　　通過前面的考察，我們知道每個(gè)線性變換群都關(guān)聯(lián)了矩陣?yán)畲鷶?shù)，那我們下面來看一下李代數(shù)的定義： 在向量空間V中給出了一個(gè)反稱的雙線性算子[,]，如果它滿足雅可比恒等式[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0,則稱其為李代數(shù)。 在初步了解變換群在歐式空間的應(yīng)用后，我們雖然知道變換群現(xiàn)在的應(yīng)用的范圍已經(jīng)較寬了，但是它的發(fā)展永遠(yuǎn)不會(huì)停止腳步。（B,h）=（AB,f+Ah）.（2）n維旋轉(zhuǎn)群：以O(shè)（n）記n維歐式空間的保持坐標(biāo)原點(diǎn)不動(dòng)的運(yùn)動(dòng)群，O（n）中的每一個(gè)元由n階正交矩陣A給出：x=Az,A=1,detA=177。這個(gè)群的每個(gè)變換有偶對(duì)（A，f）決定，其中A為非奇異矩陣，f為平面向量。 該變換群經(jīng)過平移、伸縮和平移連同伸縮的一系列運(yùn)動(dòng)后，得到了其他的群，下面就簡(jiǎn)單的介紹兩個(gè)在變換群的基礎(chǔ)上演變出來的群。（ ）=1,。g=g。h）。h=f。若給