【正文】 以上內(nèi)容就是運用變換群的只是去解常微分方程的步驟，看似復(fù)雜，其實它的實質(zhì)很簡單，雖然很完美，但是每件事情都有著它的發(fā)展空間，那就我的理解，談?wù)勎业目捶ǎ海?）如果方程中有多個變量，那能不能用變換群的方法求解？怎么求？在未來，數(shù)學(xué)家們會繼續(xù)研究，以找到解決的辦法；（2）假如在做變換的時候，由平面的變換到了空間的變換，又會怎么求解？等等一系列在此基礎(chǔ)上提出的疑問與不斷的思索，這些問題都會在數(shù)學(xué)家們的努力之下成功的突破。 設(shè)動力體系為 (1)它滿足初值條件t= 0，x1(0)=x,y1(0)=y 的解為 （2）把它看成是將(x,y)平面變到它自己（把點(x,y)變?yōu)辄c(x1，y1)）的一個依賴于參數(shù)t 的變換。(5)特殊酉群SU(n)；（6）偽酉群U(p,q)；（7）群SU（p,q）. 現(xiàn)在設(shè)G為（1）（7）的變換群中的一個，在群G的單位元處的切空間及其上賦予了矩陣的換位子運算，則稱其為群G的李代數(shù)。=1的變換構(gòu)成子群SO（n），我們把這個子群叫做n維旋轉(zhuǎn)群。1=g（群的單位元）；（3）對中任意的元素g, g。 變換群在現(xiàn)代幾何學(xué)的應(yīng)用前景分析 根據(jù)高等教育出版社出版的《現(xiàn)代幾何學(xué)：方法與應(yīng)用》（第五版第一卷和第二卷）關(guān)于變換群的介紹，我對變換群在幾何學(xué)中的應(yīng)用有了一個初步的認識，下面我根據(jù)自己的理解做一下簡單的介紹：一、 歐式空間的最簡單的變換群假設(shè)在n維空間中有兩個區(qū)域：區(qū)域，其坐標(biāo),，…,和區(qū)域，坐標(biāo)為,…,.另外假設(shè)區(qū)域中每個點被指定了區(qū)域中一個對應(yīng)的點，使=(,…,),i=1,…,…,表示,…,，即=(,…,),j=1,…,n,那么就說給出了從區(qū)域到上的一個變換。當(dāng) ζ、η、F一起滿足(8)時，若令 則 (8)便可改寫為 　　　 (9)這表示μ是方程dyF(x,y)dx=0即（5）的一個積分因子，亦即μdyμF(x,y)dx=0是全微分方程（李的定理）, 從而使求解問題化為求積分。向量場在點A上的值等于(A)=∈g為這個群的李代數(shù)中元。對任意的a∈V我們引進算子ad a,這是個線性映射ad a:V→V。（1）仿射群 ：由線性變換群與平移組合而成。（g。所以變換對不變性是有著依存關(guān)系的。其實不要小看這人們隨口說出的話，其實其中蘊含著一定數(shù)學(xué)知識。 Gayley定理Gayley定理：任何一個群G都同構(gòu)于G上（作為集合）全變換群的一個子群。解析幾何問題：平面解析幾何問題是通過坐標(biāo)系用代數(shù)方法來確定平面圖形的幾何性質(zhì)，這些幾何性質(zhì)的代數(shù)表達式與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，它們都是坐標(biāo)變換下的不變量，因為坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)變換與點的平移和旋轉(zhuǎn)變換，只不過是同一個代數(shù)變換式的不同的幾何解釋而已。因此，按照群論原則，一種變換群對應(yīng)一門幾何學(xué)：研究在等距變換和相似變換下圖形的不變形和不變量形成了歐式幾何學(xué)；研究在仿射變換下圖形的不變形和不變量形成了仿射幾何學(xué)；研究在射影變換下圖形的不變形和不變量形成了射影幾何學(xué)。目前變換群對于其他學(xué)科的聯(lián)系以及應(yīng)用就如此之多，我相信隨著科技的發(fā)展。且分子動力學(xué)是結(jié)合了物理、數(shù)學(xué)和化學(xué)綜合技術(shù)的一門新興邊緣學(xué)科。1950年 Birkhoff提出了用代數(shù)方法來減少偏微分方程中自變量數(shù)目的方法,1951年 Michal給出在賦范線性空間(normedlinear sPaces)在連續(xù)變換群下的一般不變理論,并對任意偏微分方程組利用單參數(shù)變換群時,建立了獲得自變量和因變量的絕對不變量的一些定理以后,對于力學(xué)特別是流體力學(xué)中的某些偏微分方程在尋求相似性解時得到了應(yīng)用。一個對稱圖形的所有對稱變換組成的集合，關(guān)于對稱變換的乘積構(gòu)成可換群，稱為對稱群。