八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試卷含解析新人教版(2)-資料下載頁
2025-06-07 15:31本頁面
【正文】 角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC=2AE，從而得證；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=CF，然后根據(jù)AD=AF+DF代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45176。，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠CAD+∠ACD=90176。，∠CBE+∠ACD=90176。，∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=，在Rt△CDF中，CF===2，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2，∴AD=AF+DF=2+． 22．如圖，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延長線于G，（1）求證：BF=CG；（2）若AB=7，AC=3，求AF的長．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】（1）連接EB、EC，只要證明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG．（2）由RT△AEF≌RT△AEG得AF=AG，再由Rt△BFE≌Rt△CGE得BF=CG，易知AB+AC=2AF由此即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖，連接BE、EC，∵ED⊥BC，D為BC中點(diǎn)，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF=CG．（2）解：在RT△AEF和RT△AEG中，∴RT△AEF≌RT△AEG（HL），∴AF=AG，∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF=CG，∴AB+AC=AF+BF+AG﹣CG=2AF，∴2AF=10，∴AF=5． 23．已知，如圖，△ABC．（1）用尺規(guī)求作點(diǎn)P，使PA=PC，且點(diǎn)P到AC，BC的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接AP，若∠C=60176。，AC=6，求點(diǎn)AP的長．【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】（1）作AC的中垂線、∠ACB的角平分線，兩線交點(diǎn)即為所求作點(diǎn)；（2）過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，由角平分線可得∠ACP=∠BCP=∠ACB=30176。，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)知CQ=AQ=AC=3，解直角三角形即可知PA=PC==2．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)P即為所求；（2）過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，∵PA=PC，∴CQ=AQ=AC=3，又∵∠ACP=∠BCP=∠ACB=30176。，∴CP===2，∴AP=2． 24．聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．舉例：如圖1，若PA=PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心．應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數(shù)．探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理．【分析】應(yīng)用：連接PA、PB，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質(zhì)求出PD與AB的關(guān)系，然后判斷出只有情況③是合適的，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠APB=45176。，然后即可求出∠APB的度數(shù)；探究：先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據(jù)三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解．【解答】應(yīng)用：解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30176。，∴∠PBD=∠PBC=30176。，∴PD=DB=AB，與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45176。，故∠APB=90176。；探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC===4，①若PB=PC，設(shè)PA=x，則x2+32=（4﹣x）2，∴x=，即PA=，②若PA=PC，則PA=2，③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能．故PA=2或．13
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