考研數(shù)學(xué)重難點(diǎn)筆記-資料下載頁(yè)
2025-06-07 22:59本頁(yè)面
【正文】 表示7．5 沿曲面上曲線的平行移動(dòng)與歐氏平面中平行移動(dòng)的關(guān)系 教學(xué)要求：理解向量沿曲面上一條曲線的平行移動(dòng)與絕對(duì)微分。 第三部分 1. 高等代數(shù)基本定理 設(shè)為數(shù)域。以表示系數(shù)在上的以為變?cè)囊辉囗?xiàng)式的全體。如果，則稱(chēng)為的次數(shù)，記為。定理（高等代數(shù)基本定理） C的任一元素在C中必有零點(diǎn)。命題 設(shè)是C上一個(gè)次多項(xiàng)式，是一個(gè)復(fù)數(shù)。則存在C上首項(xiàng)系數(shù)為的次多項(xiàng)式，使得證明 對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法。推論 為的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)為的因式（其中）。命題（高等代數(shù)基本定理的等價(jià)命題） 設(shè) 為C上的次多項(xiàng)式，則它可以分解成為一次因式的乘積，即存在個(gè)復(fù)數(shù)，使證明 ，對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法。2．高等代數(shù)基本定理的另一種表述方式定義 設(shè)是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)未知量，則等式 （1）（其中）稱(chēng)為數(shù)域上的一個(gè)次代數(shù)方程；如果以帶入（1）式后使它變成等式，則稱(chēng)為方程（1）在中的一個(gè)根。定理（高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式） 數(shù)域上的次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域C內(nèi)必有一個(gè)根。命題 次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域C內(nèi)有且恰有個(gè)根（可以重復(fù)）。命題（高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式）給定C上兩個(gè)n次、m次多項(xiàng)式，如果存在整整數(shù),及個(gè)不同的復(fù)數(shù)，使得，則。 韋達(dá)定理與實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的根的特性設(shè)，其中。設(shè)的復(fù)根為（可能有重復(fù)），則所以；；我們記；；；（稱(chēng)為的初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式）。于是有 (韋達(dá)定理) 設(shè)，其中。設(shè)的復(fù)根為。則；；命題 給定R上次方程 ， ，如果i是方程的一個(gè)根，則共軛復(fù)數(shù)i也是方程的根。證明 由已知，.兩邊取復(fù)共軛，又由于R，所以.高等代數(shù)試題設(shè)，并且 ，…，都不等于零，但，證明：，…，線性無(wú)關(guān) 答案：按線性無(wú)關(guān)的定義證明令 表示一切次數(shù)不大于的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所成的向量空間，求關(guān)于以下兩個(gè)基的矩陣：（1）1，，…，（2）1，，…，答：（1） （2）表示數(shù)域上四元列空間 取 對(duì)于 ，令 求 ，解：，取的一個(gè)基（如標(biāo)準(zhǔn)基），按列排成矩陣B，矩陣AB的列向量恰是這個(gè)基的象。又，所以 所以 設(shè)上三維向量空間的線性變換關(guān)于基的矩陣是，求關(guān)于基 的矩陣 令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換，并且滿足條件，證明：（1） （2）證明：（1），則，反之，，于是 ，即設(shè) 由，有，使得 又 ，所以，即 所以 設(shè) ，求解：特征值 特征向量 ， 則 11
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