文科一輪學(xué)案97拋物線-資料下載頁
2025-06-07 19:16本頁面
【正文】 2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2答案 B解析 ∵y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，∴過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，將其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.3．已知拋物線y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于( )A．－4 B．4 C．p2 D．－p2答案 A解析?、偃艚裹c(diǎn)弦AB⊥x軸，則x1＝x2＝，所以x1x2＝；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4.②若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB的直線方程為y＝k(x－)，聯(lián)立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，則x1x2＝.所以y1y2＝－＝－4.4．已知拋物線的方程為y2＝2px (p0)，過拋物線上一點(diǎn)M(p，p)和拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于另一點(diǎn)N，則|NF|∶|FM|等于( )A．1∶ B．1∶C．1∶2 D．1∶3答案 C解析 由題意得，直線l：y＝2，聯(lián)立方程解得N，∴|NF|＝＋＝p，∴|MF|＝p＋＝p，∴|NF|∶|FM|＝1∶2，故選C.5．(2014課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30176。的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于( )A. B．6 C．12 D．7答案 C解析 焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，方法一 直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為y＝，即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，故選C.方法二 由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得|AB|＝＝＝12.6．已知拋物線x2＝2py(p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線－＝1相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.答案 6解析 由題意知B，代入方程－＝1得p＝6.7. 如圖，過拋物線y2＝2px (p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________．答案 y2＝3x解析 如圖，分別過A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30176。，∴∠AFx＝60176。，連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于K，則|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴拋物線方程為y2＝3x.8．已知一條過點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點(diǎn)，且P是弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為______________________________________．答案 x－y－1＝0解析 依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y＝2x1，y＝2x2，兩式相減得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.，已知拋物線y2＝2px (p0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線的方程．解 設(shè)直線OA的方程為y＝kx，k≠0，則直線OB的方程為y＝－x，由得x＝0或x＝.∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，同理得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得②247。①得k6＝64，即k2＝4.則p2＝＝.又p0，則p＝，故所求拋物線方程為y2＝x.10．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．(1)若＝2，求直線AB的斜率；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值．解 (1)依題意知F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1.將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y2－4my－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①因?yàn)椋?，所以y1＝－2y2.②聯(lián)立①和②，消去y1，y2，得m＝177。.所以直線AB的斜率是177。2.(2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB.因?yàn)?S△AOB＝2|OF||y1－y2|＝＝4，所以當(dāng)m＝0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4. 19
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