在幾何里面最有用、要緊的是對稱性。定理2 設(shè)為非空集合，由的全部一一變換（雙射）必定能夠構(gòu)成的一個變換群. 變換群的研究方法凱萊定理凱萊定理：任何一個群都能同某個變換群同構(gòu).【證明】 設(shè) 是任意一個群,，利用,我們規(guī)定的一個變換,其中 ,這種變換是一個一一變換,事實上: 那么 是滿射. 若 且 是單射.其中每個這種變換都為一一變換.其次作,其中現(xiàn)須證是同構(gòu)映射. 是滿射: 則 ， 是的原象是滿射. 是單射: 如果 那么 有 ， 由消去律知 是單射 保運算:: 這說明 保運算于是知，而是群必是群.在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。變換群只不過是群更加具體的一種運算形式而已。首先是把“合成”從各具體對象，如置換，幾何手段，旋轉(zhuǎn)，數(shù)的運算中分離出來。對于Galois的群，最有意義的是置換可以“合成”。給出了高次代數(shù)方程根式解問題充分圓滿的答案。但是Ruffini的證明本身是有缺陷的，在他的證明中有這樣的結(jié)論：根式解中的根式都可表為已知方程根的有理函數(shù)。這一猜測雖然與正在研究的問題關(guān)系密切，但并不是從已有的數(shù)學(xué)事實中直接引申出來的，而是為揭示某種真理所存在的某種聯(lián)系的思維中所做的想象。在這里，Lagrange第一次發(fā)明了“排列”的理論，這實際上就是現(xiàn)代意義下“置換”的概念和方法。對此，要講變換群的誕生背景，首先來看看群的誕生背景。1771年，Lagrange向柏林科學(xué)院提交了“關(guān)于代數(shù)方程解法的思考”的長篇論文。也許它根本就不存在。Ruffini于1798年寫在一篇題為“方程的一般理論”的論文中，給出了“高于4次的代數(shù)方程不存在根式解法”的證明。群的萌芽不斷生長，群的概念由朦朧而變得逐漸清晰，即將作為高次代數(shù)方程根式解問題所基于的基本結(jié)構(gòu)進入數(shù)學(xué)領(lǐng)域。Galois通過發(fā)明群，把代數(shù)學(xué)引進了一個新領(lǐng)域。這在通往一般抽象群的方向上跨出了第一步。當(dāng)Galois從根本上結(jié)束對古典代數(shù)方程式論的研究時, 群也隨之誕生。令：為的全部變換組成的集合。在甘肅科學(xué)技術(shù)情報研究所出版的《共軛變換和變換群發(fā)》、世界圖書出版公司出版的《微分幾何中的變換群》、《變換群與曲線模空間》、《變換群與李代數(shù)》等等，其實變換群在數(shù)學(xué)中的重要特點在于，一方面可以說它是一種非常具體的群，他的元素都具有明確的具體意義；另一方面，這種非常具體的群具有普遍的意義：它代表了一切可能的群。容易驗證合同變換具有以下性質(zhì)：⑴ 合同變換的逆變換還是合同變換；⑵合同變換的積仍是合同變換；⑶ 在合同變換下，共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線，射線變?yōu)樯渚€，角變?yōu)榻?，三角形仍變?yōu)槿切危覍?yīng)角相等，因而對應(yīng)的三角形全等。束流光學(xué)的基本問題問題通常課歸結(jié)為求一個變換的本征相圖與求能保持一個發(fā)射相圖形狀不變的變換這樣兩類問題。而變換群作為數(shù)學(xué)的一部分，那么與化學(xué)也應(yīng)有著些許聯(lián)系和應(yīng)用。將Lie變換群延拓便于微分方程降階 ,并可用于進一步研究微分方程的不變性?！　　∽儞Q群的作用可大可小，小到人際交往，大到科技的發(fā)展；由此可見，它所涉及的范圍是多么的廣泛?，F(xiàn)在就列舉幾個變換群思想在高考題中的應(yīng)用的問題。坐標(biāo)系變換問題：在一些幾何問題中，特別是圓錐曲線問題的求解過程中，利用極坐標(biāo)通常能使運算過程大大簡化。利用對稱變換群的原理對計算機斷層掃描(CT)重建中的濾波反投影算法(FBP)進行了優(yōu)化，降低了算法中反投影部分的計算復(fù)雜度，從而得到一個快速重建算法。不變性：是實施變換的前提。若給定一個區(qū)域A， （1）對A中的任意三個元素g,h,f滿足：(f。（ ）=1,。 在初步了解變換群在歐式空間的應(yīng)用后，我們雖然知道變換群現(xiàn)在的應(yīng)用的范圍已經(jīng)較寬了，但是它的發(fā)展永遠不會停止腳步。線性向量場在通常的換位子下組成了有限維李代數(shù)，它同構(gòu)于所有n階矩陣的李