空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示、空間向量基本定理課件北師大版選修-資料下載頁(yè)
2025-06-12 19:01本頁(yè)面
【正文】 ． (2)利用空間的一個(gè)基底 a， b， c可以表示出所有向量，注意結(jié)合圖形，靈活應(yīng)用三角形法則，平行四邊形法則，及向量的數(shù)乘運(yùn)算，表示要徹底，結(jié)果只含有 a、 b、 c，不能再有其他向量． 6．設(shè) p： a、 b、 c是三個(gè)非零向量； q： a， b， c為空間的一 個(gè)基底，則 p是 q的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析： 若 a， b， c為非零向量，當(dāng) a， b， c共面時(shí)， a， b，c不能作為空間的一個(gè)基底；若 a， b， c為空間的一個(gè)基底，則 a， b， c不共面， a， b， c三個(gè)向量均不能為零向量，故選 B. 答案： B 7 ．如圖所示，已知平行六面體 ABCD － A1B1C1D1，且1AA ＝ a ，＝ b ， AD ＝ c ，用 a ， b ， c 表示如下向量： ( 1) 1AC ； ( 2) BG ( G 在 B1D1上且1BG ＝12 1GD ) ． 解： ( 1) 1AC＝－1AA＝＋ AD －1AA＝－ a ＋ b ＋ c . ( 2) BG ＝1BB＋1BG， 又1BG ＝13 1BD ＝13(11BA ＋11AD ) ＝13( AD － ) ＝13( c － b ) ， ∴ BG ＝ a －13b ＋13c . 8．若 a， b， c是空間的一個(gè)基底．試判斷 a＋ b， b＋ c， c＋ a 能否作為該空間的一個(gè)基底． 解： 假設(shè) a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a 共面，則存在實(shí)數(shù) λ 、 μ ，使得 a ＋ b ＝ λ ( b ＋ c ) ＋ μ ( c ＋ a ) ， ∴ a ＋ b ＝ λb ＋ μa ＋ ( λ ＋ μ ) c . ∵ a ， b ， c 為基底， ∴ a ， b ， c 不共面． ∴????? 1 ＝ μ ，1 ＝ λ ，0 ＝ λ ＋ μ .此方程組無(wú)解，說(shuō)明假設(shè)不成立， ∴ a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a 不共面． ∴ a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a 可以作為空間的一個(gè)基底． 1．空間任一點(diǎn) P的坐標(biāo)的確定：過(guò) P作面 xOy的垂線，垂足為 P′.在平面 xOy中，過(guò) P′分別作 x軸、 y軸的垂線，垂足分別為 A、 C，則 |x|＝ |P′C|， |y|＝ |AP′|， |z|＝ |PP′|. 2．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底，基底中的三個(gè)向量 e1， e2， e3都不是 0. 3．空間中任一向量可用空間中不共面的三個(gè)向量來(lái)唯一表示． 4．點(diǎn) A(a， b， c)關(guān)于 x軸、 y軸、 z軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (a，－ b，－ c)、 (－ a， b，－ c)、 (－ a，－ b， c)；它關(guān)于xOy面、 xOz面、 yOz面、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (a， b，－c)、 (a，－ b， c)、 (－ a， b， c)、 (－ a，－ b，－ c)．
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