各種圓定理總結(jié)包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點共圓-資料下載頁
2025-06-16 07:57本頁面
【正文】 即 (k1^2+k2^2)t^22(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2r^2=0 的兩個根tt2。由韋達(dá)定理 t1t2=(xO^2+yO^2^2)/(k1^2+k2^2) 于是 PAPB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2r^2)| 為定值，證畢。 圓①也可以寫成 x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′ 其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P在圓外時，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點P到這圓的冪。 在上面證明的過程中，我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。 如果給定點O，未必是原點，要求出P關(guān)于圓①的冪（即OP^2r^2），我們可以設(shè)直線AB的方程為 ?、? ?、? 是 的傾斜角， 表示直線上的點與 的距離． 將②③代入①得 即 ， 是它的兩個根，所以由韋達(dá)定理 ?、? 是定值 ?、苁?關(guān)于①的冪（當(dāng) 是原點時，這個值就是 ）．它也可以寫成 ?、堋? 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方． 當(dāng)P在圓內(nèi)時，冪值是負(fù)值；P在圓上時，冪為0；P在圓外時，冪為正值，這時冪就是自P向圓所引切線長的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用． 問題4 自圓外一點 向圓引割線交圓于 、 兩點，又作切線 、 ， 、 為切點， 與 相交于 ，如圖８．求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 ?、? 點 的坐標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 ?、? ⑦ 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點 與 的距離． ⑥⑦代入⑤得 即 、 是它的兩個根，由韋達(dá)定理 ?、? 另一方面，直線 是圓的切點弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 ?、撷啻氲? 因此，這個方程的根 滿足 ?、? 綜合⑧⑨，結(jié)論成立。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。四點共圓 四點共圓圖釋如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。四點共圓有三個性質(zhì)： （1）同弧所對的圓周角相等 （2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補 （3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。 四點共圓證明四點共圓的基本方法 證明四點共圓有下述一些基本方法： 方法1 從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓． 方法2 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓． （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。） 方法3 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓． 方法4 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理) 方法5 證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓． 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點共圓的問題時，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 判定與性質(zhì)： 圓內(nèi)接四邊形的對角和為π,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。 如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π， 角DBC=角DAC（同弧所對的圓周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對角） △ABP∽△DCP（三個內(nèi)角對應(yīng)相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 四點共圓的圖片EB*EA=EC*ED（割線定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理） ?。ㄇ懈罹€定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy） 證明四點共圓的原理 四點共圓 證明四點共圓基本方法： 方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓． 方法2 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓． 四點共圓的判定是以四點共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。 四點共圓的定理：四點共圓的判定定理： 方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓． （可以說成：若線段同側(cè)二點到線段兩端點連線夾角相等，那末這二點和線段二端點四點共圓） 方法2 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓． ?。梢哉f成：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角。那么這四點共圓） 反證法證明 現(xiàn)就“若平面上四點連成四邊形的對角互補。那末這四點共圓”證明如下（其它畫個證明圖如后） 已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π 求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓（A，B，C，D四點共圓） 證明：用反證法 過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，剛C在圓外或圓內(nèi)， 若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=π， ∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C 這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。 ∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。
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