兩道高考?jí)狠S題的統(tǒng)一引申與推廣-資料下載頁
2025-06-07 19:14本頁面
【正文】 則為的中點(diǎn)且；（2）若直線與兩漸近線分別相交于兩點(diǎn)，與曲線相交于兩點(diǎn)，則。 證明 （1）設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為①，因?yàn)?，故，代入漸近線方程得。又點(diǎn)在曲線上，所以有，代入上式化簡得，因?yàn)槭谴朔匠痰膬蓚€(gè)根，則，由此知點(diǎn)是線段中點(diǎn)。又由根與系數(shù)關(guān)系得，所以。在①中令得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，于是。（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由對(duì)稱性知線段有相同的中點(diǎn)，所以。當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將其代入（為雙曲線方程，為兩漸近線方程）整理得，②。因直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，所以。當(dāng)時(shí)，是方程②的兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，是方程②的兩個(gè)根。由根與系數(shù)的關(guān)系得，由此知線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，故兩線段有相同的中點(diǎn)，所以。
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