福建省20xx年中考數(shù)學總復習第三單元函數(shù)及其圖象第17課時函數(shù)的綜合應用課件-資料下載頁
2025-06-12 15:55本頁面
【正文】 上的一個動點 ( 丌不 A , B 重合 ), 過點 D 分別作DE ∥ BC 交 AC 于 E , DF ∥ AC 交 BC 于 F. ① 求證 : 四邊形 D E C F 是矩形 . ② 連接 EF , 線段 EF 的長是否存在最小值 ? 若存在 , 求出 EF 的最小值 。 若丌存在 , 請說明理由 . 圖 17 13 課堂互動探究 【答案】 ( 1 ) y= 12x2+32x+ 2 (2 ) 存 在 2 【解析】 ( 1 ) 根據(jù)題意 , 得 0 = 12 ?? + ?? ,0 = 8 + 4 ?? + ?? , 解得 ?? =32,?? = 2 , ∴ 拋物線的解析式為 y= 12x2+32x+ 2 . (2 ) ① 證明 : 把 ( m , m 1) 代入 y= 12x2+32x+ 2, 得 m 1 = 12m2+32m+ 2, 解得 m= 3 或 m= 2, ∵ C ( m , m 1) 位于第一象限 , ∴ ?? ＞ 0 ,?? 1 ＞ 0 , ∴ m ＞ 1, ∴ m= 2 舍去 , ∴ m= 3, ∴ 點 C 的坐標為 ( 3 ,2 ) . 如圖 , 作 CH ⊥ x 軸于點 H. ∵ AC2=CH2+A H2= 22+ 42= 2 0 , BC2=CH2+ B H2= 22+ 12= 5, ∴ AC2+B C2= 20 + 5 = 2 5 , ∵ AB2= 52= 25, ∴ AC2+B C2=A B2, ∴ ∠ A CB = 9 0 176。 . ∵ DE ∥ BC , DF ∥ AC , ∴ 四邊形 D E CF 是平行四邊形 , ∴ 四邊形 D E CF 是矩形 . ② 存在 . 連接 CD , ∵ 四邊形 D E CF 是矩形 , ∴ E F =CD . 當 CD ⊥ AB 時 , CD 的值最小 , ∵ C (3 , 2 ), ∴ DC 的最小值是 2, ∴ EF 的最小值是 2 . 課堂互動探究 拓展 2 [ 2 0 1 8 蘭州 ] 如圖 17 14, 拋物線 y =a x2+ b x 4 經(jīng)過 A ( 3 , 0 ), B (5 , 4) 兩點 , 不 y 軸交于點 C , 連 接 AB , AC , B C. (1 ) 求拋物線的表達式 . (2 ) 求證 : AB 平分 ∠ C A O . (3 ) 拋物線的對稱軸上是否存在點 M , 使得 △ ABM 是以 AB 為直角邊的直角三角形 ? 若存在 , 求出點 M 的坐標 。若丌存在 , 說明理由 . 圖 17 14 課堂互動探究 【答案】 ( 1 ) y=16x256x 4 ( 3 ) 存在 ， M 的坐標為 52, ? 9 或 52, 11 【解析】 ( 1 ) 將 A , B 兩點的坐標分別代入 y=a x2+ b x 4, 得 9 ?? 3 ?? 4 = 0 ,25 ?? + 5 ?? 4 = 4 , 解得 ?? =16,?? = 56, 故拋物線的表達式為 y=16x256x 4 . (2 ) 證明 : 設直線 AB 的表達式為 y=kx +b 39。 , 則 3 ?? + ?? 39。 = 0 ,5 ?? + ?? 39。 = 4 , 解得 ?? = 12,?? 39。 = 32, 故直線 AB 的表達式為 y= 12x 32. 如圖 , 設直線 AB 不 y 軸的交點為點 D , 則點 D 的坐標為 0 , 32 . 課堂互動探究 易得點 C 的坐標為 ( 0 , 4 ), ∴ CD =52, 由勾股定理 , 可得 A C= 32+ 42= 5 . 設點 D 到直線 AC 的距離為 h , 則12h A C=12 CD 3, 解 得 h=32. ∵ 點 D 到 x 軸的距離為 OD=32, 故 AB 平分 ∠ CA O . (3 ) 存在 . 易得拋物線的對稱軸為直線 x=52, 設點 M 的坐標為 52, ?? . 由勾股定理 , 得 AB2= [5 ( 3 )]2+ ( 4 0)2= 8 0 , AM2= 52? ( ? 3 ) 2+ ( m 0)2=1214+m2, BM2= 52? 5 2+ [ m ( 4 )]2=m2+ 8 m+894. 當 AM 為該直角三角形的斜邊時 , 有 AM2=A B2+B M2, 即1214+m2= 80 +m2+ 8 m+894, 解得 m= 9 , 故此時點 M 的坐標為 52, ? 9 . 當 BM 為該直角三角形的斜邊時 , 有 BM2=A B2+A M2, 即 m2+ 8 m+894= 80 +1214+m2, 解得 m= 1 1 , 故此時點 M 的坐標為 52, 11 . 綜上所述 , 點 M 的坐標為 52, ? 9 或 52, 11 .
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